基于FEM－SBFEM的水下結(jié)構(gòu)聲固耦合分析方法

李上明

(中國工程物理研究院總體工程研究所 四川綿陽 621999)

浸沒在無限水域中的水下結(jié)構(gòu)聲固耦合問題廣泛存在于工程領(lǐng)域，如水下潛艇聲振分析、海洋平臺抗震分析、海底管道抗震分析、壩體抗震分析等。該類問題的難點之一為準(zhǔn)確高效模擬無限水域。模擬無限水域的方法通常包括 FEM［1］、傳遞邊界法(TBC)［2－6］、邊界元 (BEM)［7］等。其中，F(xiàn)EM 與TBC方法主要思想為將無限水域截斷成有限水域和吸收邊界條件(即阻抗邊界)。這些方法主要面臨離散區(qū)域大、自由度多及只能近似模擬無限水域無反射特性等不足。其中，F(xiàn)EM模擬無限域時，其離散域大、單元多，而傳遞邊界法雖然在離散域及單元數(shù)量上小于FEM，但其公式復(fù)雜，公式普適性相對較弱，特殊問題特殊處理。而BEM則在無限水域的邊界上進行離散，無限水域的無反射特性利用BEM的基本解進行精確表述，具有離散域小，精度高等特點，是一種能有效模擬無限水域的方法，但其奇異積分嚴(yán)重影響了其計算效率。

作為模擬無限域的一種替代方法，比例邊界有限元法［8－9］(SBFEM)是一種半解析力學(xué)數(shù)值模擬方法，在模擬無限域時展現(xiàn)出離散網(wǎng)格少、精度高、不含邊界元法中出現(xiàn)的奇異積分、無需基本解等特點，已逐漸用來模擬無限聲學(xué)水域［10］。

針對浸沒在無限水域中的水下結(jié)構(gòu)，文獻［10］利用FEM模擬水下結(jié)構(gòu)，SBFEM模擬整個無限水域，水下結(jié)構(gòu)與無限水域的耦合作用通過交錯迭代算法進行求解。在整個求解過程中，水下結(jié)構(gòu)和無限水域分別利用不同的公式進行交錯迭代求解，當(dāng)當(dāng)前時刻計算結(jié)果滿足某一收斂條件時，則進行下一時刻求解。該求解方法通常成為弱耦合迭代算法。利用弱耦合迭代算法及FEM－SBFEM耦合算法，文獻［11］、文獻［12］實現(xiàn)了壩庫耦合瞬態(tài)分析及沖擊波作用下的水下結(jié)構(gòu)瞬態(tài)分析。其中，F(xiàn)EM模擬水下結(jié)構(gòu)或壩體，F(xiàn)EM－SBFEM耦合模擬無限水域。數(shù)值結(jié)果表明弱耦合迭代算法有效獲取了水下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，但因交錯迭代導(dǎo)致了更多的時間消耗，并且收斂條件的定義對計算效率有較大影響。此外，交錯迭代算法難以應(yīng)用于頻域求解，如模態(tài)及諧響應(yīng)等問題的求解。

本文將基于FEM和SBFEM理論，建立水下結(jié)構(gòu)FEM公式與無限水域SBFEM公式的耦合公式，形成水下結(jié)構(gòu)與無限水域耦合的FEM－SBFEM強耦合公式，并對整個聲固耦合系統(tǒng)用同一控制方程(FEM－SBFEM強耦合方程)進行求解。

1 含無限水域的聲固耦合系統(tǒng)

圖1為浸沒在無限水域中的水下結(jié)構(gòu)聲固耦合系統(tǒng)。在模擬該系統(tǒng)的數(shù)值方法中，水下結(jié)構(gòu)通常用有限元(FEM)模擬，無限水域通過無限水域截斷面，截斷成有限水域和剩余的無限水域。有限水域用FEM模擬，而剩余的無限水域用比例邊界有限元(SBFEM)模擬。水下結(jié)構(gòu)為滿足連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論的連接介質(zhì)，而無限水域為滿足壓力波動方程的聲學(xué)水域。詳細(xì)結(jié)構(gòu)及聲學(xué)水域控制方程及其有限元理論可參考文獻［13］。

圖1 含無限水域的聲固耦合系統(tǒng)Fig.1 Acoustic－solid coupling system involving infinite water

2 水下結(jié)構(gòu)與有限水域耦合方程

在商業(yè)有限元軟件中，有限水域與水下結(jié)構(gòu)的聲固耦合算法相對成熟，常采用直接耦合法(即強耦合法)。直接耦合法的聲固耦合方程為

式中M，C，K為結(jié)構(gòu)與聲學(xué)流體區(qū)域的總體質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣，上標(biāo)P表示與聲學(xué)流體相關(guān)的物理量，上標(biāo)fs表示與聲固耦合相對應(yīng)的物理量。它們可用標(biāo)準(zhǔn)有限元程序獲取，詳情參見文獻［13］。{u}表示結(jié)構(gòu)節(jié)點位移，{P}為結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生的聲學(xué)流體節(jié)點壓力。{Fu}為結(jié)構(gòu)節(jié)點等效力列向量，{FP}為有限水域節(jié)點等效加速度列向量。將式(1)重新寫成分塊形式為:

