齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜多重分形特征提取研究

張?jiān)茝?qiáng)，張培林，吳定海，李 兵

（軍械工程學(xué)院車輛與電氣工程系，石家莊 050003）

齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜多重分形特征提取研究

張?jiān)茝?qiáng)，張培林，吳定海，李 兵

（軍械工程學(xué)院車輛與電氣工程系，石家莊 050003）

針對(duì)齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的非線性和非平穩(wěn)性，提出一種基于Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜多重分形特征提取方法。首先構(gòu)造時(shí)頻分辨率較好的分?jǐn)?shù)階S變換技術(shù)獲取齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜；然后針對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出一種Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法，用于提取分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特征參數(shù)。對(duì)5種狀態(tài)的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了分析和研究，結(jié)果表明齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜具有多重分形特性，Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取的多重分形特征參數(shù)能有效描述分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特征。

齒輪箱；時(shí)頻分析；多重分形；Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法；分?jǐn)?shù)階S變換

齒輪箱是機(jī)械設(shè)備中常用的傳動(dòng)部件，其振動(dòng)信號(hào)是一種典型的非線性、非平穩(wěn)信號(hào)［1－2］。如何提取有效的特征參數(shù)描述不同狀態(tài)的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，從而準(zhǔn)確診斷和識(shí)別齒輪箱故障，一直是眾多研究人員致力追求的目標(biāo)。

時(shí)頻分析技術(shù)能將信號(hào)映射到二維時(shí)－頻面內(nèi)，從而有效描述信號(hào)的時(shí)頻局部特性，是處理非平穩(wěn)信號(hào)的主要手段。目前，常用的時(shí)頻分析技術(shù)有短時(shí)Fourier變換、Wigner-Ville分布、小波變換和S變換等［3－6］。其中S變換是一種較新的時(shí)頻分析技術(shù)，雖然克服了短時(shí)Fourier變換和小波變換的不足，但是對(duì)高頻信號(hào)的頻率分辨率較差。分?jǐn)?shù)階Fourier變換［7］作為Fourier變換的一種推廣，具有良好的時(shí)頻旋轉(zhuǎn)特性。為改善S變換對(duì)高頻信號(hào)的頻率分辨率，從而提高S變換整體的時(shí)頻分辨性能，利用分?jǐn)?shù)階Fourier變換的時(shí)頻旋轉(zhuǎn)特性，設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階S變換，并用于齒輪箱振動(dòng)信號(hào)分析。

分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜雖然能有效地描述信號(hào)的非平穩(wěn)特性，但其維數(shù)較高，不能直接用于齒輪箱故障診斷。因此，還需要采用其它理論進(jìn)一步挖掘分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜中非線性特征，從而提取有效的特征參數(shù)。分形幾何理論是處理非線性信號(hào)的有力工具，并有研究表明齒輪箱振動(dòng)信號(hào)具有多重分形特性［2，8］。鑒于此，本文引入多重分形理論提取分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的特征參數(shù)。典型的多重分形分析方法有小波模極大值法、形態(tài)學(xué)覆蓋法和Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法（Q-MSPF）等［2，9－10］，其中QMSPF具有理論簡(jiǎn)單、計(jì)算復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。由于基于振動(dòng)信號(hào)分析的齒輪箱故障診斷比較關(guān)心的是信號(hào)頻率隨時(shí)間的變化情況，而不是信號(hào)采集的具體時(shí)刻，因此分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的時(shí)間和頻率信息具有不同的重要性，提取的特征參數(shù)應(yīng)該具有時(shí)間平移不變性和頻率平移敏感性。若將傳統(tǒng)的多重分形分析方法直接應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜，所提取的多重分形特征難以滿足上述要求。

因此，本文在采用分?jǐn)?shù)階S變換獲取齒輪箱振動(dòng)信號(hào)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的基礎(chǔ)上，針對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的特點(diǎn)，對(duì)Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜多重分形特征提取方法，并對(duì)5種狀態(tài)的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了分析和研究。

1 分?jǐn)?shù)階S變換

1.1 分?jǐn)?shù)階Fourier變換和S變換簡(jiǎn)介

分?jǐn)?shù)階Fourier變換作為Fourier變換的廣義形式，可以根據(jù)需要將信號(hào)從時(shí)域變換到不同的分?jǐn)?shù)階頻域，表現(xiàn)出良好的時(shí)頻旋轉(zhuǎn)特性。信號(hào)x（t）的分?jǐn)?shù)階Fourier變換為［11］

