少齒差星輪型減速器的彈性動力學建模與模態分析

張 俊，郭 凡，謝勝龍

（安徽工業大學機械工程學院，安徽 馬鞍山 243002）

少齒差星輪型減速器的彈性動力學建模與模態分析

張 俊，郭 凡，謝勝龍

（安徽工業大學機械工程學院，安徽 馬鞍山 243002）

針對目前少齒差星輪型減速器在機械應用中行星軸承易燒毀的現象，對其進行力學分析以尋求解決的途徑。基于子結構綜合思想，將少齒差星輪型減速器劃分為輸出軸子系統、輸入軸子系統、星輪軸子系統和平動星輪子系統，運用牛頓力學方法建立各子系統的運動微分方程。通過計入各軸承徑向支承變形、齒輪副嚙合變形以及輸入軸和星輪軸上偏心套的分度誤差和偏心誤差等因素，構造系統各環節的變形協調條件，并將其與各子系統的運動微分方程結合，構建出少齒差星輪型減速器的彈性動力學方程。通過求解系統動力學方程的特征值問題，可獲得其固有特性。以HJW－18B型星輪減速器為例，基于所建動力學模型對其進行了模態分析。結果表明，少齒差星輪型減速器的低階固有頻率遠高于系統額定輸入轉頻，一般不會引起結構諧振；系統低階模態對應的振型表現為四類子系統的復合振動模式。在此基礎上進一步進行了實驗模態分析。對比發現，實驗模態結果與理論仿真結果吻合較好，表明所建彈性動力學模型具有較高的計算精度，可準確揭示少齒差星輪型減速器的動態特性，從而為后續的受力分析、強度計算和結構優化提供準確的力學依據。

少齒差；星輪減速器；彈性動力學；變形協調條件；模態分析

少齒差行星齒輪傳動的振動與噪聲是影響其可靠性、使用壽命及操作環境的關鍵因素［1－2］。圍繞該類傳動的動力學問題，學術界開展了廣泛研究，內容涉及動力學建模、固有特性分析、動態響應求解、振動和噪聲抑制等多個方面。這其中，動力學建模與固有特性分析是進行后續動力學性能研究及減振降噪的理論基礎。

按照建模時考慮因素和力學層次的不同，可將少齒差行星齒輪傳動的動力學建模方法分為一般剛體力學方法、彈性靜力學方法和彈性動力學方法。其中，一般剛體力學方法將機構中各構件視為剛體，利用靜力平衡條件和力矩平衡條件建立系統的靜力學方程。應海燕等［3-5］相繼采用這種方法研究了三環減速器、雙曲柄式精密行星傳動和星輪減速器的受力問題，給出了系統關鍵零部件的載荷變化曲線。需要指出的是，因少齒差行星齒輪傳動中存在虛約束，各構件不滿足靜定條件，故采用一般剛體力學方法無法準確求得各構件的受力。為此，在開展該類傳動的力學分析時，必須計入盡可能多的影響因素，同時構造恰當的變形協調條件，方可建立能反映系統各環節真實受載狀況的力學模型。宋軼民等［6］通過計入行星軸承和齒輪副的彈性變形，采用彈性靜力學方法研究了三環減速器的受力和變形。類似地，張俊等［7］通過計入高速軸彎曲、環板拉壓與彎曲、齒輪副、軸承、支承軸扭轉等變形，采用力—位移混合法建立了環板式減速器的彈性準靜態模型，并進一步分析了系統中各零部件的受力狀況。趙自強等［8－9］在計入各運動副處接觸變形的基礎上，通過建立彈性靜力學模型相繼研究了一類內平動齒輪機構和星輪減速器的受力問題。彈性靜力學模型雖能在一定程度上反映少齒差傳動的受載狀況，但卻無法揭示系統的動態特性，如固有頻率、振動模式等。為明晰傳動系統的振動機理，必須建立相應的動力學模型。楊建明等［10－11］建立了三環減速器的彈性動力學模型，并依托該模型分析了系統的固有特性和穩態動響應。在此基礎上，宋軼民等［12－13］進一步計入了環板和高速軸支承軸承的變形，建立了考慮更多影響因素的少齒差環板式減速器的動力學模型，相繼分析了相位差120°的三環減速器和非對稱180°相位差的新型雙環減速器的動態特性。

