考慮供給風險及銷售努力的動態定價問題研究

□慶艷華 左小德

[1.廣州中醫藥大學 廣州 510405; 2.暨南大學 廣州 510623]

引言

隨著科技的進步和市場競爭的加劇，企業所面臨的環境變得更加復雜和不確定，從而導致供應鏈風險日益增長。不論哪種風險發生在供應鏈的哪個環節，都有可能對整個供應鏈條造成巨大的影響。如何減少這種不確定性對企業的影響是學術界和企業同時面臨的嚴峻挑戰。盡管較多的研究是有關需求不確定的，但顯然不確定性并不是需求獨有的特征，供給也同樣具有這個特征。目前已經有很多關于供給風險的研究[1]。其中文獻[2]對比了確定的供給和不確定的供給情況下的供應鏈系統績效，并證明穩定的供給狀況會帶來更好的供應鏈整體績效，不過該文獻采用的是固定定價策略[2]。而文獻[3]研究了一個反應型的定價策略，它研究的是不確定的供給和確定的需求，并假設需求受價格的影響[3]。文獻[4]則更進一步研究了同時面臨隨機供給和隨機需求情況下的動態定價策略，分析了不同情況下動態定價的應用及供應鏈系統的收益[4]。國內較多的研究是關于供應鏈風險的，而供給風險的研究相對較少。其中文獻[5]的研究涉及到了供給的風險，探討了供應商違約問題，即供應商無法保證供給的情況對供應鏈產生的影響[5]。

過去的研究表明，動態定價是應對不確定性的有效方法。文獻[6]討論了將價格決策延遲到明確市場需求后產生的影響[6]。后來研究進一步擴展到多周期的動態定價問題[7]，易逝品或非易逝品的定價[8～9]以及面臨隨機需求的動態定價[10]等。但是這些動態定價問題的研究存在一個共同的特點是假設供給是穩定的，即供給總能夠被滿足，不存在供給風險。

另一方面，越來越多的企業發現通過銷售努力（如促銷活動）對需求的影響也可以有效降低需求不確定對企業帶來的沖擊。而對于銷售行為的關注較多的出現在供應鏈協調的文獻中[11～12]，盡管部分文獻也關注了考慮銷售努力的訂貨批量問題，但是更多的是從供應鏈協調的角度開展研究。文獻[13]的研究假設銷售努力影響需求，不同的是產品的價格是固定的，其結果顯示較高的銷售努力會增加需求，從而增加利潤，但是當供給很穩定，即供給風險很小的時候，銷售努力就不是很有必要了[13]。而在動態定價的文獻里，很少考慮到銷售努力行為對需求產生的影響。從過去的文獻可以看出，關于動態定價、供給風險和銷售努力的研究通常都是分別開展的。目前還缺乏動態定價和銷售努力共同作用于供給風險的研究。當供給量不確定，價格和銷售努力共同對需求產生影響的情況下，動態定價策略和銷售努力水平的變化會對企業獲利帶來什么樣的影響，如何確定定價水平和銷售努力水平來降低不確定的影響，實現利潤最大化即是本文所要研究的問題。本文的研究是在文獻[4]的基礎上開展的，尋找在不同供給水平下最優的價格及銷售努力水平，并通過數值實驗嘗試找出什么情況下更適合開展加入銷售努力的動態定價策略。本文通過引入供給風險因素，構建了修正的報童模型，并加入價格和銷售努力共同影響需求的假設（為了簡化分析，假設需求的潛在市場規模是不變的）。在此基礎上，文章分析了動態定價和銷售努力對于抵消供給不確定的作用，并通過數值實驗的結果進行驗證，試圖找出在存在供給風險時，什么樣的情況下動態定價和銷售努力能夠帶來更多的利潤。

一、模型描述

（一）面臨供給風險的動態定價的決策過程

本文研究的是一個單周期的模型，包括一個零售商和一個供應商。其中零售商是決策主體，面臨一個確定的市場（市場潛在規模確定，需求同時受到價格和銷售努力的影響）。而受各種因素的影響（自然災害、突發事件或人為因素等）產品的供給量是存在風險的，并不會剛好得到訂購的量，因此供給存在一定的不確定性。零售商的決策過程如圖1所示。零售商向供應商訂貨，訂貨量為Q，供應商接到訂單后，由于各種原因，實際的貨物交付量為q，這時零售商根據實際的供給狀況和市場需求狀況來確定自己的價格p及所需要付出的銷售努力水平e。不同于固定定價策略中Q與p同時確定并且p不再變化的情況，這里的p和e是在Q以及實際交付量q發生之后才確定的，并且會隨之發生變化，即定價是動態的。

