基于多重分形理論與神經網絡的齒輪故障診斷

褚青青，肖 涵，呂 勇，楊志武

（武漢科技大學機械自動化學院冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，武漢 430081）

基于多重分形理論與神經網絡的齒輪故障診斷

褚青青，肖 涵，呂 勇，楊志武

（武漢科技大學機械自動化學院冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，武漢 430081）

針對齒輪故障振動信號具有多重分形特征，提出多重分形與神經網絡相結合的機械故障診斷方法。采用多重分形理論計算出振動時間序列的多分形譜f（α）和廣義分形維數D（q），并將多分形譜能和廣義分形維數譜能作為特征量，構成二維特征向量。將該特征向量作為概率神經網絡的輸入參量，對采自齒輪故障臺的振動信號進行故障分類。作為對比，將關聯維數作為特征量輸入同樣參數的概率神經網絡并進行故障識別，結果表明，所提出的方法具有更高的識別率。

多重分形理論；神經網絡；多分形譜；廣義分形維數

廣泛應用于各種機械設備中的齒輪一旦出現故障，會引起機械設備無法正常工作，造成嚴重的經濟損失甚至威脅到人的生命安全。齒輪振動信號的故障診斷方法已經有很多［1－2］，如常見的時頻域分析，譜分析，傅里葉變換等。但齒輪振動信號所具有的非平穩、非線性特征往往導致在提取其頻譜中的特征頻率時出現困難［3］，無法準確反映信號的非線性特征。分形理論被證明是刻畫非平穩時間序列的長程相關性的可靠方法之一［4］，研究表明，齒輪振動信號具有分形特性，這種分形特征為齒輪的故障診斷提供了一種有效的特征描述方法，利用分形方法可以較準確地提取非線性振動信號的特征。很多學者應用單分形理論提取振動信號特征并用于故障診斷，但單分形分析只能反映振動時間序列的整體信息，對信號的局部特征刻畫不足。多分形不僅反映序列的整體信息，而且能夠清楚地展示出其局部信息，進而對復雜的振動信號進行準確描述［5－6］。

對于大多數客觀存在的分形物體而言，僅用一個分形維數并不能完全刻畫其結構。Grassberger系統提出多重分形理論，用廣義分形維數和多重分形譜來描述分形客體，考慮了分形客體在分形支集的空間奇異性分布，因而在湍流、地震、圖像處理等幾乎所有涉及分形的領域迅速發展，并得到廣泛應用［4－5，7］。多重分形譜能夠反映整個分形結構上概率測度分布的比例、不均勻程度，能夠全面描述振動信號的波動程度以及振動劇烈程度［8］。

多分形譜參數［5，9］，形態學分形維［10］，廣義分形維數［11－13］等可以清晰地反映出振動信號的故障特征，洪時中等［7－8］指出多重分形譜參數和廣義分形維數可以表征故障特征，但這些研究僅指出齒輪振動信號具有多分形特征，并未針對這一特征提出對應的診斷方法。由于實測信號中的噪聲對分形維數的影響較大，為得到精確可靠的分形維數，必須先對實測的齒輪振動信號進行降噪處理［3，10］。首先將信號進行EMD降噪處理，然后采用多分形理論與神經網絡相結合的方法對齒輪故障狀態進行分類，并用實驗來證實提出方法的可行性和有效性。

1 多重分形譜算法

多重分形奇異譜最先由Halsey等［4］給出，經過刻畫定義于分形集上的歸一化測度的奇異特性來研究其標度性。分布的奇異性由兩個指數來刻畫：奇異性強度α及對應的分布密度f（α）。分形奇異譜則是由α值的取值范圍和函數f（α）確定。計算步驟如下：

（1）將時間序列｛xi｝，（i＝1，2，3，…，N）依次劃分成尺度為λ（λ＜1）的一維小盒子，令ai（λ）為盒子尺度為λ的第i個小盒子內振動信號的所有幅值之和，振動信號的所有幅值之和為∑ai（λ），則定義概率測度為：