相比其他型式的少齒差行星傳動，星輪型減速器為實現功率分流而采用多根星輪軸均布的結構，導致系統中存在多重虛約束，也使得該類傳動裝置的動力學分析極具挑戰性。迄今為止，尚未見到少齒差星輪型減速器動力學研究的文獻。有鑒于此，本文將根據星輪型減速器的傳動原理與結構特點，通過計入軸承和齒輪副的變形以及偏心套誤差等因素，構造系統的變形協調條件，并結合動態子結構法，建立該類減速器的彈性動力學模型。在此基礎上，進一步開展系統的模態分析，并將理論分析結果與實驗模態結果進行對比，以驗證所建彈性動力學模型的精確性。論文工作將為后續的動響應分析、參數靈敏度分析、誤差影響分析、動態設計與性能優化提供理論依據。

1 彈性動力學建模

不失一般性，以內齒輪輸出型星輪減速器為例（見圖1），建立其彈性動力學模型，所用方法同樣適用于其它型式的少齒差星輪型減速器。

為盡可能多地反映系統的動力學本質，同時避免數學處理上過于復雜，對實際系統作如下假設：

（1）因減速器中各軸的轉速均低于1 500 r／min，遠低于各軸自身的一階臨界轉速，且由于星輪減速器結構緊湊，各軸均短而粗，因此將各軸視為剛體，只計入各軸上支承軸承的彈性變形；

（2）與其他變形環節相比，箱體的剛度較大，故忽略箱體軸承座處的變形；

（3）因支撐盤和各支承軸僅起支承作用，故忽略支撐盤和各支承軸的變形；

（4）計入齒輪副的嚙合變形，且嚙合剛度取內嚙合齒輪副的時變嚙合剛度；

（5）各星輪及其組件均相同，各星輪軸按理論角度呈周向均布，但計入各軸上偏心的制造、安裝誤差；

（6）因少齒差星輪型減速器一般采用漸開線直齒輪，其軸向載荷可忽略不計，故設定系統中兩相平動星輪僅作平面運動，各軸不發生軸向竄動。

圖1 內齒輪輸出型星輪減速器結構圖Fig．1 The structure of spider reducer with ring-gear-output type

為方便建模，采用動態子結構法，將整個齒輪傳動系統劃分為輸出軸子系統、輸入軸子系統、星輪軸子系統以及平動星輪子系統，分別建立各子系統的運動微分方程。不妨定義如下全局參考坐標系O-xyz：以內齒輪幾何中心O為坐標原點，以重力加速度的反方向為y軸方向，z軸方向與輸入軸軸線重合并指向輸入端，x軸方向由右手定則確定。

1.1 輸出軸子系統運動微分方程

輸出軸子系統由內齒輪、法蘭和輸出軸組成。其中，內齒輪和法蘭之間通過螺栓連接，法蘭和輸出軸之間通過花鍵連接，故可將三者視為一體，其受力情況見圖2。

圖2 輸出軸子系統受力示意圖Fig．2 Force diagram of the output shaft

圖2中，Oo-xyz為輸出軸質心處連體坐標系；z1、z2為輸出軸質心至輸出軸前、后端支承軸承支承點的距離；z3為輸出軸質心至輸入軸后端支承軸承支承點的距離；z4、z5為輸出軸質心至第1、第2相機構齒輪副中點的距離；go為輸出軸的重量；fox1、foy1，fox2、foy2分別為輸出軸前、后端軸承在x，y方向的支反力；fsx2、fsy2為輸入軸后端軸承x，y方向的支反力；f1′、f2′為內齒輪與第1、第2相平動星輪的嚙合力。

通過分析，可建立輸出軸子系統的運動微分方程

式中：mo，jox，joy，joz分別為輸出軸的質量和繞x，y，z軸的轉動慣量；f′xi，f′yi為嚙合力fi′沿x方向和y方向的分量（i＝1，2，后同）；rb為內齒輪的基圓半徑；xo，yo為輸出軸子系統質心沿x，y方向的位移；βox，βoy，βoz為輸出軸子系統繞x，y，z軸的角位移。

