2014年高考數學客觀題中的創新題型賞析

☉湖北省襄陽市第一中學 王 勇

2014年高考數學客觀題中的創新題型賞析

☉湖北省襄陽市第一中學 王 勇

近幾年隨著新課程標準的不斷推進與深入，對考生的創新意識和創新能力的要求逐漸提高.每年的高考試題都會推出一些背景新穎、構思精巧、情境別致，具有相當深度和明確導向的創新題，使高考數學卷充滿活力和魅力.它要求考生“對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段，靈活地應用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題”.我們要堅信一個原則：千變萬變，方法不變.創新題只是對以前的問題稍加“化妝”，以一個“新面孔”出現在我們面前，乍看其超凡脫俗，但只要我們努力揭開題目的神秘“面紗”，便可識別其“真面目”.本文采擷2014年高考數學客觀題中的創新題型并予以分類賞析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

一、合情推理型

合情推理型創新題要求根據一些特殊的數據、特殊的情況去歸納出一般的規律，或者給出一個數學情景或一個數學命題，要求用發散思維去聯想、類比、推廣、轉化，找出類似的命題.這是新課程較為重視的歸納推理、類比推理.主要考查考生的觀察、分析、歸納、類比的能力，從不變中找變化，從不變中找規律.

1.歸納推理

解析：由已知得f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=由歸納推理得

點評：本題考查考生的理解能力、計算能力與歸納推理能力.與陜西卷往年不同，不是等式或不等式的歸納，而是復合函數解析式的歸納.

2.類比推理

例2 （2014年福建卷理10）用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取，“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來.依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區別的紅球、5個無區別的藍球、5個有區別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）.

A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5

B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5

C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）

D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）

解析：由題意可知：5個無區別的紅球取出若干個球可表示為1+a+a2+a3+a4+a5；5個無區別的藍球都取出或都不取出可表示為1+b5；5個有區別的黑球取出若干個球可表示為（1+c）（1+c）（1+c）（1+c）（1+c）=（1+c）5.

由乘法原理可得所有取法可表示為（1+a+a2+a3+a4+ a5）（1+b5）（1+c）5.故選A.

點評：本題考查排列組合的兩個基本原理與枚舉法，考查考生綜合運用排列組合知識分析問題、解決問題的應用能力、類比推理能力及閱讀理解能力.對于本題，若能讀懂題目的含義，盯住關鍵字眼（題眼），就可以快速破解，如5個無區別的藍球都取出或都不取出，有（1+b5）種不同的取法，看選項，表達式中沒有因式（1+b5）的直接排除，可排除B、C、D.故選A.

二、邏輯推理型

邏輯推理型創新題是指運用邏輯知識進行推理即可獲解的一類問題，該類試題回避冗繁的運算，主要憑借邏輯推理，是2014年高考試題中的一大“亮點”，彰顯了“多考一點想、少考一點算”的高考命題理念.

例3 （2014年北京卷理8）學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有（ ）.

A.2人 B.3人 C.4人 D.5人

解析：設學生人數為n，因為成績評定只有“優秀”“合格”“不合格”三種情況，所以當n≥4時，語文成績至少有兩人相同，若此兩人數學成績也相同，與“不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生”相矛盾；若此兩人數學成績不相同，則此兩人有一人數學成績比另一人高，進而可知此兩人有一人比另一人成績好，與“一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好”相矛盾.因此n＜4，即n≤3.當n=3時，評定結果分別為“語文優秀，數學不合格”、“語文合格，數學合格”、“語文不合格，數學優秀”，符合題意.故選B.

點評：本題比較抽象，主要考查推理與邏輯知識的應用，考查閱讀理解能力及信息遷移能力.

三、信息遷移型

信息遷移型創新題是指以學生已有的知識為基礎，并給出一定容量的新信息，通過閱讀，從中獲取有關信息，捕捉解題資料，發現問題的規律，找出解決問題的方法，并應用于新問題的解答.它既能有效地考查考生的思維品質和學習潛力，又能考查考生的綜合能力和創新能力.