式中，u為分?jǐn)?shù)階頻率；Ka（t，u）為變換核，表達(dá)式為

S變換是近年來提出的一種較新的時(shí)頻分析技術(shù)，其時(shí)窗寬度隨頻率增大而減小，因而在低頻具有較高的頻率分辨率，在高頻具有較高的時(shí)間分辨率。信號(hào)x（t）的S變換為［6］

1.2 分?jǐn)?shù)階S變換定義

為改善S變換對(duì)高頻信號(hào)的頻率分辨率，從而提高S變換整體的時(shí)頻分辨性能，結(jié)合分?jǐn)?shù)階Fourier變換和S變換，定義分?jǐn)?shù)階S變換如下

式中，u為分?jǐn)?shù)階頻率；w（τ－t，u）為高斯窗函數(shù)，表達(dá)式為

式中，p為調(diào)整參數(shù)，p∈（0，1］。

由式（4）可知，分?jǐn)?shù)階S變換的時(shí)窗寬度隨分?jǐn)?shù)階頻率u的變化而改變，因而在分?jǐn)?shù)階低頻具有較高的頻率分辨率，在分?jǐn)?shù)階高頻具有較高的時(shí)間分辨率，繼承了S變換良好的時(shí)頻分辨性能。隨著變換階次a取值的不同，分?jǐn)?shù)階S變換能將信號(hào)變換到不同的分?jǐn)?shù)階頻域進(jìn)行時(shí)頻分析，從而獲得最佳的時(shí)頻分辨性能。當(dāng)a＝1且p＝1時(shí)，分?jǐn)?shù)階頻域即傳統(tǒng)的頻域，此時(shí)分?jǐn)?shù)階S變換退化為S變換。

2 Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法

2.1 Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法

Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法（Q-MSPF）是一種借助統(tǒng)計(jì)學(xué)中樣本矩的概念，通過構(gòu)造時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)方程來進(jìn)行多重分形分析的方法。對(duì)于長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列xi，i＝1，2，…，N，Q-MSPF主要包括以下幾步［10，12］：

式中，q為實(shí)數(shù)。如果具有多重分形，Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)滿足以下標(biāo)度特性

式中，τ（q）為質(zhì)量指數(shù)。對(duì)于不同的q值，τ（q）可以利用最小二乘擬合的方法求得。如果τ（q）是q的線性函數(shù)，則時(shí)間序列具有單分形特性；否則，時(shí)間序列具有多重分形特性。據(jù)此可以判定時(shí)間序列是否具有多重分形特性。

（4）按照式（9）對(duì)τ（q）進(jìn)行勒讓德變換得到多重分形奇異譜α（q）和多重分形譜f（α）。

式中，α稱為奇異指數(shù)。對(duì)于復(fù)雜的分形體，可以根據(jù)奇異指數(shù)將其劃分為一系列不同的子集。多重分形譜f（α）表示具有相同奇異指數(shù)α值的子集分形維數(shù)，描述了奇異指數(shù)α概率分布情況，是多重分形體不規(guī)則和不均勻程度的一種度量。

2.2 頻率加權(quán)的Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法

由2.1節(jié)介紹可知，Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法很容易從一維信號(hào)推廣到二維分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜。但由Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取的多重分形特征參數(shù)具有時(shí)間和頻率平移不變性，直接應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜，不利于齒輪箱故障信號(hào)分類和故障診斷。為此，本文提出一種頻率加權(quán)的Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法（Q-WMSPF）。對(duì)于分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜FrST（τ，u），Q-WMSPF的主要過程如下：

（2）將FrST′（τ，u）劃分成大小為s×s的子區(qū)域Dij，并按照公式計(jì)算各子區(qū)域Dij的概率測(cè)度

（3）構(gòu)造頻率加權(quán)的Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)

式中，uij為子區(qū)域Dij的中心頻率。后續(xù)步驟同QMSPF，在此不再贅述。由此得到的多重分形奇異譜和多重分形譜分別稱為加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜。

3 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)分析

本文所用齒輪箱振動(dòng)信號(hào)采自于一個(gè)二級(jí)傳動(dòng)齒輪箱，該齒輪箱由兩個(gè)直齒輪副組成，齒數(shù)分別為18／91和25／50，輸入軸的轉(zhuǎn)速為1 491 r／min。試驗(yàn)中模擬并采集了齒輪箱在正常、中間軸齒根裂紋、中間軸齒面磨損、輸出軸齒根裂紋和輸出軸齒面磨損等5種狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)。采樣頻率和采樣長(zhǎng)度分別為6 400 Hz和1 024個(gè)點(diǎn)。圖1為5種狀態(tài)下采集到的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)波形。