1.2 輸入軸子系統運動微分方程

輸入軸子系統由輸入軸和其上的偏心套組成。由于輸入軸和偏心套之間通過2個呈180°對稱布置的鍵連接，故可將二者視為一體，其受力情況見圖3。

圖3中，OI-xyz為輸入軸質心處連體坐標系；a1，a2為輸入軸質心至前、后端支承軸承支承點的距離；a3，a4為輸入軸質心至第1、第2相機構偏心套中點的距離；gI為輸入軸的重量；fsx1，fsy1，fsx2，fsy2分別為輸入軸前、后端軸承在x，y方向的支反力；fIxi，fIyi為第i相平動星輪上行星軸承在x，y方向的支反力；fexi，feyi為輸入軸在第i相平動星輪處的離心力在x，y方向的分量。

圖3 輸入軸子系統受力示意圖Fig．3 Force diagram of the input shaft

類似地，可建立輸入軸子系統的運動微分方程

式中：mI，jIx，jIy為輸入軸的質量和繞x，y軸的轉動慣量及重量；xI、yI，βIx，βIy分別為輸入軸子系統質心沿x，y方向的線位移及繞x，y軸的角位移。

1.3 星輪軸子系統運動微分方程

不失一般性，僅以第j根星輪軸為例，分析該子系統的受力，其受力情況如圖4所示。

圖4中，Os-xyz為星輪軸質心處連體坐標系；b1、b2為星輪軸質心至輸入軸前、后端支承軸承支承點的距離；b3，b4為星輪軸質心至第1、第2相機構偏心套中點的距離；φ1，φ2分別為第1、第2相機構的曲柄轉角；gsj為第j根星輪軸的重量；fhx1j，fhy1j，fhx2j，fhy2j分別為第j根星輪軸前、后端軸承在x，y方向的支反力；fsxij，fsyij為第i相平動星輪上行星軸承作用于第j根星輪軸上的支反力在x，y方向上的分量；fgxij，fgyij為第j根星輪軸在第i相平動星輪處的離心力在x，y方向上的分量。

由受力平衡可導出星輪軸子系統的運動微分方程

式中，下標i，j分別為機構相數和星輪軸的根數，且有i＝1，2，j＝1～m（m為星輪軸總根數）；msj，jsxj，jsyj，jszj為第j根星輪軸的質量和繞x，y，z軸的轉動慣量；xsj，ysj為星輪軸子系統質心沿x，y軸方向的位移；βsxj，βsyj，βszj為星輪軸子系統繞x，y，z軸的角位移。

圖4 第j根星輪軸受力示意圖Fig．4 Force diagram of the jthspider shaft

1.4 平動星輪子系統運動微分方程

不失一般性，僅以第i相機構的平動星輪為例，分析該類子系統的受力，其受力情況見圖5。

圖5中，Oi為第i相平動星輪的理論幾何中心；P為理論嚙合節點；L為星輪上各星輪軸軸孔的分布半徑；φj為第j根星輪軸的相位角；φi為第i相機構曲柄的轉角；Ψi＝π／2－α′+φi，α′為嚙合角；gpi為第i相平動星輪的重量；fpi為平動星輪的離心力；其他符號的含義同前。

不難導出星輪子系統的運動微分方程如下

式中：xpi、ypi為第i相平動星輪的質心相對于其理論位置在x，y方向的位移；θpi為第i相平動星輪相對于其理論位置的轉角；mpi、jpzi為第i相平動星輪的質量、及繞z軸的轉動慣量；rbp為平動星輪的基圓半徑。

圖5 第i個平動星輪受力示意圖Fig．5 Force diagram of the ithspider gear

1.5 系統變形協調條件

（1）輸入軸和星輪軸與平動星輪間位移關系

不失一般性，取第i相機構為研究對象，其彈性變形見圖6。

圖6 輸入軸和星輪軸處變形協調條件Fig．6 Deformations among input，spider shafts and spider gear

圖6中，上半部分表示輸入軸和m根星輪軸構成的平行四邊形機構；下半部分中虛線表示機構變形后的實際位置，實線為沒有彈性變形和誤差的理論位置。其中，OIA為機構輸入軸偏心套理論位置，OIO′I為輸入軸在第i相機構處的位移，O′IA2為機構輸入軸偏心套實際位置，O′IA1為偏心套的徑向誤差，A1A2為偏心套分度誤差，A2A3為平動星輪的位移；OsB為機構星輪軸偏心套理論位置，OsO′s為星輪軸在第i相機構處的位移，O′s B2為機構星輪軸偏心套實際位置，O′sB1為偏心套的徑向誤差，B1B2為偏心套分度誤差，B2B3為平動星輪的位移。

