情境驅動下的“不等關系與不等式”教學案例

☉浙江省寧波市鄞州區教育局教研室 任偉芳

☉浙江省寧波市鄞州區鄞江中學 謝 秦

情境驅動下的“不等關系與不等式”教學案例

☉浙江省寧波市鄞州區教育局教研室 任偉芳

☉浙江省寧波市鄞州區鄞江中學 謝 秦

不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容，建立不等觀念、處理不等關系與處理等量關系是同樣重要的.前不久，在浙江省寧波市教研室組織的教研交流課的教學過程中，內容取材于人教A版普通高中必修5第三章第一節不等關系與不等式的第一課時，筆者的“情境驅動，學以致用，激發興趣，凸顯本質，彰顯人文”的教學設計受到參會老師的一致好評.本節課主要是將生活中的不等關系刻畫為數學中的不等式，巧妙創設一個公益慈善情境，將常見的不等式融入其中，讓學生感受數學與生活緊密的聯系，激發學生的學習興趣.筆者想通過自己的教學設計拋磚引玉，愿與同行交流.

一、教學過程

1.以生活中常見的不等關系引出不等式

師：我們今天的課題是“不等關系與不等式”.與等量關系一樣，不等關系也大量存在于我們的現實世界和生活中.例如，下面兩幅圖隱含著怎樣的不等關系呢？

圖1

圖2

生1：星期二的溫度是在6℃到17℃之間變化.最高速度不能超過10千米/小時.

師：非常好.三角形兩邊之和與第三條邊的關系呢？

生2：大于.

師：同學們還能不能舉出生活和數學中遇到的不等關系？

全班同學興致高漲，互相討論，紛紛發言，列舉出不少生活和數學中的不等關系.

師：看來同學們都是生活中的有心人啊！對于生活中的不等關系，應該如何用數學式子來刻畫呢？這就是我們今天學習的用不等式來刻畫不等關系.

（PPT展示）用不等號（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等關系的式子，叫做不等式.

“不等號”由英國數學家哈里奧特于1631年開始使用，但當時并沒有被數學界所接受，直到100多年后，才逐漸成為標準的符號.

師：對于上述三個不等關系，同學們能不能用不等式來進行刻畫呢？

生3：設星期三的溫度為x℃，則6＜x＜17.設速度為v千米/小時，則v≤10.設三角形三邊分別為a、b、c，則a+b＞c.

設計意圖：日常生活中的圖片展示，更具有視覺沖擊力，使學生體會數學與生活的密切聯系.接著讓學生列舉生活中的不等關系，可以加深對不等關系的認識.通過介紹不等式的概念和歷史，一方面滲透數學文化，另一方面讓學生體會數學的簡潔美.

2.用數學眼光看獻愛心故事

（1）故事背景.

師：下面讓我們來感受生活中的不等關系與數學中的不等式.我們從一個小故事講起.

請同學們看三張圖片：圖3中稚嫩的臉洋溢著對生活的期望，圖4中埋頭苦讀的身影讓我們深深感動，然而腳下一雙破爛的球鞋讓我們心酸不已（見圖5）.看到這些，同學們有何感想？

圖3

圖4

圖5

生4：山區兒童的生活實在太艱辛了，我好想幫幫他們?。?/p>

師：這位同學的想法應該代表了我們全班同學的心聲，我們不妨來為他們每個人買雙鞋子和籌點生活費吧！

設計意圖：看似與課題無關的內容其實是本節課始終圍繞的主線.一方面可以弘揚社會的正能量；另一方面也可以體現出學生主人翁的精神.以故事作為引線，自然而不突兀，采用問題驅動學生思考，層層推進，學生參與度高，易于激發學生學習的興趣.

（2）情境模擬——籌集善款分析數據.

師：接下來我們要做的事情就是籌集善款了，我們當然要自力更生了，不妨讓我們自主創業吧.假如我們班同學想自主創業，籌集善款，為山區兒童送去愛心，現在可以向政府貸款2萬-10萬，貸款不需要利息，但有期限，貸款期限為5年.請問這里有沒有隱含的不等關系？如果有，用不等式如何來刻畫呢？

生5：有！可以貸款2萬-10萬.若貸款金額為w萬，則2≤w≤10.

師：啟動資金少，電子商務的強大力量為我們指明了方向，我們可以開個淘寶店，但是具體賣什么呢？還得進行市場調查，請看下面的幾組數據.

