基于FEO算法的平面度誤差評定

任立飛　穆紹帥　王亞龍

摘 要：為了準確快速的評定平面度的誤差，本文探索了FEO算法在平面度誤差評定方面的應用。本文建立了平面度誤差評定的數學模型，利用FEO算法對數學模型進行了求解，結果表明：FEO算法原理簡單，具有良好的收斂特性，易于在計算機上實現，適用于形位誤差測量儀器以及三坐標測量機。

關鍵詞：FEO；平面度；評定

1 引言

平面在產品的設計、制造、裝配和檢驗過程中常常作為基準，平面度誤差的大小對產品的質量和使用壽命具有重大的影響，因此，如何對平面度誤差進行既準確又高效的評定就具有重要的工程實際意義。常用的評定平面度誤差的方法有最小二乘法、三點法、對角線法和最小區域法，其中最小區域法是唯一滿足最小條件的方法，可以得到理想值，但是由于其不易在程序上實現或程序運行時間較長，多數三坐標測量機采用的是最小二乘法，而最小二乘法又不滿足最小區域條件。

20世紀末，國內外開始進行智能算法在平面度誤差評定中應用的研究，智能算法評定平面度的研究主要集中在遺傳算法和粒子群算法，與傳統方法相比，智能算法往往更易于在計算機上的實現，更精確，更能滿足工程的實際需要，因此得到了很大程度的發展。

煙花爆炸優化算法（FEO）是近幾年新提出的一種智能優化算法，它具有快速的收斂過程和高精度的尋優能力，過程簡單，易于實現，但是，由于針對煙花爆炸優化算法的研究才剛剛起步，目前煙花爆炸優化算法在各領域的應用還不算廣泛。

本文試圖將煙花爆炸優化算法應用于平面度的評定，探索煙花爆炸算法在平面度評定中應用的一些問題。

2 平面度的數學模型

三坐標測量機得到的是一系列點的三維坐標，記作，其中i=1，2，3……n，n為采樣點的總數目。根據最小區域條件的要求，我們從所有方向的平面之中找出一個平面，使平行該平面的兩個平面包容采樣點時的距離最小，這一最小距離即為平面度的值。我們可以采用一個向量（x，y，z）作為該平面的法向量來刻畫這一平面的方向，考慮到和 （k為任意不為零的常數）表示的方向實際上時相同的，可推理出描述三維空間上的方向不需要使用三個變量。我們可想像以xOy平面上的一個單位圓沿z軸正向和負向拉伸形成一個圓柱，從原點到該圓柱表面上的任意一點形成的向量，可描述三維空間上的任意方向（當z趨于無窮時，可表示z軸方向），這樣，描述三維空間任意向量只需要和兩個變量就可以了，會大大簡化問題的后續處理。考慮到平面度評定過程中的所求平面的法向量往往與z軸方向接近，為避免z值過大處理不便，我們將這一向量寫成。

假設給定某一向量，以這一向量為法向量的兩個平面包容采樣點的最小距離，可通過以下方法求出。

將原點與采樣點相連構成向量稱之為采樣向量，記作Vi=（xi，yi，zi），其中i=1，2，3……n，n為采樣點的總數目。對于每一個，我們可求出在方向上的投影。

不難看出，的最大值與最小值的差即為以向量為法向量的兩個平面包容采樣點的最小距離。

從所有方向的平面之中找出一個平面，使平行該平面的兩個平面包容采樣點時的距離最小，這一問題實質上是一個優化問題，其決策變量為和，其目標函數為d，整理可得以下數學模型：

3 煙花算法求解

上述優化問題可以采用FEO算法求解，其具體步驟如下：

Step1 設置算法的迭代次數T，煙花彈數N，初始的煙花爆炸最大半徑rinitial和最后一次迭代時煙花爆炸的最大半徑rend。

Step2 在二維搜索空間范圍內隨機初始化N個煙花彈的位置，迭代次數t取值為1。

Step3 采用以下公式計算本次迭代過程的煙花爆炸的最大半徑r。

Step4 對每一個煙花單沿著標準坐標軸的4個方向分別以r、r/3、2r/3爆炸產生火星。

Step5 從目前空間中的所有火星和原煙花彈里選擇最優的N/2個，并從剩下的火星或原煙花彈里隨機挑選N/2個，共同組成N個煙花彈予以保留，其他的火星或煙花彈全部丟棄，置t=t+1。

Step6 若t

4 應用舉例

為便于對算法性能進行比較，我們采用文獻[7]中的數據（具體數據也可參考文獻[2]中的表2 平面度誤差測量數據），設置的算法參數為迭代次數T為100，煙花彈數N為40，初始煙花爆炸最大半徑為12.56，最后一次迭代煙花爆炸最大半徑為1.00E-5。

通過試驗可知，在迭代次數和煙花彈數與文獻[3]相同的情況下，本算法得出的結果為0.1425，而據文獻[2]記載，MABC算法求得最優目標函數值的平均值為0.15487，ABC算法得到的最優目標值為0.154895，可見，本算法具有良好的計算精度。但是，在本算法中，所求結果易收斂于0.8點，算法的穩定性較差，但是，當將煙花彈數N取值增大時，該算法的穩定性有所改善。

5 結論

本文對煙花算法在平面度應用的一些問題進行了探索，試驗表明，煙花算法原理簡單，具有良好的收斂性和計算精度。易于在計算機上實現，適用于形位誤差測量儀器以及三坐標測量機，對算法稍加修改可推廣應用到其它形位誤差的應用中。

參考文獻

[1]張琳娜.精度設計與質量控制基礎.中國計量出版社.2011，08，01

[2]羅鈞，王強，付麗. 改進蜂群算法在平面度誤差評定中的應用[J]. 光學精密工程，2012，02：422-430.

[3]曹炬，賈紅，李婷婷. 煙花爆炸優化算法[J]. 計算機工程與科學，2011，01：138-142.

[4]王時禮. 大尺寸平面度的智能評定[D].華南理工大學，2010.

[5]]李婷婷. 煙花爆炸算法改進及其性能測試研究[D].華中科技大學，2010.

[6]賈紅. 煙花爆炸優化算法及其改進研究[D].華中科技大學，2010.

[7]SAMUEL G L，SHUNMUGAM M S..Evaluation of straightness and flatness error using computational geometric techniques[J].Computer-Aided Design，1999，31（3）：829-843