由圖6可導出以下變形協調關系式。

（1）輸入軸和平動星輪間變形協調關系式

式中：uai為平動星輪上輸入軸行星軸承孔的位移，xI為輸入軸質心的位移向量，xpi為第i相平動星輪質心的位移向量，Gi、Hi分別為輸入軸第i相偏心套的偏心誤差和分度誤差，EaI、Eapi為系數，且有

（2）齒輪副處變形協調關系

以第i相平動星輪與內齒輪的嚙合為例，說明其變形協調條件，其位移關系見圖7。

圖7 平動星輪與內齒輪嚙合位移示意圖Fig．7 Deformations between spider gear and internal gear

根據圖7所示位移關系，可得如下變形協調條件

式中：δi為第i相機構內嚙合副沿理論嚙合線的相對位移；xo＝（xo，yo，βox，βoy，βoz）T為輸出軸質心的位移向量。

將式（5）～式（7）表征的位移協調方程帶入各子系統的運動微分方程，可得無阻尼情況下系統的彈性動力學方程如下

式中：m，k分別為組裝后系統的質量矩陣和剛度矩陣，x，f分別為系統的廣義位移列陣和外載荷列陣。各矩陣的表述形式如下：

x＝（xo，xI，xsj，xpi）T，f＝（fo，fI，fsj，fpi）T。篇幅所限，相關子矩陣的具體元素不再詳列。

2 固有特性分析與實驗驗證

式（8）中的廣義特征值問題為

求解上述特征值問題，即可獲得系統的模態特性。不失一般性，以江蘇泰隆減速機股份有限公司的HJW－18B型星輪減速器為例，利用上述模型對其進行固有特性仿真分析。樣機的基本參數為：外齒輪齒數z1＝192，內齒輪齒數z2＝196，齒輪副模數m＝1．5 mm，齒輪副嚙合角α′＝25°；輸入軸前、后端支承軸承剛度kI1、kI2分別為10 MN／m和20 MN／m；輸入軸行星軸承剛度ka＝30 MN／m，輸出軸前、后端支承軸承剛度ko1、ko2分別為30 MN／m和40 MN／m；星輪軸前、后端支承剛度ks1、ks2均為30 MN／m；星輪軸行星軸承剛度kp1、kp2均為30 MN／m；齒輪副平均綜合嚙合剛度km為300 MN／m。

由式（9）不難計算出一個運動周期內各離散位置處減速器的固有頻率。限于篇幅，僅給出φ1＝0°時，系統前9階固有頻率及對應的振型描述，其結果見表1。

表1 基于理論模型的系統低階模態特性Tab.1 The theoreticalmodal properties of lower orders of spider reducer

由表1可知，系統低階固有頻率的變化范圍不大，前9階固有頻率的波動區間為［66．2，272．6］Hz。從數值上判斷，結構尺寸近似的情況下，星輪型減速器的首階固有頻率值和波動幅值均小于三環減速器的頻率值。究其原因，可能是星輪減速器屬于內平動齒輪機構，其行星軸承的安裝尺寸受星輪尺寸的制約，導致其支承剛度低于外平動齒輪構型的三環減速器，從而造成系統低階固有頻率值偏低。盡管如此，系統首階固有頻率值為66．2 Hz，依然遠高于減速器的輸入轉頻（25 Hz，額定轉速1 500 r／min），故其輸入轉頻一般不會引起減速器的結構共振。另一方面，從表中可以看出，與星輪減速器低階固有頻率對應的模態振型一般表現為各子系統的復合振動模式，區別僅在于各階振型中某一類子系統的振動模式占主導地位。

同時，為直觀起見，圖8示出了系統低階固有頻率對應的模態能量分布。圖中，各下標的含義為：O表示輸出軸子系統；I表示輸入軸子系統；S1，S2，S3和S4分別表示4根星輪軸子系統；P1和P2分別表示2個平動星輪子系統。為清晰計，各子系統的模態能量均作歸一化處理。