（a）名稱 每天銷售數量第一位 女裝 35434第二位 化妝品 18277第三位 珠寶首飾 18182第四位 日用家電 11795第五位 電腦網絡 11057

（b）支付寶每天在女裝上的支付交易平均達到了10000筆以上.

（c）淘寶網上的注冊用戶超過百分之七十為女性.

（d）其中價格區間在30-100之間的衣服占總銷量的50%以上.

這些調查中有沒有蘊含著不等關系？可以用不等式來刻畫嗎？

生6：有！可以用不等式來刻畫.

師：分析以上調查數據，你能得出怎樣的結論？

生7：我們可以在淘寶網上開平價女裝店.

設計意圖：讓學生繼續感受我們日常生活中大量存在的不等關系，以淘寶網為媒介，極大地調動了學生參與學習的熱情.對調查數據的分析，可以培養學生分析問題和處理數據的能力.

（3）情境模擬——進貨試賣.

師：假設我們班同學申請到了5萬元的政府貸款，通過上網注冊，成功申請了淘寶網上開平價女裝店的一個賬戶.現在就要進貨了，根據店家的要求，衣服20元一件，褲子30元一條，衣服的數量必須不小于褲子的數量，為了降低風險，現在暫時進這兩種貨物（兩種貨物都要進），那么進貨的件數應滿足怎樣的不等式？能不能請一個同學來為我們展示一下？

生8：假設衣服進貨為x件，褲子進貨為y件，則應滿

師：非常好！我們發現對這個實際問題的處理可轉化為對數學不等式組的解決.經過緊鑼密鼓的準備，店總算開張了，我們打算先進行試賣.成本價20元一件的衣服，經過市場調查，如果每件衣服售價定為30元，可賣出1000件，若每件衣服售價每提高一元，銷售量就會減少10件，應怎樣定價，才能使總收入不少于40000元？這個實際問題隱含著怎樣的不等關系？用數學中的不等式如何刻畫呢？

生9：設每件衣服售價提高x元，則應滿足（30+x）·（1000-10x）≥40000.

師：這個問題轉化為了……

生10：我們學過的一元二次不等式.設計意圖：把實際問題轉化為建立數學模型進行處理，加深了學生對數學與生活聯系的認識，讓學生樹立應用數學的意識.

圖6

（4）情境模擬——生意來了.

師：某一天你收到一條淘寶微信（如圖6）.有兩種優惠可以選擇.優惠一：每件九折；優惠二：100件及以內的按原價，超過100件的部分打七五折.假設每件衣服的售價為30元，如果你是店主，你會給他們哪種優惠？同桌兩位同學可以相互討論.

生11：其實這是比較兩個數的大小問題.設購買衣服的件數為x（100＜x＜200）.優惠一：27x；優惠二：3000+ 22.5（x-100）.若變量x滿足27x＞3000+22.5（x-100），選擇優惠一，反之選擇優惠二.

師：太棒了！這位同學發現了要解決這個實際問題，就是把它轉化為比較兩個數的大小的數學模型.請問：作為摳門的店主，你還可以給出怎樣的優惠？

生12：每件打九五折.

生13：150件及以內的按原價，以外的打八折.

師：看來沒有最摳門，只有更摳門?。∽鳛榈曛髂阆Ｍ找嬖蕉嘣胶?，但你若是買家，會怎樣選擇呢？

生14：選擇錢少一點的.

師：這應該是所有買家共同的心聲了.同一個問題，站在不同的角度就會有不同的看法.同學們以后一定要學會從多角度去看待問題，這樣才會有較客觀的判斷.

設計意圖：通過時下流行的通訊軟件一下子吸引了學生的眼球，充分調動了學生學習的積極性.給出的材料要求學生經過分析問題來得到，培養學生處理問題和善于轉化的能力.經過對賣家與買家的換位思考，培養學生從多角度思考問題的習慣.

（5）情境模擬——喜獲豐收.

師：假設我們班經過艱辛的創業籌集到了善款，并購買了鞋子，現在就剩下最后一步，就是把鞋子快遞給他們.快遞用費規定如下.申通快遞省內：首重6元（一公斤以內），續重每公斤需要3元，依次類推，此時運費與斤數的關系如何呢？小組討論.

