多自由度軋機傳動系統非線性非主共振扭振特性

時培明，夏克偉，劉 彬，侯東曉

（1．燕山大學電氣工程學院，秦皇島 066004；2．東北大學秦皇島分校自動化工程系，秦皇島 066004）

多自由度軋機傳動系統非線性非主共振扭振特性

時培明1，夏克偉1，劉 彬1，侯東曉2

（1．燕山大學電氣工程學院，秦皇島 066004；2．東北大學秦皇島分校自動化工程系，秦皇島 066004）

建立含參激多自由度軋機傳動系統非線性扭振動力學模型，通過坐標變換將非線性方程組解耦成獨立方程，采用多尺度法得到電機擾動力矩和軋制負載力矩共同作用下非線性系統的幅頻響應方程。以某廠1780軋機傳動系統為實際算例，將其簡化成4自由度非線性扭振模型，通過實際參數分析了非線性剛度、非線性阻尼、接軸傾角、電機擾動力矩以及軋制張力波動對傳動系統超諧波共振、亞諧波共振及組合共振幅頻特性的影響。用數值仿真與解析結果相比較，驗證解析方法的有效性。研究結果為外擾影響下的軋機傳動系統扭振特性提供一定的理論指導和參考。

多自由度；軋機傳動系統；張力波動；組合共振

隨著軋制速度和強度的不斷提高，軋機傳動系統頻繁出現異常扭振失穩現象，嚴重影響軋制生產，成為制約軋制效率和產品質量進一步提升的主要瓶頸。傳動系統中存在復雜的非線性因素［1－3］，導致系統發生非線性振動，影響軋機的穩定運行，降低生產效率［4－6］。因此從理論上研究軋制過程中擾動因素影響下的傳動系統非線性扭振響應的行為、特征和規律有重要的意義。

Haruo等［7］研究了阻尼作用下的軋機非線性扭振，指出由于軋輥打滑上、下軋輥力矩分配不均勻，阻尼對系統扭振振幅的影響顯著并呈現衰減趨勢。Wang等［8］應用K-B法求解了軋機主傳動系統非線性扭轉自激振動模型，得到了產生穩定自激振動的條件。文獻［9－10］研究表明電機諧波分量的存在使傳動系統產生非線性扭振響應，形成速度控制系統與軋輥回轉運動系統的機電耦合。目前，國內外對電氣擾動、結構參數、軋制張力波動等影響下的多自由度軋機主傳動系統非線性扭振特性的研究還不夠深入。

建立了含參激多自由度非線性扭振系統的一般形式的動力學方程，求解了該系統的幅頻響應方程。以某廠軋機主傳動系統為實際算例得出系統在非線性剛度、非線性阻尼、接軸傾角、擾動力矩以及軋制張力波動變化下的組合共振、超諧波共振及亞諧波共振幅頻曲線，其中以張力波動尤為明顯，因此在實際中應注意對軋制張力的控制，從而抑制軋機扭振，保持軋機平穩運行。研究結果為研究此類軋機傳動系統非線性扭振系統動力學行為提供了理論參考。

1 軋機多自由度傳動系統模型

1.1 模型建立

考慮板帶軋機主傳動系統在高速穩態軋制下對系統主傳動系統進行動力學建模。將軋機傳動系統簡化為多自由度非線性扭振動力學模型（見圖1）。

圖1 多自由度軋機傳動系統扭振模型Fig．1 Torsional vibrationmodel ofmulti-dof rollingmill drive system

圖1中，θi為轉角，i＝1，2，…，n；ci為阻尼，ki為剛度，i＝1，2，…，n－1；Ji為等效轉動慣量，i＝1，2，…，n。ω為電機端的角頻率，接軸傾角為α，KNL為接軸的非線性剛度，CNL為接軸上的非線性阻尼，ψ1、ψ2分別為接軸部分的輸入端和輸出端的轉角。

根據已知接軸輸入輸出端角位移動力學關系［11］可以得出

式中：Δθ為接軸兩端相對轉角。

考慮軋輥端前張力TF以及后張力TB對軋制力矩的影響，可得

式中：R為軋輥半徑，考慮張力波動，故軋制波動力矩可取Δ（TB－TF）R，Δ為張力波動系數。

隨著互聯網和數據庫技術的發展，國內外在參考文獻管理系統的研究上也取得一定的成果，研發了專業的參考文獻檢測系統。國際上知名的參考文獻管理軟件包括Endnote(SCI湯姆森路透)、Mendeley，國內有單機版NoteExpress 和西安三才研發的網絡版NoteFirst。將參考文獻輸入檢測系統，系統自動將參考文獻與權威數據庫進行數據比較，逐條驗證數據的準確性,并提供修改意見。

