基本不等式幾何探究及應用*

☉陜西師范大學教育碩士

☉江蘇省丹陽市第五中學 李 萍

基本不等式幾何探究及應用*

☉陜西師范大學教育碩士

☉江蘇省丹陽市第五中學 李 萍

一、教材探究

（人教A版必修5第111頁探究題）在圖1中，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD，你能利用這個圖形得出不等式的幾何解釋嗎？

圖1

幾何解釋：如圖1，易知△ABD為直角三角形，因為DC⊥AB，所以DC2=AC·BC，即DC2=ab?DC=.AB= AC+BC=a+b.

AB≥DE=2DC，當且僅當點C為圓心時“=”成立，此時a=b，即

二、深入探究

圖2

幾何解釋：如圖2，O是半圓的圓心，AB是直徑，D為圓周上一點，DC⊥AB于C，且AC=a，BC=b（a＞b），FO⊥AB于O，連接OD、CF，過C作CE⊥OD于E，由圖2可知CF＞OF= OD＞DC＞DE.

在Rt△OCD中，由射影定理得CD2=DE·OD，故DE=

說明：基本不等式是不等式中的重要內容，是高考命題的熱點，在證明不等式及利用不等式求最值的問題中有著非常廣泛的應用.下面就基本不等式及不等式鏈的應用舉例分析.

三、應用探究

1.“和”“積”互化

例1 若正實數x、y滿足2x+y+6=xy，則2x+y的最小值為_________.

令2x+y=t（t＞0），則t2-8t-48≥0，即（t-12）（t+4）≥0.又t＞0，則t≥12，即2x+y≥12，當且僅當2x=y，即x=3、y=6時，2x+y取得最小值12.

又2x+y=xy-6，則當且僅當2x=y，即x=3、y=6時，2x+y取得最小值12.

2.化多元為二元

例2 （2013年高考山東卷）設正實數x、y、z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當取得最大值時，的最大值為（ ）.

解析：由已知條件得z=x2-3xy+4y2，代入得：=1，當且僅當，即x= 2y時，取得等號.此時，x=2y且z=2y2.再代入中，經過配方可得：1，當且僅當，即x=2、y=1、z=2時，取得等號.故的最大值為1.

評析：運用基本不等式求解多元式的最值問題其實也是各地高考的熱門考點，其綜合性強，能力要求高，往往需要通過仔細閱讀、觀察、發現、分析、探究，加上扎實的運算求解能力，方能實現問題的有效化解，“減元”是處理本題的關鍵.

3.逆向分析

解析：由于所給函數的形式為無理式，直接求解較困難，從所給的區間入手，可得到≤0，當且僅當x=或x=3時取“=”，展開得2x2-7x+3≤0，所以2x2≤7x-3.

評析：運用逆向分析，使問題變得簡潔、易求.因此，當解題思維受阻時，可采用“正難則反”的思考方法.

4.“1”作代換

例4 （2012年高考浙江卷）若正數x、y滿足x+3y= 5xy，則3x+4y的最小值是（ ）.

評析：根據題目背景，有時將值為“1”的代數式代入多元目標式后，目標式便可明顯具備直接運用基本不等式的條件和結構，從而實現問題的轉化.

5.化異求同

例5 已知x、y∈R+，且x2+y2+xy=x+y，則x+y的最大值為_________.

解析：條件中有x2+y2、xy、x+y三種結構，結論是求x+y的最大值，思考將條件中的另兩種結構x2+y2、xy轉化為x+y，建立一個關于x+y的不等式.

x+y=x2+y2+xy=（x+y）2-xy≥（x+y）2-（x+y）2.

評析：運用基本不等式求最值，題目中條件與結論的結構不容忽視，尋找兩者間的異同點，由條件向結論靠攏，并保留條件中與結論相同的結構，消除（轉化）條件中與結論不同的結構.使用此法求解時，可能要作多種嘗試.

6.整體換元

基本不等式是課本上的基本內容，貌似平淡，意蘊不凡，本文以課本中的探究為例展示了其精彩的應用，可見教材中的很多內容都具有遷移性，它們是數學試題不斷創新的源泉，積淀著解決問題常用的一些重要的數學方法.在教學中，我們應該重視對教材基本知識潛在的智能價值的挖掘與探究，不斷激活教材，激活學生的思維.A

*本文系江蘇省教育科學規劃“十二五”重點資助課題《基于問題生成的動態課堂的實踐研究》（課題編號：B-a/2011/02/05）的研究成果之一.