（2）由概率測度pi（λ）定義配分函數χq（λ），

其中，q為一個實參數，q的值可以?。ǎ?，+∞）之間的值，式（2）中pi（λ）＝0的情況除外，為避免pi（λ）＝0的情況，在計算之前先對序列進行歸一化處理。當q達到一定值，q對多重分形譜已沒有影響，q取值范圍選取的標準為：當q改變1時，奇異指數的改變率Δα（q）＜0.2%［9，12］。

（3）配分函數χq（λ）與尺度λ之間存在冪指數關系：

冪指數稱為質量指數。對式（3）兩邊取對數得：

式中質量指數τ（q）即為配分函數與尺度的雙對數曲線的斜率。

（4）由勒讓德變換求得奇異指數α（q），計算公式為：

進而求得多分形譜f（α），其計算公式為：

由質量指數τ（q）計算廣義分形維數D（q），公式為：

當q＝2時，得到關聯維數［13］D（2）。

2 齒輪振動信號的多重分形性與特征提取

2.1 齒輪振動信號采集

實驗信號采自齒輪故障實驗裝置，齒輪傳動實驗臺傳動簡圖及實驗裝置的結構與測點示意圖如圖1所示。實驗裝置為單級齒輪傳動，小齒輪安裝在輸入軸上，其齒數Z1＝20，大齒輪齒數Z2＝37，齒輪模數為3。負載由磁粉加載器產生。振動加速度傳感器安裝在輸入端軸承座的垂直方向。點擊轉速為285 r／min，負載為0 N·m～20 N·m之間的隨機狀態。分別采集齒輪狀態為正常、斷齒、磨損和周節誤差四種故障的振動信號。采樣時間為2 s，采樣頻率2 048 Hz。

圖1 齒輪傳動實驗臺傳動簡圖Fig.1 Transmission diagram of the gear transmission test bench

2.2 齒輪振動信號的多重分形特性

共采集齒輪四種故障狀態（正常、磨損、斷齒、周節誤差）振動信號，每種狀態采集20組數據。

為了提高結果的準確性和計算的高效性，首先用EMD方法對原始數據進行分解，將原始信號分為10層［10，14］，對齒輪正常和磨損狀態信號取前兩層，斷齒狀態信號取前三層，周節誤差狀態信號取前四層。然后對分解后的信號按式（8）進行歸一化處理［15］。

式中xi為時間序列｛xi｝（i＝1，2，3，…，N）中的元素，xmin為時間序列元素中的最小值，xmax為時間序列元素中的最大值。根據前文q值范圍選取標準，q的取值范圍［－60，60］，取值間隔為3。通過式（1）和（2）計算得到齒輪振動信號的配分函數χq（λ）。以正常齒輪振動信號為例，其配分函數與尺度λ的雙對數圖如圖2所示。

由圖2看出配分函數χq（λ）與尺度λ的雙對數曲線呈現很好的線性關系，表現出標度不變性［9］，表明齒輪振動信號具有多重分形性。

圖2 正常齒輪振動信號對應的配分函數與尺度的雙對數圖Fig.2 The log-log graphs of the corresponding partition function and the size of normal gear state

由式（3）和式（4）計算得到質量指數τ（q），以正常齒輪振動信號為例，其質量指數與實參數q的關系曲線如圖3所示。圖中實線為過兩個端點的直線，由圖3看出τ（q）與q之間呈現非線性關系，也表明齒輪振動信號具有多重分形特征［4］。

圖3 正常齒輪振動信號的質量指數與q的關系曲線Fig.3 The curves of the quality index and q of normal gear state

由式（5）、（6）計算得到多分形譜f（α）和奇異指數α，圖4為多分形譜與奇異指數的關系曲線圖。

圖4 齒輪的四種故障狀態的多分形譜圖Fig.4 Multifractal spectras of four types of gear fault states

由圖4看出齒輪振動信號的多分形譜f（α）均為單峰函數，再次說明齒輪四種振動信號的多重分形性，但四種故障狀態的奇異性又有不同。多分形譜f（α）是對分形結構上的復雜程度、不規則程度以及不均勻程度的一種度量。