圖1 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)Fig.1 Gearbox vibration signals

3.1 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜

對(duì)圖1中5種齒輪箱振動(dòng)信號(hào)分別進(jìn)行分?jǐn)?shù)階S變換，獲取分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜。對(duì)于同種狀態(tài)的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，變換階次a和調(diào)整參數(shù)p取相同值，并且各狀態(tài)對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值通過多次實(shí)驗(yàn)進(jìn)行確定。最終，5種信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜如圖2所示，其中各子圖標(biāo)題后面括號(hào)中的數(shù)字分別代表參數(shù)p和a的取值。

由圖2可以看出，不同狀態(tài)的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜具有不同的能量分布，表現(xiàn)出不同的時(shí)頻特性。由此可知，采用分?jǐn)?shù)階S變換獲取的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜能夠有效描述不同狀態(tài)的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)。

圖2 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜Fig.2 The fractional time-frequency spectrums of gearbox vibration signals

3.2 分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特性分析

利用Q-WMSPF研究分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特性，要求Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)Zq（s）與s具有較好的對(duì)數(shù)線性關(guān)系。圖3給出了正常和中間軸齒根裂紋狀態(tài)下的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜對(duì)應(yīng)的ln Zq（s）～ln s關(guān)系曲線，其中各子圖從上到下分別為q＝－5，－4，…，4，5對(duì)應(yīng)的ln Zq（s）～ln s關(guān)系曲線。

由圖3可以看出，對(duì)于不同的權(quán)重因子q，ln Zq（s）與ln s均呈現(xiàn)出良好的線性關(guān)系。因此，可以利用QWMSPF對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜進(jìn)行研究。

圖3 ln Zq（s）～ln s關(guān)系曲線Fig.3 The relationship curves of ln Zq（s）～ln s

下面，分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF對(duì)5種狀態(tài)齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜進(jìn)行研究，結(jié)果如圖4～圖7所示，其中q的取值為－5：0.2：5，每種狀態(tài)的齒輪箱信號(hào)包含3個(gè)樣本。圖4和圖6是由Q-WMSPF得到的加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜。圖5和圖7是由Q-MSPF得到的多重分形奇異譜和多重分形譜。

由圖4～圖7可以看出，隨著q絕對(duì)值的增大，加權(quán)多重分形譜和多重分形譜的譜值均趨于定值，并且在q絕對(duì)值較小的范圍內(nèi)，譜值均隨著q的增大而迅速減小，呈現(xiàn)出類似于反余切曲線的變化趨勢(shì)；加權(quán)多重分形譜和多重分形譜均隨著奇異指數(shù)的增大，呈現(xiàn)出倒鉤狀。由此可知，分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜具有多重分形特性，這與齒輪箱振動(dòng)信號(hào)具有多重分形特性是一致的。

圖4 加權(quán)多重分形奇異譜Fig.4 Weightedmultifractal singular spectrums

圖5 多重分形奇異譜Fig.5 Multifractal singular spectrums

圖6 加權(quán)多重分形譜Fig.6 Weighted multifractal spectrums

圖7 多重分形譜Fig.7 Multifractal spectrums

進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，與多重分形奇異譜和多重分形譜相比，加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜均表現(xiàn)出更好的類間分散性和類內(nèi)聚合性，尤其在權(quán)重因子q較小和奇異指數(shù)α較大時(shí)對(duì)比十分明顯。因此，相比于Q-MSPF，由Q-WMSPF得到的多重分形奇異譜和多重分形譜具有更好的可區(qū)分性能。

3.3 多重分形特征參數(shù)選擇及性能分析

由多重分形理論可以形成一套描述多重分形體特征參數(shù)集合。常用的多重分形特征參數(shù)有αmax、αmin、 Δα、f（αmin）、f（αmax）、Δf和fmax，其中下標(biāo)max和min分別代表最大值和最小值，Δα＝αmax－αmin，Δf＝f（αmin）－f（αmax）。根據(jù)圖4～圖7中加權(quán)多重分形奇異譜和加權(quán)多重分形譜的變化情況，本文選擇αmax、Δα、f（αmax）和Δf4個(gè)參數(shù)來描述齒輪箱振動(dòng)信號(hào)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特性。為了便于區(qū)分和敘述，稱Q-WMSPF提取的特征參數(shù)為加權(quán)多重分形特征參數(shù)。