因此本文對于動態定價的研究是分成兩個階段開展的，首先在明確得到供給信息q后確定最優價格p*和最優努力水平e*，然后在此基礎上確定能夠最大化利潤的訂貨量Q。

圖1 面臨隨機供給的供應系統的決策過程

（二）隨機供給量

供給的風險主要來自于供給量的不確定，有可能是天氣、災害或競爭等原因造成產量不足，從而導致無法供給訂貨量。為了簡化分析，本文假設隨機供給服從均勻分布[14]。

（三）符號描述

p為零售商購買單位產品的成本；

s為缺貨的懲罰成本；

h為剩余產品的損失成本；

e為零售商為了促進銷售而付出的努力；

c(e)=le2表示銷售努力的成本；

a為潛在市場需求；

b、k分別反映了市場需求對零售價格和

努力程度的反應的度量；

Q為訂貨量；

q為實際的交貨量，由于存在供給風險，

因此并不能按照Q交付；

g為在訂貨量為Q下交付q的概率；

π為利潤。

二、動態定價策略及期望利潤函數

（一）考慮銷售努力的動態定價策略

假設需求函數為D（p,e)=a-bp+ke,其中-bp+ke≤ 0，即無論如何努力，總的銷售量不可能超過潛在的市場需求總額。實際供給q服從[0,Q]的均勻分布。零售商的利潤獲得存在三種情況：

將需求函數代入式（1）中，得到如下利潤函數，

對上述利潤情況分析：在第一種情況下，不需要做出任何的銷售努力，需求就比供給量要大，這時銷售努力成本為0，零售商所要做的就是制定適當的價格將全部產品銷售出去，從而獲取最大利潤。即a-bp=q，因此可以得到在給定q下的最優策略組合其中

在第二種情況下，需要作出適當的銷售努力從而使產品能夠銷售出去，這時的目標是通過合理定價和增加銷售努力出售所有的產品，即D(p,e)=q。因此可以得到在給定q下的最優策略組合其中

在第三種情況下，當需求量小于供給量時，產品可能不一定能全部銷售出去，而這時努力的目標也不是出售所有產品而是利潤最大化。因此可以得到：

證明：式（2）中關于p、e的一階、二階偏導數分別為：

當k2-4bl＜ 0時，可以驗證海賽陣負定，第三種情況有最優解。令p、e的一階偏導數都為0，求得第三種情況下在給定q下的最優策略組合其中

推論 當q大于需求量的時候，無論實際供給量的情況如何發生變化，價格和努力水平決策都不會發生變化。從式（9）、式（10）中可以看出實際供給量超出需求的情況下的最優價格和努力水平與q無關，而是一個常數。

將式（3）～（8）分別代入（2）中得到，

對式（9）～（10）進行分析整理，得到，

第二種情況的利潤曲線π2與第三種情況下的利潤曲線π3有唯一交點，交點為

令π2=π3，即

根據式（9）～（11），利潤曲線如圖2所示，其中加粗曲線即為利潤曲線圖，即當供給量比較小的時候，零售商會通過銷售努力促進銷售，同時進一步提升價格，使得收益增加。而當供給量較大的時候，零售商并不會努力銷售完所有的產品，而是追求利潤最大，即使會有剩余的商品。

圖2 利潤曲線圖

1．如果k2＜2bl則

2.如果2bl＜k2＜4bl，則

但是，利潤函數首先要滿足 D(p,e)＜q的條件，因此當2bl＜k2＜4bl，最優定價并不是這里由于加入銷售努力的因素，出現了與文獻[4]不一致的結論。

這樣，得到利潤函數的表達如下：

（二）不考慮銷售努力的動態定價策略

不考慮銷售努力的動態定價情況下，利潤函數如下所示。

當實際供給量小于市場需求的時候，定價的目標是出售所有的商品，即而當實際供給量大于市場需求的時候，定價的目標是追求利潤最大化，此時代入式（15）、式（16），整理得到如下不考慮銷售努力的動態定價下的利潤函數，

π1,π2有唯一交點π1在處取得最大利潤。比較得到如圖3所示，其中加粗部分為利潤曲線。

圖3 不考慮銷售努力的動態定價的利潤曲線

因此可以看到，最優價格p*=max(p0,p1)，這與文獻[4]的結論是一致的。

（三）動態定價的最大期望利潤函數

無論是否加入銷售努力因素，動態定價的期望利潤函數均如下式（18）所示：

三、固定定價策略及期望利潤函數

（一）固定定價策略

固定定價策略即在銷售季開始之前，同時確定訂貨批量和價格決策，無論實際供給量如何價格均不會再發生變化。因此要找到期望利潤最大的（Q,p），其利潤函數及最大期望利潤函數如下所示。