由式（7）計算得到廣義分形維數D（q），以正常齒輪為例，其廣義分形維數與實參數q的關系曲線如圖5所示。

由圖5看出廣義分形維數D（q）與q之間的關系，廣義分形維數是隨q增大而單調遞減的函數，進一步表明齒輪振動信號的多重分形性。

圖5 正常齒輪振動信號的廣義分形維數與實參數q的關系曲線Fig.5 The curves of the generalized fractal dimensions and q of normal gear state

2.3 齒輪振動信號的特征參數提取

從能量理論的角度出發，系統發生故障時故障狀態的能量大小和空間分布也會發生變化，且各個故障狀態的能量大小是不同的。因此，本論文采用多分形譜f（α）的二階矩和廣義分形維數D（q）譜的二階矩作為特征量，構成二維特征向量。由式（7）計算得到廣義分形維數D（q）的值。兩個特征量的計算公式如下：

朱云博等［16］以多個多重分形譜參數及廣義分形維數作為特征量，計算量大，本論文中利用多重分形譜和廣義分形維數的二階矩作為特征量，能有效提高計算速度。

3 PNN神經網絡分析方法進行分類及結果分析

概率神經網絡具有較強的對非線性問題處理和分類能力。其實質是基于貝葉斯最小風險準則發展而來的，PNN訓練時間短，且分類正確率較高［17］。

通過研究分析多重分形譜能和廣義維數譜能具有明確的物理意義，表達了時間序列內部的動力學機制，對機械系統狀態的變化非常敏感，因此，適合作為表征系統狀態的特征量。本實驗研究中，每種故障狀態采集20組振動信號，每種故障狀態振動信號中的10組作為訓練數據，利用概率神經網絡首先對提取的訓練樣本進行學習訓練，另外10組用作檢驗數據。所得結果見表1與表2。

表1 多分形與神經網絡結合的機械故障診斷識別率Tab.1 Recognition rates ofm achinery fault diagnosis ofmultifractal com bined w ith neural network

表2 基于關聯維數與神經網絡的機械故障診斷結果Tab.2 M echanical fault diagnosis result based on the correlation dim ension and neural network

由表1、表2分類結果可以看出，運用多分形與神經網絡結合的機械故障診斷方法對實驗臺的故障數據進行分類，其識別率更高。

4 結 論

本文提出將多分形理論與神經網絡相結合的方法，然后應用于齒輪故障診斷，并用實驗證實提出方法的可行性和有效性。不足之處是選擇某一個無標度區計算，可能丟失一些振動信號信息，可以考慮基于多個無標度區間的多分形分析方法，以期得到振動信號的全部信息。

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Gear fault diagnosis based on multifractal theory and neural network

CHU Qing-qing，XIAO Han，LüYong，YANG Zhi-wu
（MOE Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Its Control，College of Machinery and Automation，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China）

Themechanical fault diagnosismethod based on themultifractal theory combined with the neural network was proposed according to multifractal characteristics of gear fault vibration signals.Themultifractal theory was used to calculatemultifractal spectra f（α）and generalized fractal dimensions D（q）of vibration time series.Taking the multifractal dimension spectral energy and the generalized fractal dimension spectral energy as characteristics，a twodimensional characteristic vector was formed，itwas taken as input parameters of a probabilistic neural network，and with it the fault classification for vibration signals collected from a gear fault platform was done.Experimental results showed that the proposed method can effectively be used in gear fault diagnosis，and it has a higher recognition rate.

multifractal theory；neural network；multifractal spectrum；generalized fractal dimension

TH133

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.003

國家自然科學基金項目（51105284）

2014－08－22 修改稿收到日期：2014－11－06

褚青青女，碩士生，1987年生

肖涵男，副教授，1979年生