這樣由圖1可以得到軋機多自由度傳動系統非線性扭振動力學表達式

式中：J為系統的轉動慣量矩陣，C為系統的結構阻尼矩陣，K為系統的剛度矩陣，F為系統的激振力矩陣。則F可寫為

1.2 坐標變換下的非線性扭振模型

2 非線性方程求解

3 算例分析

以某廠1780軋機主傳動系統為例，將其簡化為四自由度模型，從左至右依次為電機端、電機端接軸、軋輥端接軸以及軋輥等效轉動慣量，并取如下參數：

3.1 超諧波共振

考慮穩態響應，有a′＝0，γ′＝0，則式（12）和式（13）化為

選擇不同系統參數時，會得到不同的超諧波共振幅頻響應曲線。當非線性剛度KNL變化時，曲線變化（見圖2），圖中KNL單位為108Nm／rad，從圖中可以看出非線性剛度對系統振動有較明顯的影響，隨著KNL的增大，曲線彎曲程度加大，振幅有所減小，共振區域也會增大。

圖2 非線性剛度變化的超諧波幅頻響應曲線Fig．2 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

圖3為系統非線性阻尼CNL變化下，系統的超諧波共振幅頻響應曲線，CNL的單位為103Ns／m，CNL從3．061到10．304變化過程中，振幅明顯減小，且共振域也隨之明顯減小，但彎曲程度保持不變。由此可見，非線性阻尼CNL對系統扭振影響較大。

圖3 非線性阻尼變化的超諧波幅頻響應曲線Fig．3 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

圖4 電機擾動力矩變化的超諧波幅頻響應曲線Fig．4 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

圖5為軋制張力波動下的系統超諧波共振幅頻響應曲線，Δ為張力波動系數。圖中可以清楚的看出，隨著Δ的增大，共振區域顯著增大，振幅也會增大。可見，軋制張力波動對系統扭振影響較大，實際生產中應注意對軋制張力的控制，從而抑制軋機扭振，保證軋機平穩運行。

圖5 軋制張力波動下的超諧波幅頻響應曲線Fig．5 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

此外，當在可行范圍內改變接軸傾角度數時，對系統超諧波共振沒有影響。

采用Runge-Kutta法對圖2中KNL＝3．343×108Nm／rad，取調諧參數σ＝2對系統出現超諧波共振的情況進行數值仿真，解析解與數值解相接近，且反映出了幅值跳躍現象（見圖6）。

圖6 KNL＝3．343×108Nm／rad，調諧參數σ＝2 rad／s時，系統超諧波共振時間歷程圖Fig．6 Time domain curve of super harmonic resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝2 rad／s

3.2 亞諧波共振

改變系統參數時，可以得到不同的亞諧波共振幅頻曲線（見圖7～圖10）。由圖7可知非線性剛度KNL對振幅的大小、曲線的彎曲程度和共振域的大小都有很大的影響，圖中KNL單位為108Nm／rad，隨著KNL的增大，振幅增大，骨干曲線向右偏移且共振域增大。圖8描繪了不同非線性阻尼的亞諧波共振幅頻曲線，單位為103Ns／m，可見CNL僅對振幅的大小有影響，對曲線的彎曲程度沒有影響，且不影響骨干曲線。隨著CNL的減小，振幅會增大，且共振域也會增大。圖9為電機擾動力矩變化的幅頻曲線，單位為105Nm，擾動力矩變化對系統僅有微弱的影響，共振域也會隨之略有增大。圖10為軋制張力波動的亞諧波共振幅頻曲線，可見張力波動對振幅影響較大，隨著張力的增大，振幅明顯變大，且共振域也隨之增大，曲線彎曲程度保持不變，且不影響骨干曲線。

圖7 非線性剛度變化的亞諧波共振幅頻響應曲線Fig．7 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

圖8 非線性阻尼變化的亞諧波共振幅頻響應曲線Fig．8 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

此外，當在可行范圍內改變接軸傾角度數時，對系統亞諧波共振也沒有影響。

采用Runge-Kutta法對圖7中KNL＝3．343×108 Nm／rad，取調諧參數σ＝1對系統出現亞諧波共振的情況進行數值仿真，解析解與數值解相接近，且反映出了幅值跳躍現象（見圖11）。

3.3 組合共振

圖9 電機擾動力矩變化的亞諧波共振幅頻響應曲線Fig．9 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

圖10 軋制張力波動下的亞諧波共振幅頻響應曲線Fig．10 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

圖11 KNL＝3．343×108Nm／rad，調諧參數為1 rad／s／時，系統亞諧波共振時間歷程圖Fig．11 Time domain curve of sub harmonic resonance resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝1 rad／s