圖8 系統各子系統前9階模態能量圖Fig．8 Themodal energy of the first9 orders of each subsystem

為驗證上述少齒差星輪型減速器彈性動力學模型的計算精度，利用錘擊法進行了該樣機的試驗模態分析，其實驗原理和現場照片分別見圖9、圖10。

圖9 實驗原理圖Fig．9 The schematic diagram experimental test

圖11為經由LMS Test．Lab數據處理后的頻響函數。虛線為輸入信號x方向的頻響函數曲線，實線為輸出信號x方向的頻響函數曲線。

將上述實驗模態結果與前文的理論計算結果列表對比，以驗證本文所建理論模型的正確性。相關對比數據見表2。

圖10 實驗現場照片Fig．10 The photo of experimental scene

圖11 星輪減速器頻響函數曲線Fig．11 The frequency response function curve of Spider Reducer

表2 理論與實驗模態分析結果對比Tab.2 Com parison of theoretical and experimental results

從表2可知，就系統低階固有頻率而言，基于彈性動力學模型的理論分析結果與實驗模態測試的固有頻率結果在數值上均較為接近，部分階次的固有頻率甚至幾乎相同。雖然系統第3階固有頻率的誤差較大，但結合表1的振型描述可知，系統第3階模態振型主要表現為輸出軸的擺動，因輸出軸為懸臂式結構，且輸入軸后端通過支承軸承安裝于空心結構的輸出軸前端，當輸出軸擺動時必然引起輸入軸的附加振動。進一步分析可知，系統低階固有頻率對輸入軸支承軸承的剛度變化較為敏感，故如果輸入軸與輸出軸耦合處的支承軸承安裝導致其與理論估算剛度值有出入，則在系統層面將引起較大的計算誤差。表2中所示的17%計算誤差很可能由此產生。故總體而言，可以認為理論分析結果與模態實驗的實測結果吻合較好，從而也表明了本文所建的彈性動力學模型具有較高的計算精度，可用于后續的動力學分析及參數優化設計。

3 結 論

（1）少齒差星輪型減速器的低階固有頻率遠高于系統的輸入轉頻，一般不會產生因輸入激起的結構共振；

（2）少齒差星輪型減速器的低階固有頻率值比較密集，且系統出現重根，這與其多星輪軸的復雜結構及多重約束的結構對稱性有關。

（3）少齒差星輪型減速器的低階模態振型較為復雜，一般表現為各個子系統的復合振動模式，區別僅在于各階振型中某一類子系統的振動模式占主導地位。

（4）基于彈性動力學模型的理論分析結果與實驗模態的測試結果吻合較好，表明本文建立的少齒差星輪型減速器彈性動力學方程具有較高的精度，可作為后續動態特性分析和優化設計的基礎模型。

［1］劉文，林騰蛟，李潤方，等．新型少齒差減速器動態特性分析及實驗研究［J］．振動與沖擊，2009，28（7）：22－27．

LIU Wen，LIN Teng-jiao，LI Run-fang，et al．Dynamic characteristic analysis and experimental research of a new type reducer with small tooth number difference［J］．Journal of Vibration and Shock，2009，28（7）：22－27．

［2］石萬凱，劉敬，龔建春．同軸對轉行星齒輪傳動系統動態特性分析［J］．振動與沖擊，2014，33（7）：99－104．

SHIWan-kai，LIU Jing，GONG Jian-chun．Dynamic characteristics analysis for a co-axial counter-rotating planetary gear transmission system［J］．Journal of Vibration and Shock，2014，33（7）：99－104．

［3］應海燕，楊錫和．K－H型三環減速器的研究［J］．機械傳動，1992，16（4）：37－43．

YING Hai-yan，YANG Xi-he．Research of three-ring reducer of K-H type［J］．Journal of Mechanical Transmission，1992，16（4）：37－43．

［4］王光建，蔣漢軍，褚志剛．新型雙曲柄式可調側隙精密行星傳動裝置參數設計與仿真［J］．機械工程學報，2011，47（5）：11－18．

WANG Guang-jian，JIANG Han-jun，CHU Zhi-gang．Parameters design and simulation of new double crank adjustable backlash precision planetary gears［J］．Journal ofMechanical Engineering，2011，47（5）：11－18．

［5］李傳兵．混合少齒差星輪減速器星輪軸承壽命計算［J］．安徽工業大學學報，2005，22（2）：156－158．

LIChuan-bing．Life calculation of planetary wheel bearing of speed reducer with complexminor tooth difference［J］．Journal ofAnhui University of Technology，2005，22（2）：156－158．