（二）固定定價策略的最大期望利潤函數

四、數值實驗

通過數值實驗對前面的分析做進一步的研究，并分析動態定價策略及銷售努力的優劣，以及不同參數產生的影響。在數值實驗中，參數的設置為：a=250，k=2，l=12，c=6，s=60，h=30。

1．表1和圖4顯示，當產品（如必需品）的需求彈性很小的時候，動態定價與固定定價相比能夠帶來更多的利潤。而隨著需求彈性的增加，這種優勢越來越不明顯，當需求彈性很大的時候，動態定價就不再能帶來利潤的增加。而表1和圖5則顯示，比較是否增加銷售努力的動態定價策略，當b取值較小的時候，增加銷售努力的動態定價能夠帶來更多的利潤，而當b值逐漸增大，是否增加銷售努力就不那么重要了，而且不同b值之間的利潤情況的差異也在縮小。

表1 不同b值條件下的數值實驗結果

2．表2反映了參數h s、變化對于三種定價策略產生的影響。表1與表2對比的結果顯示當剩余產品的損失成本h高過缺貨成本s時，相同訂貨批量下的收益都要高于h小于s時的利潤。

表2s=30,h=60條件下的數值實驗結果

圖4 不同b值情況下的動態定價與固定定價的對比

圖5 不同b 值下有銷售努力動態定價與無銷售努力動態定價的對比

3．圖6則顯示在實際供給量相同的情況下，由于銷售努力對需求量的促進作用，使得需求量具有更大的變動范圍內，而在這個更大范圍內通過價格的調節作用，可以獲得更高的收益。如圖6所示在增加銷售努力的情況下，價格和利潤都高于沒有銷售努力的情況。

圖6 有銷售努力和無銷售努力動態定價利潤及價格比較

4．當實際供給量比較小的時候，采用動態定價獲益更多，此時銷售努力的作用并不明顯。圖7顯示當實際供給量比較小的時候，對于動態定價來說，銷售努力對獲益的促進作用并不大，增加銷售努力也并不會使得利潤有很大程度的提高，但是當供給量逐漸增大的時候，銷售努力對利潤的促進作用就越來越明顯。而當實際供給量較小的時候，采用動態定價策略的獲益會比采用固定定價策略的獲益要大，但是當實際供給量大于某一水平之后，這種利潤的差異就很不明顯了。

5．當訂貨批量較小時，采用動態定價策略的期望收益會高于固定定價但是隨著訂貨批量的增加，這種差異就變得越來越小。而訂貨批量較小時，是否增加銷售努力對于動態定價的獲益影響并不大，但是當訂貨批量逐漸增大，增加銷售努力會帶來更多的利潤。

圖7 動態定價與固定定價的比較

圖8 動態定價與固定定價的比較

表3 不同 2/k l 值條件下的數值實驗結果

6．銷售努力是否能夠帶來更多的利潤取決于對銷售的促進作用和所需付出的成本的比值。隨著比值越來越小，銷售努力帶來的利潤增長也越來越快。當2/k l的取值越接近于4b時，如圖9、表3所示，增加銷售努力越沒有成效。

圖9 不同 2/k l 取值情況下的利潤情況與無銷售努力動態定價的利潤情況

五、結論

過去對于動態定價的研究大多是在需求不確定而供給可靠的假設下開展的，并且只考慮價格因素對需求的影響，而忽略了銷售努力可能會對需求產生的影響。本文試圖將供給、定價和銷售努力結合起來，研究在供給隨機的情況下，需求同時受到價格和銷售努力影響時，報童問題的定價策略、訂購策略以及銷售努力水平的確定。本文給出了面對不同供給情況時的最優定價及銷售努力水平，并進而確定訂購決策，從而為這類報童問題的定價和訂購量提供了不同的決策方法。

通過數值實驗，本文觀察到更適合采取動態定價及增加銷售努力的情況：（1）當產品的需求彈性b比較小，實際的供給量q也較小的時候，動態定價會帶來更多的利潤。（2）當實際的供給量q比較大，增加銷售努力往往能帶來更多的利潤。當然這種對利潤的促進很大程度上取決于其對銷售的促進作用和所需付出的成本的比值。當增加銷售努力需要付出越來越高的成本時，增加銷售努力就變得越來越沒有必要了。

為了簡化分析過程，文章假設供給是服從均勻分布的，且市場的潛在規模是不變，而沒有考慮隨機需求的情況。因此尋找更適合的描述供給量的分布以及考慮需求隨機將是下一步的研究方向。

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