重視知識(shí)的形成，深化和提高數(shù)學(xué)理性思維能力

陳謹(jǐn)師

2014年高考是重慶市2010年高中新課改后的第二次高考，試題遵循《考試說明》中“發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，又注意考查進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”要求，兼顧數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、方法、思維、應(yīng)用和潛能等方面的考查。試題總體上體現(xiàn)了“穩(wěn)定和創(chuàng)新”，與2013年試題持平，試卷延續(xù)了近幾年高考數(shù)學(xué)命題的風(fēng)格，內(nèi)容豐富，與教材聯(lián)系緊密，難易梯度明顯，試卷整體難度適中；試題無偏題怪，主干知識(shí)覆蓋面較廣。試題總體上由易到難，有利于穩(wěn)定學(xué)生考試情緒、正常發(fā)揮水平，試題在題型設(shè)置、試卷結(jié)構(gòu)、難度控制等方面都保持了穩(wěn)定，形成平穩(wěn)發(fā)展的穩(wěn)定格局?？偟膩碇v，今年試題平穩(wěn)中有創(chuàng)新，科學(xué)中有美感，理論性中有應(yīng)用，有利于高等學(xué)校選拔新生，有利于中學(xué)素質(zhì)教育的實(shí)施，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展，是一份很好的試卷。

知識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)理性思維一、特色解讀

1.考點(diǎn)覆蓋面廣，注重雙基的考查

選擇題從第1題至第10題，考點(diǎn)依次為復(fù)數(shù)、數(shù)列、回歸分析、向量、程序框圖、簡易邏輯、簡單幾何體、雙曲線、計(jì)數(shù)原理和排列組合、解三角形綜合；填空題從第11題至第16題，考點(diǎn)依次為集合、初等函數(shù)、直線與圓、平面幾何、參數(shù)方程和極坐標(biāo)、不等式；解答題從第17題至第22題，考點(diǎn)依次為三角函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、數(shù)列與綜合。試卷所考查的知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣，內(nèi)容豐富，考查傳統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，突出考察了新課標(biāo)下新知識(shí)（如算法框圖，統(tǒng)計(jì)莖葉圖、回歸分析、立幾三視圖、填空題三選二中的平面幾何及參數(shù)方程與極坐標(biāo)）。數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)思想方法的考查始終貫穿整份試卷。

2.注重知識(shí)與方法的交匯

今年試題仍然以構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主干知識(shí)為主體，在強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考查的同時(shí)，為了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到“既全面又突出重點(diǎn)”的考試要求，也注重了知識(shí)與方法的交匯，加強(qiáng)了知識(shí)之間的交叉、滲透和組合，體現(xiàn)了知識(shí)的綜合性。例如，第6題將命題真假的判斷與充分必要條件的判斷相結(jié)合，第10題三角公式與解三角形，第12題對(duì)數(shù)與二次函數(shù)，第16題絕對(duì)值不等式與函數(shù)最值，第18題統(tǒng)計(jì)與概率，第19題立幾與向量方法，第20題將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，第21題直線、圓與橢圓，特別值得關(guān)注的是第22題，新穎別致有創(chuàng)意，與往年命題風(fēng)格完全不同，既考查了分類討論、反證法、構(gòu)造法等多種數(shù)學(xué)思想，又是一道以能力立意的好題，有較大的開放度和靈活性。

3.試題難度適中，層次分明，兼顧能力立意

試題總體上由易到難，結(jié)構(gòu)合理，層次分明，有利于穩(wěn)定學(xué)生考試情緒、正常發(fā)揮水平。選擇題第1題至第6題，填空題第11題和選做題，都較為容易，隨后的題目難度逐步加大，比如選擇題最后兩題和解答題的最后兩題，區(qū)分度就加大了。本份試卷容易題、中檔題和難題比例大致為3︰6︰1，難度系數(shù)大約為0.6，難度與去年基本持平，但略有提高。第9題、10題、21題、22題體現(xiàn)了很好的區(qū)分度。21題、22題第一問入手容易，但后續(xù)問題的解決則需要學(xué)生有較高的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通及數(shù)學(xué)能力的考查，很好的體現(xiàn)了能力立意。試題很好地考查了學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)能力的考査，很好地體現(xiàn)了試題的選拔功能，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)精神。

