圓的視角下對圓錐曲線定義的解讀

☉安徽省宣城中學 葉 強

圓的視角下對圓錐曲線定義的解讀

☉安徽省宣城中學 葉 強

圓是我們最熟悉的平面幾何圖形之一，它與橢圓、雙曲線、拋物線同屬于解析幾何，它們之間必然存在著千絲萬縷的聯(lián)系.圓錐曲線的定義是高考重要考查形式之一，本文以2013年全國新課標卷中圓錐曲線問題為例，站在圓的視角下對圓錐曲線的定義進行再次解讀，請同行指導.y

圖1

題目 （2013年新課標1）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2= 9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）略.

解析：（1）由已知得圓M的圓心為（-1，0），半徑r1=1；圓N的圓心為（1，0），半徑r2=3.

設圓P的圓心為P（x，y），半徑為R.

如圖1所示，因為圓P與圓M外切并且與圓N內切，所以|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4.

由橢圓的定義可知：曲線C是以M、N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓（左頂點除外），其方程為=1（x≠-2）.

評析：本題主要考查圓的標準方程、圓與圓的位置關系，橢圓的定義、標準方程，直線與橢圓的位置關系等知識，意在考查考生綜合運用所學知識解答問題的能力和運算求解能力.

一、改變相切的方式——由橢圓到雙曲線

變式1：與圓C1：（x-3）2+y2=1及C2：（x+3）2+y2=9都外切的動圓M的軌跡方程為_________.

解析：由已知得圓C1的圓心為（3，0），半徑為1；圓C2的圓心為（-3，0），半徑為3.

設圓M的圓心為（x，y），半徑為R.如圖2所示，因為圓M與圓C1、C2外切，所以|MC2|=R+3，|MC1|=R+1，所以|MC2|-|MC1|=2.

圖2

由雙曲線的定義可知：曲線M是以C2、C1為左、右焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，其方程為=1（x≥1）.

評析：本題將題目條件中動圓與兩定圓一內切、一外切，改為與兩定圓均外切，從而引出了雙曲線的定義.

二、變換兩定圓的關系——由一解到多解

變式2：已知圓C1：（x-2）2+y2=16及C2：x2+y2=r2（0＜r＜2），動圓M與兩圓都相切，動圓的圓心M的軌跡是兩個橢圓，這兩個橢圓的離心率分別為e1、e2（e1＞e2），則e1+2e2的最小值為（ ）.

解析：由已知得圓C1的圓心為（2，0），半徑為4；圓C2的圓心為（0，0），半徑為r.設圓M的圓心為（x，y），半徑為R.（1）當動圓M與兩定圓均內切時，如圖3所示.

此時有|MC2|=R-r，|MC1|=4-R，所以|MC2|+|MC1|=4-r.

圖3

由橢圓的定義可知：曲線M是以C2、C1為左、右焦點，長軸為4-r的橢圓，其離心率為e1=

（2）當動圓M與兩定圓一內切、一外切時，如圖4所示.

此時有|MC2|=R+r，|MC1|=4-R，所以|MC2|+|MC1|=4+r.

由橢圓的定義可知：曲線M是以C2、C1為左、右焦點，長軸為4+r的橢圓，其離心率為e2=

圖4

由（1）和（2）得e1+2e2=

令24-2r=t，因為0＜r＜2，所以t＞0，則r=12-

e1+2e2=，當且僅當即t=，即24-2r=16，即r=12-8時，等號成立.答案為A.

評析：本題與題目的不同之處在于兩定圓的位置關系發(fā)生了變動，動圓與兩圓均相切，但并沒有明確說明是內切還是外切，故應分不同情況討論.

三、變定圓為定直線——引出拋物線

變式3：已知動圓C經過點F（0，1），且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點，則圓C的面積（ ）.

A.有最大值為π B.有最小值為π

C.有最大值為4π D.有最小值為4π

解析：由拋物線的定義知點C的軌跡方程為x2=4y，設C點的坐標為因為圓C過點F，所以半徑r=|CF|=直線3x-4y+20=0與圓C有公共點，可轉化為點到直線3x-4y+20=0的距離d=解得x≥或x≤-2.圓C的半徑+1，故圓的最小面積為4π，答案為D.

評析：本題將題目條件中的兩個定圓之一改為定直線，進而得出拋物線的軌跡方程.

四、由位置的變動——圓錐曲線由分到合

變式4：點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離，那么平面內到定圓C的距離與到定點A的距離相等的點的軌跡不可能是（ ）.

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.直線

解析：設圓C的半徑為r.

當定點A在圓C的內部，且恰好為圓心時，如圖5所示，則P點的軌跡為圓，故選項A正確；

當定點A在圓C的內部，但不與圓心重合時，如圖6所示，因為|PA|=|PD|，所以|PC|+|PA|=r為定值，則P點的軌跡可能為橢圓，故選項B正確；

當點A在圓外時，如圖7所示，已知|PD|=|PA|，所以|PC|-|PA|=r，根據(jù)雙曲線的定義，P的軌跡可能為雙曲線的一支，故選項C正確.

故答案為D.

圖5

圖6

圖7

評析：本題因定點與定圓位置關系的不確定，使題目與圓、橢圓、雙曲線的定義均建立了聯(lián)系，考查了學生對知識的綜合應用能力.

五、由圓的伸縮——實現(xiàn)圓與橢圓的互換

圖8

解析：若是判斷直線與圓的公共點的個數(shù)，問題會變得簡單很多，容易很多.因此，我們一個直觀的想法是能否先將橢圓C“變?yōu)椤眻A，直線l也做相應的變化，轉化為判斷直線與圓的公共點的個數(shù)呢？特別是上述問題給我們的啟發(fā)是：圓按一定方向壓縮就是橢圓，那么橢圓按一定方向拉伸應該就是圓了，因此有下面的解法.

評析：對于本題，若從判斷直線與橢圓的位置關系入手判斷，則計算會比較麻煩，且難度比較大，此處，我們巧妙地把橢圓“拉伸”為圓，利用圓的特殊性很簡單地解決問題.

綜上所述，在平時的解題中，若能抓住圓與橢圓兩者圖形的特殊關系、抓住問題的本質，可以把看似很復雜的問題巧妙地解答，達到事半功倍的效果.