1.定義新的概念

例4 （2014年山東卷理15）已知函數y=f（x）（x∈R）.對函數y=g（x）（x∈I），定義g（x）關于f（x）的“對稱函數”為函數y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對任意x∈I，兩個點（x，h（x）），（x，g（x））關于點（x，f（x））對稱.若h（x）是g（x）=關于f（x）=3x+b的“對稱函數”，且h（x）＞g（x）恒成立，則實數b的取值范圍是_________.

解析：函數g（x）的定義域是［-2，2］，根據已知得，所以h（x）=2f（x）-g（x）=6x+2bh（x）＞g（x）恒成立，即6x+2b-恒成立，即3x+b＞恒成立，就是f（x）＞g（x）恒成立，則只要直線f（x）= 3x+b在半圓g（x）=的上方即可，如圖1所示，由＞2，解得b＞2或b＜-2（不合題意，舍去），故實數b的取值范圍是（2，+∞）.

圖1

點評：本題考查新定義問題及直線與圓的位置關系的應用.本題的易錯點有兩處：①不能正確理解“對稱函數”的定義，造成題目無法求解；②不會將h（x）＞g（x）恒成立等價轉化為直線y=3x+b與半圓x2+y2=4（y≥0）相離，且直線y=3x+b在y軸上的截距b＞0.

2.約定新的運算

例5 （2014年廣東卷文10）對任意復數ω1，ω2，定義其中是ω2的共軛復數，對任意復數z1，z2， z3，有如下四個命題：

①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）；

②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）；

③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；

④z1*z2=z2*z1.

則真命題的個數是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

點評：求解本題的關鍵是準確理解新定義，緊扣新定義并結合復數與共軛復數的性質進行推理、分析.

3.引入新的記號

例6 （2014年福建卷文12）在平面直角坐標系中，兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）間的“L——距離”定義為||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|，則平面內與x軸上兩個不同的定點F1、F2的“L——距離”之和等于定值（大于||F1F2||）的點的軌跡可以是圖2中的（ ）.

圖2

解析：設P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，則||F1F2||= 2c，依題意，得||PF1||+||PF2||=2d（d為常數且d＞c），所以|x+ c|+|y-0|+|x-c|+|y-0|=2d，即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d.

①當-c≤x≤c時，（x+c）+（c-x）+2|y|=2d，即y=±（dc）；

②當x＜-c時，-（x+c）+（c-x）+2|y|=2d，即x±y+d=0；

③當x＞c時，（x+c）+（x-c）+2|y|=2d，即x±y-d=0.

畫出以上三種情形的圖像，即可知選項A正確.故選A.

點評：求解新定義問題的關鍵：首先，讀懂新定義的含義；其次，適時利用分類討論.如本題，在去絕對值符號時就需要運用分類討論的思想.

4.給出新的性質

例7 （2014年四川卷理15文15）以A表示值域為R的函數組成的集合，B表示具有如下性質的函數φ（x）組成的集合：對于函數φ（x），存在一個正數M，使得函數φ（x）的值域包含于區間［-M，M］.例如，當φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx時，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.現有如下命題：

