線性代數(shù)知識在數(shù)學建模中的應用分析

馮鐵勇

摘 要：在大學中，數(shù)學建模一種用于培養(yǎng)大學生利用現(xiàn)有的知識解決數(shù)學實際問題的能力，是一個重要的解決實際問題的策略，這也是我們當前以及今后進行數(shù)學教學的重難點。從數(shù)學建模的教學情況來看，我們最關(guān)鍵的是要進行模型的構(gòu)建，也就是說如何把具體的實際問題建立出相應的數(shù)學模型。基于此，本文先是對數(shù)學模型做了一個大致的介紹，接下來，以線性代數(shù)的主要思想和知識，來討論這一問題，最后通過一個人口遷移實例，來進一步分析如何利用線性代數(shù)的相關(guān)知識來解決實際的問題。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；知識；數(shù)學建模；應用

1 引言

我們要發(fā)展更加先進的科技，數(shù)學知識的支持是極其重要的。就當前的許多學科的問題來看，都或多或少地利用數(shù)學知識來解決問題。無論是從天文，還是從地理上來看，數(shù)學都在其中發(fā)揮了重要的作用。可以說，采用數(shù)學知識解決問題不僅僅是未來的發(fā)展趨勢，也是一名合格的大學生必要的素質(zhì)所在，這是對大學生掌握知識，以及分析實際問題的考察。

為了讓更多的當代大學生可以利用自己所獲得的數(shù)學知識來解決實際問題，我國每一年都會舉行一次數(shù)學建模比賽，其宗旨也是想讓更多的人真正地投入到這一活動中去，讓更多的人學習數(shù)學，利用數(shù)學，解決問題。從總的情況來看，在許多高校，數(shù)學競賽已經(jīng)得到了不同程度不同的重視，許多大學都開設了數(shù)學建模這門課程。在本文中，筆者主要是想就線性代數(shù)知識在數(shù)學建模中的應用談一下自己的看法。

2 建模

建立復雜的數(shù)學模型，來解決問題，對于現(xiàn)在的大學生而言確實是一件不容易的事情。考慮到我們在現(xiàn)實中遇到的問題會相對比較復雜，而大學生有時會問題的理解存在片面性，所以老師在具體的教學過程中，一定要不斷地培養(yǎng)學生如何把實際問題向數(shù)學模型轉(zhuǎn)化。教師在教學過程中要學會如何使用數(shù)學語言和方法對客觀存在的現(xiàn)象和規(guī)律進行闡述，從而得到數(shù)學模型。從建模來解決問題，主要有以下幾個流程：模型假設、模型建立、模型計算以及模型推廣等。就現(xiàn)實的數(shù)學模型，我們應該如何進行建模，從總的來看，要把握問題的基本原理，即不僅要對問題有一個總體的把握，同時還要結(jié)合求解的要求對相關(guān)的問題進行細分。數(shù)學模型的建立是用于解決問題的重要環(huán)節(jié)。教師在具體的教授過程中往往是關(guān)注了如何采用已經(jīng)建立好的數(shù)學模型求解問題，而對具體地模型是如何建立的，卻沒有應有的重視，所以這樣一來，時間一久，學生就不具備分析問題和解決問題的能力，并最終使建模課的教學一直在徘徊不前。數(shù)學模型建立得是否合適，關(guān)系到問題的求解難度及問題求解的結(jié)果與實際是否相符。通過數(shù)學建模的學習，我們可以更好地解決數(shù)學問題，以及提高自己的能力。

3 主要知識點回顧

大學數(shù)學的數(shù)學課程里，主要有高等數(shù)學和線性代數(shù)，代數(shù)學主要是用于研究線性關(guān)系問題。線性代數(shù)主要是用于對方程組進行求解。在對線性方程組和向量之間關(guān)系進行了深入研究以后，行列式以及矩陣慢慢地引入于其中，從而使線性代數(shù)得到了較快的發(fā)展，并在其中處于中心地位。線性代數(shù)在理工科，甚至是經(jīng)濟學科中都是一個十分重要的課程，學科中的不少問題都可以轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)中的問題。線性代數(shù)中的主要內(nèi)容就有行列式的求解、矩陣、向量組的相關(guān)性、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量、二次型等。其實，就本質(zhì)來看，都是用于求解線性方程組。而對于線性方程組的求解無非就是二個結(jié)論，有解和無解。如果線性方程組有解就有兩種情況：有唯一解和無窮多個解。對于無解的線性方程組，如何才能對其進行處理呢？這些都是我們在學習中要注意的事項。我們只有靈活掌握線性代數(shù)的主要理論，才可以實現(xiàn)實際問題向線性代數(shù)類問題的轉(zhuǎn)化。

4 實例分析

自我國實施改革開放政策以來，經(jīng)濟建設成就有目共睹，人民生活也有了較大的改善。但是卻存在明顯的城市環(huán)境惡化，以及城鄉(xiāng)收入差距不斷增大的趨勢，這使得有不少的農(nóng)村的人進城務工，而城市的居民又想去農(nóng)村生活。根據(jù)這一現(xiàn)狀，我國對某省的城鄉(xiāng)人口流動做了系統(tǒng)的調(diào)查。其結(jié)果顯示，在該省，每年有3.2個百分點的農(nóng)村居民移到城鎮(zhèn)，在城鎮(zhèn)中有1.3%的市民進入城鎮(zhèn)。從總的情況來看，居住于城鎮(zhèn)的人口高達40%。我們假定全省的總?cè)藬?shù)未發(fā)生變化，人口流動也是保持現(xiàn)在的情況，則一年以后，以及若干年以后城鎮(zhèn)會有多少人呢？

問題分析：我們假設本省的鄉(xiāng)村人口數(shù)是x0，城鎮(zhèn)人口是y0，經(jīng)過“該省每年有3.2%的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，在城鎮(zhèn)有1.3%的居民遷出城鎮(zhèn)”的變化，一年后鄉(xiāng)村人口就變?yōu)閤1，城鎮(zhèn)人口為y1。

問題求解：根據(jù)“當前該省總?cè)丝谥杏?0%的居住于城鎮(zhèn)”，我們就可以假設x0=0.6，y0=0.4，按照上面的公式3，我們得到x1=0.5860，y1=0.4140。再按照公式（4），我們得到x5=0.5360，y1=0.4640。

5 結(jié)論

數(shù)學建模是是一種用于培養(yǎng)學生應用實際模型，解決數(shù)學問題的能力。借助于數(shù)學建模，不但可以把大學生學到的知識應用于實踐，同時還可以讓更多的人積極，主動地進行學習，從而更加有利于大學數(shù)學教學工作的開展。數(shù)學建模競賽正在得到大學生，以及大學教師等人的重視。本文主要是對線性代數(shù)知識在數(shù)學建模中的應用進行了分析，并且給出了一個具體的解決問題的實例。本文的研究可以更好地理解數(shù)學建模并把其應用于實際工作中去。

參考文獻

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