以2Ω1+Ω2≈ω0分析組合共振，此時令2Ω1+Ω2≈ω0+εσ，σ＝ο（1），記（2Ω1+Ω2）T0≈ω0T0+σT1，則消除久期項的條件為

圖12 非線性剛度變化的組合共振幅頻響應曲線Fig．12 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

圖13 非線性阻尼變化的組合共振幅頻響應曲線Fig．13 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

圖14 電機擾動力矩變化的組合共振幅頻響應曲線Fig．14 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

圖15 軋制張力波動下的組合共振幅頻響應曲線Fig．15 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

圖16 KNL＝3．343×108Nm／rad，調諧參數為σ＝3 rad／s／時，系統組合共振時間歷程圖Fig．16 Time domain curves of combination resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝3 rad／s

改變系統參數時，可以得到不同的組合共振幅頻曲線（見圖12～圖15）。由圖12可以看出非線性剛度KNL對振幅的大小、曲線的彎曲程度和共振域的大小都有很大的影響，圖中KNL單位為108Nm／rad，隨著KNL的增大，振幅增大，骨干曲線向右偏移且共振域增大。圖13描繪了不同非線性阻尼的組合共振幅頻曲線，單位為103Ns／m，可見CNL僅對振幅的大小有影響，對曲線的彎曲程度沒有影響，且不影響骨干曲線。隨著CNL的減小，振幅會增大，且共振域也會增大。圖14為電機擾動力矩變化的組合共振幅頻曲線，單位為105Nm，擾動力矩變化對系統僅有微弱的影響，M增大時，振幅和共振域輕微增大。圖15為軋制張力波動的組合共振幅頻曲線，可見張力波動對振幅影響較大，隨著張力的增大，振幅明顯變大，且共振域也隨之增大，曲線彎曲程度保持不變，且不影響骨干曲線。

此外，當在可行范圍內改變接軸傾角度數時，對系統組合共振也沒有影響。

采用Runge-Kutta法對圖12中KNL＝3．343×108 Nm／rad，取調諧參數σ＝3對系統出現組合共振共振的情況進行數值仿真，解析解與數值解相接近，且反映出了幅值跳躍現象（見圖16）。

4 結 論

（1）建立了電機擾動力矩和軋制負載力矩共同作用下的含參激軋機多自由度傳動系統非線性扭振動力學模型，并通過坐標變換得到其等效非線性扭振方程。

（2）應用多尺度法分別得到了軋機在周期擾動力矩激勵和軋制負載力矩共同作用下的超諧波共振、亞諧波共振以及組合共振的幅頻響應方程。

（3）通過實際算例參數仿真，得到了軋機傳動系統非線性剛度、非線性阻尼、接軸傾角、電機擾動力矩以及軋制力張力的變化對系統超諧波共振、亞諧波共振以及組合共振的幅頻特性響應的影響以及變化規律，其中以張力波動的影響尤為明顯，實際生產中應注意對軋制張力的控制，從而抑制軋機扭振，保證軋機平穩運行。文中采用數值仿真與解析結果相比較，驗證該解析方法的有效性。研究結果為外擾影響下含參激軋機傳動系統扭振特性的研究提供了一定的理論參考。

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Non-main resonance characteristics of nonlinear torsional vibration of rolling m ill'smulti-degree-of-freedom main drive system

SHIPei-ming1，XIA Ke-wei1，LIU Bin1，HOU Dong-xiao2
（1．College of Electrical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；2．Department of Automatic Engineering，Northeastern University at Qinghuangdao，Qinghuangdao 066004，China）

Considering the influence caused by the parametric excitation，the nonlinear torsional vibration equations ofmulti-DOF rollingmill'smain drive system were established．To analyze the coupled equations by analyticmethod，the equations were decoupled by transforming them into principal coordinates．The amplitude-frequency characteristic equation was obtained by solving the dynamical equation usingmulti-scalemethod．Furthermore，a numerical example based on the main drive system of 1780 rollingmill in some Steel Co．was given to illustrate the effects of resonance on response of the system．The influences on amplitude frequency characteristics of super-harmonic resonance，sub-harmonic resonance，and combination resonance under the changes of parameters like nonlinear stiffness，nonlinear friction damping，joint angle，torque disturbance and rolling tension were analysed．The numerical simulation indicates that the analytic method is proved to be valid when comparing the results by the numericalmethod and themulti-scalemethod．The results provide theoretical basis and reference to analyzing torsional vibration of rolling mill's transmission system caused by outside disturbance．

multiple degrees of freedom；main drive system of rollingmill；rolling tension fluctuation；combination resonance

O322

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．007

國家自然科學基金（51005196）；河北省自然科學基金鋼鐵聯合基金（E2012203194，E2014501006）

2013－07－11 修改稿收到日期：2014－04－03

時培明 男，博士，副教授，1979年生郵箱：spm＠ysu．edu．cn