高考試題數學思想方法的考查分析與教學反思

☉江蘇省如東高級中學 葛張勇

高考試題數學思想方法的考查分析與教學反思

☉江蘇省如東高級中學 葛張勇

縱觀近幾年全國各地高考數學試題，都在體現“考查基礎知識的同時，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查”的命題指導思想.試題呈現起點低、難度適中、知識覆蓋全面的特點，均能較好地區分不同層次的考生.試題較好地考查了考生對基本概念、公式的掌握程度，突出理性思維，體現創新意識.試題蘊含各種數學思想方法，常常涉及的數學思想方法有：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想和轉化與化歸思想.本文將結合近年來的高考試題對這四種數學思想進行分析.

一、考題分析

1.函數與方程思想

函數思想是用變化的觀點研究具體問題中的數量關系，用函數的形式把各種數量關系表示出來，并利用函數性質加以研究，從而使問題獲得解決.

方程思想就是通過引入未知數，根據變量之間的關系列出方程或方程組求解，或者根據題中提供的解析式（函數式），把它看成一個方程，通過解方程或轉化為對方程研究的方法解決問題.函數與方程思想是高中數學的基本思想，也是歷年高考的重點和熱點.新公布的2015年《江蘇高考考試說明》將“函數與方程思想”由原來的A級考點上升為B級考點，就不難理解了.

例1 （2014年遼寧高考理16）對于c＞0，當非零實數a、b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大時，的最小值為_________.

解析：（判別式法）令2a+b=t，則b=t-2a，代入到4a2-2ab+4b2-c=0中，得4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18ta+4t2-c=0.因為關于a的二次方程有實根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，|2a+b|取最大值時，

點評：本題為多變量函數最值問題，解題入口寬、思路廣、難度較大、綜合性強，由于題中是二次式，所以構造二次方程利用判別式法解決.

2.數形結合思想

著名數學家華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”數是用文字語言或符號語言對對象關系的抽象描述，而形則是用圖形語言對對象關系的直觀描述.數學總是用數的抽象性說明形的形象，同時又用形的直觀說明數的抽象的事實.數形結合，不僅是一種解題方法，更是一種思想和思維方式，它融合了數的嚴謹和形的直觀，教學中應該加強對學生這方面的訓練，提高解題能力和速度.

例2 （2014年天津高考理14）已知函數f（x）=|x2+ 3x|，x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為_________.

解析：方法一：在同一坐標系中畫f（x）=|x2+3x|和g（x）=a|x-1|的圖像（如圖1），問題轉化為f（x）與g（x）的圖像恰有4個交點，當y=a（x-1）與y=x2+3x（或y=-a（x-1）與y=-x2-3x）相切時，f（x）與g（x）的圖像恰有3個交點.把y=a（x-1）代入y=x2+3x中，得x2+3x=a（x-1），即x2+（3-a）x+a=0，由Δ=0，得（3-a）2-4a=0，解得a=1或a=9.又當a=0時，f（x）與g（x）的圖像僅有2個交點，所以0＜a＜1或a＞9.

圖1

點評：本題是考查數形結合的一道典型題，主要考查函數的圖像、性質，方程的根與函數的零點，平時教學中應予以重視.

3.分類討論思想

分類討論即“化整為零，各個擊破，再積零為整”的思維策略，學習和掌握分類討論的思想，有利于培養學生更全面、更有邏輯地分析和解決問題的能力.涉及分類討論的問題一般融合較多的知識，能力要求高，考查學生的理解深度和能力水平.從多年高考試題來看，均涉及分類討論思想方法的考查，既有靈活多變的客觀性試題，又有綜合要求較高的主觀性試題.

圖2

（2）若x0滿足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，則稱x0為f（x）的二階周期點，證明函數f（x）有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x1，x2；

（3）對于（2）中的x1，x2，設A（x1，f（f（x1）），B（x2，f（f（x2）），C（a2，0），記△ABC的面積為S（a），求S（a）在區間上的最大值和最小值.