［6］宋軼民，張俊，鄭奇斌，等．雙環減速器的彈性動態靜力分析［J］．農業機械學報，2007，38（10）：122－126．

SONG Yi-min，ZHANG jun，ZHENG Qi-bing，et al．Elastoquasi-static analysis of double-ring gear reducer［J］．Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2007，38（10）：122－126．

［7］張俊，宋軼民，鄭奇斌．環板式減速器的彈性準靜態受力分析［J］．中國機械工程，2009，20（13）：1594－1599．

ZHANG Jun，SONG Yi-min，ZHENG Qi-bin．Elasto-quasistatic analysis ofmulti-ring gear reducers［J］．China Mechanical Engineering，2009，20（13）：1594－1599．

［8］趙自強，張春林，程愛明，等．有多重虛約束的內平動齒輪傳動機構力學分析［J］．北京理工大學學報，2008，28（9）：768－772．

ZHAO Zi-qiang，ZHANG Chun-lin，CHENG Ai-ming，et al．Force analysis on internal parallelmove geartransmission with multiple redundant constrains［J］．Journal of Beijing Institute of Technology，2008，28（9）：768－772．

［9］張俊，謝勝龍，徐培民，等．少齒差星輪型減速器的彈性靜力學分析［J］．農業工程學報，2013，29（24）：49－55．

ZHANG Jun，XIE Sheng-long，XU Pei-min，et al．Elastostatics analysis of spider reducer with small tooth number difference［J］．Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering，2013，29（24）：49－55．

［10］楊建明．三環傳動彈性動力學的理論與實驗研究［D］．天津：天津大學，2001．

［11］Yang Jian-ming，Zhang Ce．Elasto-dynamics of internal gear planetary transmissions［J］．Mechanism and Machine Theory，2005，40：1107－1125．

［12］宋軼民，張俊，張永新，等．計入內齒板變形的環式減速器彈性動力分析［J］．機械工程學報，2006，42（9）：29－32．

SONG Yi-min，ZHANG Jun，ZHANG Yong-xin，et al．Elasto-dynamic Analysis ofmulti-ring gear reducers in consideration of deformations of gear-couplers［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2006，42（9）：29－32．

［13］張俊，宋軼民，張策．少齒差環板式減速器的彈性動力學分析［J］．機械工程學報，2008，44（2）：118－128．

ZHANG Jun，SONG Yi-min，ZHANG Ce．Elasto-dynamic analysis of ring-plate gear reducer with small tooth number difference［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44（2）：118－128．

Elasto-dynam icmodeling and modal analysis of spider reducer with small tooth number difference

ZHANG Jun，GUO Fan，XIE Sheng-long
（School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Ma'an'shan 243032，China）

In order to solve the problems of teeth breakage and premature fatigue of planetary bearings in spider reducers，a methodology of dynamic modeling for spider reducers was proposed and its dynamic characteristics were analyzed．With the substructure synthesis technique，a lumped parameter elasto-dynamicmodel of the spider reducer was established．The transmission system was divided into four subsystems as the input shaft subsystem，output shaft subsystem，spider shaft subsystem and translational spider gear subsystem．The differentialmotion equations of the four subsystemswere derived by using the Newtonian method．The compatibility conditions of the reducer were derived with considering the deflections of bearings and gear pairs and the index and eccentric errors of eccentric sleeves．By combining the compatibility conditions with subsystem motion equations，the governing motion equations of the reducer were formulated．Through the eigenvalue decomposition，themodal properties of the transmission system were analyzed and the lower orders of natural frequencies and corresponding vibration modes were classified．The results show that the lower orders of natural frequencies are far above the rated input rotation frequency of the reducer，so it is not possible to cause structural resonances．Meanwhile，the corresponding vibrationmodes behave as complicated compound vibrationmodes of the four subsystems．To verify the correctness of theoretical analysis，an impact modal test was carried out．The comparison of lower orders of natural frequencies reveals a good match between theoretical and experimental results．From this point of view，it can be concluded that the proposed elasto-dynamicmodel si of satisfactory accuracy，and hence can be used to predict the steady-state dynamic responses of the system．The present research provides a solid fundament for further dynamic design and structural optimization of spider reducers．

small tooth number difference；spider reducer；elasto-dynamics；deformation compatibility condition；modal analysis

TH132．4

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．029

國家自然科學基金（51375013，50905122）；安徽省自然科學基金（1208085ME64）

2014－05－10 修改稿收到日期：2014－06－17

張俊 男，博士，教授，碩士生導師，1981年生