4.試題“生活化”

數(shù)學(xué)源于生活，又貼近、服務(wù)于生活。今年的數(shù)學(xué)非常“生活化”，需要考生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的各種問題。比如，第7題所涉及的幾何體是考生平時(shí)常見、熟悉的，第9題的晚會(huì)節(jié)目安排問題，第18題的從9張背面寫有數(shù)字的卡片中任取3張進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，這些都貼近生活實(shí)際。《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生把已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，以體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值?！痹囶}的“生活化”是大勢所趨，體現(xiàn)了課改精神。

二、亮點(diǎn)掃描

題一：（理7）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A.54 B.60 C.66 D.72

【命題立意】本題主要考查三視圖，幾何體的性質(zhì)特征及其表面積的計(jì)算，考查考生的空間想象能力和計(jì)算能力，難度中等。

【解題思路】結(jié)合正視圖、側(cè)視圖、俯視圖以及常見幾何體三視圖的特征，可以想象出該改幾何體是由一個(gè)三棱柱沿其上底面的一條棱切去一個(gè)三棱錐而得到，亦可看成一個(gè)三棱柱和三棱錐疊在一起的組合體。

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題雖然是一道選擇題，卻考察了《簡單幾何體》這一章節(jié)的大部分知識(shí)點(diǎn)，是《簡單幾何體》這章的濃縮?！耙渣c(diǎn)帶面”是本題最大的亮點(diǎn)。

【變式訓(xùn)練】變式一：某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的表面積為_____ 。

變式二：某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為_____。

題二：（理9）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同一類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（ ）

A.72 B.120 C.144 D.3

【命題立意】本題主要考查計(jì)數(shù)原理和排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查考生分析問題和解決問題能力等綜合應(yīng)用能力，難度中等偏上。

【解題思路】“不相鄰”問題，原則上用“插空法”。由于3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰、2個(gè)小品類節(jié)目也不相鄰，所以可以優(yōu)先考慮3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰，再去考慮2個(gè)小品類節(jié)目不相鄰。

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題背景源于生活實(shí)際，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值。

【變式訓(xùn)練】

變式一：某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則歌舞類節(jié)目不相鄰且小品類節(jié)目不在頭尾的不同排法種數(shù)是_____。

變式二：某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同一類節(jié)目不相鄰且最后一個(gè)節(jié)目是歌舞類節(jié)目的不同排法種數(shù)是____ 。

題三：（理10）已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+12，面積，滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列不等式成立的是（ ）

A.bc（b+c）>8 B.ab（a+b）>162 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24

【命題立意】本題主要考查誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦公式，正弦定理及不等式的性質(zhì)，考查考生分析問題及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，考查化歸轉(zhuǎn)化等思想。本題較難。

【解題思路】本題涉及到三角形的邊、角、面積，易想到運(yùn)用正（余）弦定理進(jìn)行解題，邊角的互化，角宜化成單倍角。由于bc（b+c）>abc，ab（a+b）>abc，故本題最終在于求abc的取值范圍。

【亮點(diǎn)評(píng)析】本題是三角函數(shù)公式、正弦定理、三角形面積、不等式的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了很好的能力立意，但本題無論用哪種方法，計(jì)算量都很大，能力要求很高，會(huì)讓考生過于耗時(shí)，難免有點(diǎn)美中不足。

【變式訓(xùn)練】

變式一：已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C滿足cos2A+cos（A-B+C）=cos（C-A-B）+12，面積滿足1≤S≤2，則ΔABC周長的最小值是______。

變式二：已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C滿足cos2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+12，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b=1，則ΔABC面積的最大值為_______。

題四：（理12）函數(shù)f（x）=log2x·log2（2x）的最小值為_________。

【命題立意】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，考查考生化歸轉(zhuǎn)化思想和求解運(yùn)算能力.本題難度中等.