②當a2＜x≤a時，由（a-x）=x，解得x=∈（a2，a）， 因，故x=是f（x）的二階周期點；③當a＜x＜a2-a+1時，由（x-a）=x，解得x=∈（a，a2-a+1），因故x=不是f（x）的二階周期點；

④當a2-a+1≤x≤1時，（1-x）=x，解得x=因，故x=是f（x）的二階周期點.

因此，函數f（x）有且僅有兩個二階周期點，x1=

4.轉化與化歸思想

轉化與化歸思想就是將要解決的問題通過等價轉化或化歸為一個已經解決的問題，或歸結為人們所熟知的具有既定方法或程序的問題，最終求得問題答案的方法.轉化與化歸思想是中學數學最基本的思想方法，它滲透到數學教學內容的各個領域和解題環節的各個方面，隨著新課程理念的不斷深入，近幾年的高考加強了對轉化與化歸思想的考查.

例4 （2014年上海高考理21）如圖3，某公司要在A、B兩地的連線上的定點C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長為35米，CB長為80米，設A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β.

（1）設計中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問：CD的長至多為多少（結果精確到0.01米）？

（2）施工完成后CD與鉛垂方向有偏差，現在實測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長（結果精確到0.01米）.

圖3

（2）由題意得，∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°.因為，所以AD≈43.61米.因為CD2=352+AD2-2·35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點評：（1）本題體現了實際問題向數學問題的轉化，把條件α≥2β轉化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα、tanβ可用CD的長表示出來，從而得到關于CD的不等式，解之可得所求結論；（2）根據已知條件，要求CD的長，可在△ACD或△BCD中解得，由此要求可得AD或BD的長，然后利用余弦定理，求得CD，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

二、教學啟示與建議

1.在數學知識形成中滲透數學思想方法

數學知識的發生過程實際上也是數學思想方法的發生過程，每一個數學概念都經歷著由感性到理性的抽象過程，每一個數學規律，都經歷著由特殊到一般的歸納過程.教師應該重視這些知識發生過程的設計，引導學生以探索者的姿態體驗概念的形成過程.學生只有像數學家一樣自主探究、親身經歷知識的發生發展過程，才會加深對其中數學思想方法的理解和領悟.

2.在數學問題解決中揭示數學思想方法

數學問題的解決過程就是數學命題的不斷變換和數學思想方法反復運用的過程，數學思想方法是數學問題解決的指導性成果，數學問題的推廣、引申和解決過程，也是數學思想方法的深化過程.因此，在數學問題解決過程中，要突出數學思想方法對問題的引領和指導作用，讓學生感悟隱含在數學問題中的思想方法，逐步形成用數學思想方法指導思維的習慣，以達到解題時能夠融會貫通.

3.在知識總結歸納中概括數學思想方法

數學思想方法貫穿中學數學教學，并以內隱的方式融于數學知識體系.教學中要指導學生把這種數學思想內化為自己的能力，就要注意把隱含在問題中的數學思想加以歸納、提煉、總結，這樣，不僅可以使學生從思想方法的高度把握知識的本質和內在規律，而且也能使學生逐步體驗到數學思想方法的本質，進一步提升學生發現問題、解決問題的能力.

4.在學生反思感悟中提煉數學思想方法

數學思想方法的獲得要求教師進行有意識的滲透和訓練，但更多的是要靠學生自身的反思和領悟.這一點至關重要.在數學教學中，教師要善于引導學生自覺檢查自己的思維活動，反思自己的解題過程，看看是怎樣發現問題和解決問題的，運用了哪些基本的思想和方法，遇到思維困惑是怎樣解決的，記住了哪些教訓，有何感想和收獲，對今后解題有哪些啟發等，從而幫助學生真正領悟數學知識與解題過程中隱藏的數學思想方法，真正促進學生思維能力的提升.

1.戴佳珉.普通高中課程標準數學高考考情解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.

2.吳華.數學課程與教學論［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.F