為研究加權(quán)多重分形特征參數(shù)的性能，對(duì)圖2所示的5個(gè)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜分別進(jìn)行0.01 s、0.02 s、0.03 s 和200 Hz、400 Hz、800 Hz的平移處理，然后分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF提取以上4個(gè)多重分形特征參數(shù)，并對(duì)各參數(shù)進(jìn)行方差分析。5個(gè)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜分析的平均結(jié)果見表1。

表1方差分析結(jié)果表明：①當(dāng)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜發(fā)生時(shí)間平移時(shí)，Q-WMSPF和Q-MSPF提取的特征參數(shù)波動(dòng)都比較小，在相同的平移幅度下，加權(quán)分形特征參數(shù)的波動(dòng)小于分形特征參數(shù)的波動(dòng)。在允許的誤差范圍內(nèi)可以認(rèn)為兩種方法提取的特征參數(shù)均具有時(shí)間平移不變性，并且加權(quán)分多重形特征參數(shù)的平移不變性稍好于多重分形特征參數(shù)。②當(dāng)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜發(fā)生頻率平移時(shí)，Q-MSPF提取的特征參數(shù)波動(dòng)很小，而Q-WMSPF提取的特征參數(shù)波動(dòng)非常大，由此可知多重分形特征參數(shù)具有近似的頻率平移不變性，而加權(quán)多重分形特征參數(shù)具有頻率平移敏感性。

因此，與Q-MSPF相比，Q-WMSPF提取的多重分形特征具有更好的性能。它們受信號(hào)采樣的開始時(shí)刻影響比較小，同時(shí)對(duì)不同時(shí)刻信號(hào)能量分布在頻率軸上的變化比較敏感，更加有利于齒輪箱振動(dòng)信號(hào)分析和故障診斷。

表1 方差分析結(jié)果（×10－4）Tab.1 The variance analysis results（×10－4）

3.4 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜特征提取

從齒輪箱振動(dòng)信號(hào)中隨機(jī)選取200個(gè)樣本，每種狀態(tài)包含40個(gè)樣本，在利用分?jǐn)?shù)階S變換得到分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的基礎(chǔ)上，分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF提取αmax、Δα、f（αmax）和Δf 4個(gè)多重分形特征參數(shù)。由αmax、Δα和f（αmax）繪制的箱型圖見圖8，圖中不同符號(hào)代表不同狀態(tài)下的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)。

圖8 分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜特征提取結(jié)果Fig.8 Feature extraction results of fractional time-frequency spectrums

從圖8可以看出，由于Q-WMSPF通過分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜子區(qū)域中心頻率加權(quán)的方式構(gòu)造了Q階矩結(jié)構(gòu)函數(shù)，所提特征參數(shù)具有時(shí)間平移不變性和頻率平移敏感性，導(dǎo)致加權(quán)多重分形特征參數(shù)表現(xiàn)出比多重分形特征參數(shù)更好的類內(nèi)聚合性和類間分散性。由此可知，Q-WMSPF提取的多重分形特征參數(shù)能更好地描述齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特征，因而是齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的一類新的有效特征參數(shù)。

4 結(jié) 論

針對(duì)非線性、非平穩(wěn)的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，本文提出了一種基于Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜多重分形特征提取方法。通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階S變換獲取齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜，而后采用Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特征。齒輪箱振動(dòng)信號(hào)研究結(jié)果表明：由于分?jǐn)?shù)階S變換結(jié)合了分?jǐn)?shù)階Fourier變換和S變換的優(yōu)點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜可以很好地表達(dá)齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻局部特性；齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜具有明顯的多重分形特性；相比于Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法，Q階加權(quán)矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法提取的多重分形特征參數(shù)具有時(shí)間平移不變性和頻率平移敏感性，能更有效地描述分?jǐn)?shù)階時(shí)頻譜的多重分形特性。

［1］林近山，陳前.基于多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析的齒輪箱故障特征提取方法［J］.振動(dòng)與沖擊，2013，32（2）：97－101.

LIN Jin-shan，CHEN Qian.Fault feature extraction of gearboxes based on multifractal detrended fluctuation analysis ［J］.Journal of Vibration and Sound，2013，32（2）：97－101.