①設函數f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；

②若函數f（x）∈B，則f（x）有最大值和最小值；

③若函數f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）?B；

其中為真命題的是_________.（寫出所有真命題的序號）

解析：對于①，根據題中定義，f（x）∈A?函數y=f（x），x∈D的值域為R，由函數值域的概念知，函數y=f（x），x∈D的值域為R??b∈R，?a∈D，f（a）=b，所以①正確.對于②，舉反例：函數f（x）=的值域為（0，1］，包含于區間［-1，1］（相當于存在M=1），所以f（x）∈B，但f（x）有最大值1，沒有最小值，所以②錯誤.對于③，用反證法：假設f（x）+g（x）∈B，則存在一個正數M1，使得函數f（x）+g（x）的值域包含于區間［-M1，M1］，所以-M1≤f（x）+g（x）≤M1，由g（x）∈B知，存在一個正數M2，使得函數g（x）的值域包含于區間［-M2，M2］，所以-M2≤g（x）≤M2，亦有-M2≤-g（x）≤M2，兩式相加得-（M1+M2）≤f（x）≤M1+M2，于是f（x）∈B，這與已知“f（x）∈A”矛盾，故f（x）+g（x）?B，即③正確.對于④，如果a＞0，那么x→+∞，f（x）→+∞；如果a＜0，那么x→-2，f（x）→+∞，所以f（x）有最大值，必須a= 0，此時f（x）=，在區間（-2，+∞）上，|f（x）|=，當x= 0時，f（x）=0；當x≠0時，|f（x）|=≤，當且僅當x=±1時取等號，所以-，即f（x）的值域為從而f（x）∈B，即④正確.綜上所述，所有真命題的序號為①③④.

點評：本題考查集合、邏輯與函數語言的理解與表達，考查抽象的數學語言的閱讀理解與推理論證能力，其中還考查了極限法的巧妙應用.

四、實際應用型

實際應用型創新題是指有實際背景或有實際意義的數學問題.一般來說，數學應用性問題的情境較新、現實意義較強、設問的方式靈活，對考生的能力和數學素養要求較高，是高考中考查綜合能力和數學素養的熱點題型之一.解答這類應用題需在理解題意的基礎上把文字語言轉化為相應的數學語言，建立恰當的數學模型，再根據要求求解.

例8 （2014年全國新課標卷Ⅰ文16）如圖3，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC= 100m，則山高MN=_________m.

解析：在Rt△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100

圖3

在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，從而∠AMC= 45°，由正弦定理，得，因此AM=100

點評：本題考查解三角形的知識，意在考查考生運用正弦定理解決實際問題的能力.

五、綜合探究型

綜合探究型創新題形式多、難度大，在解答時要通過分析、探究，抓住有限的或隱含的條件，通過聯想綜合性的知識設計出解決問題的方式或探究出解決問題的數學思想，是考查考生數學靈氣和應用能力的重要題型.

例9 （2014年全國新課標卷Ⅱ理12）設函數f（x）=，若存在f（x）的極值點x0滿足則m的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，-6）∪（6，+∞） B.（-∞，-4）∪（4，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

因為f（x）的極值點為x0，所以f′（x0）=0，所以所以，k∈Z，所以x0=mk+，k∈ Z.

又存在x0滿足即存在k∈Z滿足上式，所以

點評：本題考查了函數的極值問題、三角函數的有關知識，不等式能成立等問題，充分考查考生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力.

例10 （2014年重慶卷理10）已知△ABC的內角A， B，C滿足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是（ ）.

C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24

解析：先對給出的等式進行化簡，用三角形的面積公式表示出1≤S≤2，兩個條件聯合，可求出△ABC的外接圓半徑的取值范圍，再對各選項逐個分析判斷.

由sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+，得sin2A+ sin（A-B+C）-sin（C-A-B）=，即sin2A+sin［A+（C-B）］+ sin［A+（B-C）］=，即2sinAcosA+2sinAcos（B-C）=，即sinA［cosA+cos（B-C）］=，即sinA［-cos（B+C）+cos（BC）］=，化簡，得sinAsinBsinC=

此時，abc=2RsinA×2RsinB×2RsinC=R3∈即8≤abc≤16，從而可以排除選項C和D.對于選項A：bc（b+c）＞bc·a=abc≥8，即bc（b+c）＞8，故A正確；對于選項B：ab（a+b）＞ab·c=abc≥8，即ab（a+b）＞8，故B錯誤.

綜上可知，本題應選A.

點評：本題綜合性較強，綜合考查了三角恒等變換公式（兩角和與差的正弦、余弦公式）、正弦定理、三角形內角和定理、兩邊之和大于第三邊和三角形面積公式.本題在化簡條件等式的過程中，運算量較大，在對有關選項的排除過程中，需要綜合應用所學知識進行推理論證，故本題考查了數據處理能力、運算求解能力和推理論證能力.F