師：這是我們學過的……

生16：分段函數.

設計意圖：快遞費與生活密切相關，以此培養學生分析問題、處理問題的能力.

3.不等關系蘊含著深刻的人生哲理

師：請同學們談一談我們今天學習了哪些知識.

生17：主要學習了生活中的不等關系轉為數學中的不等式.另外，學習了與人溝通的方法，學習了生活中要從多角度去看問題的思維方式.

師：這位同學分析得非常到位和全面.不僅從知識層面來概括學到的知識，還能從情感價值觀和思考問題方式層面做總結.說到等式，我們自然會想到天平兩端放相等重物時天平平衡.同學們想想我們小時候玩的一邊壓下去，另一邊會翹起來的……

生18：蹺蹺板.

PPT展示圖（如圖7）.

師：正因為有了這些不等關系，才使我們的世界變得生動而豐富多彩，蹺蹺板中的不等關系讓我們孩時享受到無限的玩耍樂趣，這種不等關系讓我們覺得溫馨，然而這種不等關系會隨著時間的流逝發生改變.隨著我們的成長，父母的老去，當這種不等關系改變發生時，同學們一定要抓緊機會去孝敬為你的成長付出自己一生辛勞的父母，去善待周邊每一個人.

圖7

設計意圖：通過這一環節的展示，能讓學生感受到不等關系的生動和溫馨，體現了父母與孩子的舐犢情深感，同時感受傳統倫理的熏陶，突出了教學的教育性理念，通過蹺蹺板中隱含的深刻的人生哲理，幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，這一獨具匠心的教學設計稱得上本節課的又一個亮點.

二、課后感悟

本節課讓學生通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）對刻畫不等關系的意義和價值，讓學生感受到生活與數學是息息相關的，用數學的眼光看問題會給我們帶來更多解決實際問題的辦法.

1.情境內容要新穎

新課程理念中提到“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的”.這里所說的“現實”，筆者認為包括兩個方面的含義：其一是與社會生活現實（生活、生產實際、科技等方面）密切聯系的數學；其二是學生自己的數學現實.在學習新的數學知識時，盡可能以一些實際例子導入新課.不少數學知識源于生活實際，學習時，和學生生活實際結合起來，學生會感到親切自然，樂于研究.本節課把生活中遇到的實際問題轉為不等式問題，以此通過一個社會熱點問題——貧困山區兒童的故事激發學生的社會責任意識，巧妙建構情境——開網店，把開網店情境中遇到的實際問題刻畫為數學中的不等式問題，傳遞著正能量.

2.應用能激發興趣

興趣是學習的最大內驅動力，興趣可以調動學生學習的積極性.所以教師在教學過程中要激發學生學習數學的興趣，讓學習興趣促進他們去探究知識的形成和應用.課堂上筆者在講授知識時，巧妙創設問題情境，激發學生學習數學的興趣，引導學生思考、討論、運用數學知識.教師從實際生活入手引導數學知識的形成，讓學生學以致用.本節課一改傳統的講練模式，將常見的不等式類型融入自主創業——開網店的問題中，把實際問題轉化為數學問題，引起學生的好奇心和想象力.

3.需彰顯人文關懷

本節課以為山區孩子獻愛心為主線貫穿著課堂教學的始終，既有時代意義，又激發了學生社會的責任感.學生積極參與教學活動，板書以學生回答問題書寫為主，所有的問題都是在學生的自主探究與小組合作中解決.老師真正起到了引導作用，課堂氛圍熱烈，體現了新課程以學生為主體的理念.學生對數學的學習情感是在學習過程中萌芽和發展的，他們對自己通過努力獲得成就感覺強烈.因此，教師要以欣賞的情感來創設新穎情境并幫助學生獲取成功.教師在課堂教學中，可以讓各個層次的學生回答問題，對正確的結論表示贊賞，對錯誤的結論共同探討并加以修正和補充，讓他們能享受成功的喜悅，增強學習的信心和自豪感.

本節課學生不僅收獲了知識和技能，還獲得了人文的潤澤.課后詢問學生，本節課還有什么感受？學生甲表示以后在淘寶網上購物要注意與賣家的溝通；學生乙表示要注意消費的陷阱；學生丙表示以后自主創業可以考慮電子商務.看來通過這節課的學習，學生的收獲還是蠻大的，我心甚慰.A