【解題思路】通過對(duì)數(shù)運(yùn)算公式進(jìn)行化簡，易看出該函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的復(fù)合，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題。

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題看似容易，但在解題過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，本題并非純粹利用公式求解的計(jì)算題，

而需要有較好的觀察、分析、靈活掌握應(yīng)用知識(shí)的能力。

【變式訓(xùn)練】

變式一：函數(shù)f（x）=log4（16x）·logx（4x2）的最小值為_________。

變式二：已知函數(shù)f（x）=4x-2x+1-3在[0，2]上的最大值、最小值分別為M，N，則M-N=_____。

三、復(fù)習(xí)啟示

通過對(duì)2014年重慶市的高考數(shù)學(xué)（理）試題的分析，我認(rèn)為在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)注意以下幾點(diǎn)：

1.突出主干知識(shí)結(jié)構(gòu)，扎實(shí)打好知識(shí)基礎(chǔ)，回歸教材

常規(guī)題型依然是高考試卷的主流，主干知識(shí)支撐了整個(gè)試卷，考查的幾乎都是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中最基本、最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。高三復(fù)習(xí)應(yīng)改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用知識(shí)處理分析問題。研究高考試題，以高考試題為范例展開發(fā)散思維，變式演練，以主干知識(shí)復(fù)習(xí)為核心，突出重點(diǎn)，目標(biāo)明確，通法通解，狠抓實(shí)練。數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，是一個(gè)知識(shí)積累、梳理的過程。在教學(xué)和復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意各部分知識(shí)在各自發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系，以及各部分知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，理清脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，充分重視主干知識(shí)的支撐作用。

2.重視知識(shí)的形成，深化和提高數(shù)學(xué)理性思維能力

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)要充分重視知識(shí)的形成過程，解數(shù)學(xué)題要著重研究解題的思維過程，弄清基本數(shù)學(xué)方法和基本數(shù)學(xué)思想在解題中的意義和作用，研究運(yùn)用不同的思維方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題的多條途徑，注意猜想，歸納抽象，邏輯推理，演繹證明，運(yùn)算求解等理性思維能力。

3.倡導(dǎo)主動(dòng)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)實(shí)踐意識(shí)，重視探究和應(yīng)用

教師要為學(xué)生營造自主探索和合作交流的空間，善于從教材和實(shí)際社會(huì)生活中提出問題，培養(yǎng)鉆研精神，同時(shí)提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)交流能力。要關(guān)注要關(guān)注生產(chǎn)實(shí)踐和社會(huì)生活中的數(shù)學(xué)問題，關(guān)心身邊的數(shù)學(xué)問題，不斷提高教學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中篩選有用的信息和數(shù)據(jù)，研究其數(shù)量關(guān)系或數(shù)形關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題。注意抓住社會(huì)現(xiàn)實(shí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決的普遍性問題和社會(huì)熱點(diǎn)問題，開展討論、研究，從中提高數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。

4.規(guī)范解答

能否考高分，規(guī)范解答至關(guān)重要。在平時(shí)復(fù)習(xí)中，建議做好以下幾點(diǎn)：樹立準(zhǔn)確的答題心態(tài)；用好考前5分鐘；合理分配答題時(shí)間；做題順序先易后難；會(huì)做的題目要集中精力解答，語言表述要規(guī)范，避免無謂失分；碰到拿不準(zhǔn)的題要把會(huì)做的寫出來，不要留尾巴；碰到難題既不能輕易放棄，也不要抓住不放；草稿紙的使用要得當(dāng)；注意填涂答題卡。

5.調(diào)整心態(tài)，增強(qiáng)應(yīng)變

適當(dāng)?shù)刈⒅貙W(xué)生的心理素質(zhì)培養(yǎng)，經(jīng)受挫折和失敗的考驗(yàn)，增強(qiáng)抵抗壓力的能力，增強(qiáng)適應(yīng)各種題型的應(yīng)變能力。