［2］李兵，張培林，米雙山，等.齒輪故障信號(hào)多重分形維數(shù)的形態(tài)學(xué)計(jì)算方法［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2011，31（4）：450－453.

LI Bing，ZHANG Pei-lin，MI Shuang-shan，et al.Mathematicalmorphology based onmultifractal dimensions for gear fault diagnosis［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆Diagnosis，2011，31（4）：450－453.

［3］遲華山，王紅星，郭奇，等.短時(shí)傅里葉變換在線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)頻濾波中的應(yīng)用［J］.電訊技術(shù)，2012，52（2）：155－159.

CHI Hua-shan，WANG Hong-xing，GUO Qi，et al.Application of STFT in time-frequency filtering of LFM signals ［J］.Telecommunication Engineering，2012，52（2）：155 －159.

［4］蔡艷平，李艾華，石林鎖，等.基于EMD-WVD振動(dòng)譜時(shí)頻圖像SVM識(shí)別的內(nèi)燃機(jī)故障診斷［J］.內(nèi)燃機(jī)工程，2012，33（2）：72－79.

CAIYan-ping，LI Ai-hua，SHI Lin-suo，et al.IC engine fault diagnosis method based on EMD-WVD vibration spectrum time-frequency image recognition by SVM［J］.Chinese Internal Combustion Engine Engineering，2012，33 （2）：72－79.

［5］馬倫，康建設(shè)，孟妍，等.基于Morlet小波變換的滾動(dòng)軸承早期故障特征提取研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2013，34 （4）：920－926.

MA Lun，KANG Jian-she，MENG Yan，et al.Research on feature extraction of rolling bearing incipient faultbased on Morletwavelet transform［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2013，34（4）：920－926.

［6］Djurovi I，Sejdi E，Jiang J.Frequency-based window width optimization for S-transform［J］.AEU-International Journal of Electronics and Communications，2008，62（4）：245－250.

［7］Ervin S，Igor D，Ljubisa S.Fractional Fourier transform as a signal processing tool：an overview of recent development［J］.Signal Processing，2011，91：1351－1369.

［8］Lin Jin-shan，Chen Qian.Fault diagnosis of rolling bearings based on multifractal detrended fluctuation analysis and Mahalanobis distance criterion［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013，38：515－533.

［9］Peng Z，Chu F，Tse PW.Singularity analysis of the vibration signals by means of wavelet modulus maximal method［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（2）：780－794.

［10］Zhang D T，Luo F.A new detectingmethod for weak targets in sea clutter based on multifractal properties［C］／／Proceedings of 2011 IEEE CIE International Conference on Radar，Chendu，2011：446－449.

［11］陶然，鄧兵，王越.分?jǐn)?shù)階傅里葉變換及其應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

［12］孫康，金鋼，朱曉華，等.基于Q-MMSPF的海雜波多重分形互相關(guān)分析和目標(biāo)檢測(cè)［J］.國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，35（3）：170－175.

SUN Kang，JIN Gang，ZHU Xiao-hua，et al.Multifractal cross-correlation analysis of sea clutter and target detection based on Q-MMSPE［J］.Journal of National University of Defense Technology，2013，35（3）：170－175.

M ultifractal feature extraction for fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals

ZHANG Yun-qiang，ZHANG Pei-lin，WU Ding-hai，LIBing

（Department of Vehicle and Electrical Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

For the nonlinearity and nonstationarity of gearbox vibration signals，a multifractal feature extraction approach for their fractional time-frequency spectra based on a Qth order weighted moment structure partition function method was proposed.A fractional S transformation with better time-frequency resolution was firstly constructed to obtain fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals.Then，aiming at the characteristics of fractional timefrequency spectra，a Qth order weighted moment structure partition function method was designed to extractmultifractal features of the fractional time-frequency spectra.The gearbox vibration signals under five stateswere analyzed.The results indicated that the fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals have the multifractal features，and the extracted multifractal features using the Qth orderweightedmoment structure partition functionmethod canmore effectively describe themultifractal characteristics of fractional time-frequency spectra.

gearbox；time-frequency analysis；multifractal；Qth order weighted moment structure partition function method；fractional S transformation

TH113；TK411

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.014

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（E51205405，51305454）

2014－06－30 修改稿收到日期：2014－11－06

張?jiān)茝?qiáng)男，博士生，1987年9月生

張培林男，教授，博士生導(dǎo)師，1955年12月生