式中下標(biāo)1和2分別代表除了無限水域截斷邊界之外的所有自由度對應(yīng)的變量和無限水域截斷邊界上自由度對應(yīng)的變量。式(2)中，除了{}之外，其余物理量均可由標(biāo)準(zhǔn)有限元法獲取，而{}由下節(jié)SBFEM理論獲取。

3 無限水域的SBFEM公式

文獻［10］給出了基于SBFEM的、在無限水域截斷邊界上的壓力{P2}的表達式。其利用SBFEM將無限水域從無限水域截斷面到無限遠(yuǎn)的區(qū)域離散成多個半無限扇形水域形式，網(wǎng)格形式見圖2，即當(dāng)用SBFEM離散無限水域時，維數(shù)減一，只需離散無限水域截斷面，無限水域離散截斷面的每個網(wǎng)格均代表相對應(yīng)的半無限扇形水域(三維問題則為半無限楔形水域)。離散無限水域時，網(wǎng)格應(yīng)具有相同的相似中心(即所有半無限扇形的兩邊應(yīng)相交于一點)。

圖2 無限水域的SBFEM離散模型Fig.2 SBFEM discretizationmodel of infinite water

根據(jù)SBFEM理論，離散后無限水域截斷面上的控制方程［10］滿足

4 水下結(jié)構(gòu)聲固耦合公式

將式(3)代入式(2)得:

式(4)為水下結(jié)構(gòu)聲固全耦合公式。該公式可采用Newmark直接積分法進行水下結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)分析。

5 算例

5.1 內(nèi)壓作用下水下橢圓殼瞬態(tài)響應(yīng)

分析浸沒在無限海水域中、由兩共焦橢圓構(gòu)成的橢圓環(huán)在均布內(nèi)壓作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，考察檢驗式(4)的正確性。文中將無限海水分割成有限水域和“無限”水域，見圖3，“無限”水域分別采用無限元法和比例邊界有限元法離散，有限水域與橢圓環(huán)分別用四節(jié)點聲學(xué)有限元和四節(jié)點平面應(yīng)力有限元單元離散。采用無限元時，“無限”水域截斷半徑分別為長半長軸的1.2倍、7倍、20倍、40倍，而采用SBFEM時，“無限”水域截斷半徑只取為長半長軸的1.2倍。圖3給出了1.2倍時的水下結(jié)構(gòu)與有限水域的網(wǎng)格形式。均布內(nèi)壓在5 ms內(nèi)從零逐漸變?yōu)閱挝粔毫Γ蟊３植蛔儭９步箼E圓的半長軸分別為53.85 cm 和 52.83 cm，半短軸分別為 36.32 cm和34.79 cm，彈性模量為 200 GPa，密度為 7 849.7 kg/m3。海水的密度為1 023.1 kg/m3，海水中聲音速度為 1 498.6 m/s。

圖3 水下橢圓筒和無限水域的有限元網(wǎng)格Fig.3 Finite elementmesh ofsubmerged cylindrical ellipse and infinite water

圖4給出了用對應(yīng)靜態(tài)位移規(guī)則化后的橢圓環(huán)半短軸處徑向位移圖。采用無限元離散“無限”水域時，隨著截取半徑的增大，結(jié)果逐漸收斂。20倍和40倍的結(jié)果完全重合，而1.2倍的結(jié)果則遠(yuǎn)偏離20倍的結(jié)果，7倍的結(jié)果則較接近20倍的結(jié)果，這是因為無限單元只能近似模擬無限水域無反射特性，用其模擬無限水域時要求保留較大的有限水域，即較大的截取半徑(如6倍以上)。當(dāng)采用SBFEM模擬無限水域時，因其在徑向方向是解析解，無限水域截取半徑的大小對結(jié)果影響不大。圖4中給出了用SBFEM模擬無限水域截取半徑為長半長軸1.2倍時的結(jié)果，其與用無限單元模擬無限水域時20倍、40倍的結(jié)果重合。這表明SBFEM離散無限水域比無限元更具優(yōu)勢。圖4中1.2倍、7倍、20倍、40倍的結(jié)果采用Ansys軟件，利用有限元與無限元耦合分析而得，而SBFEM 1.2倍結(jié)果由式(4)計算而得。

圖4 橢圓環(huán)半短軸處徑向位移Fig.4 Radial displacement at theminor axis of cylindrical ellipse

5.2 地震激勵下重力壩瞬態(tài)響應(yīng)

利用式(4)計算文獻［11］中已分析的重力壩庫系統(tǒng)(見圖5)在圖6水平向地震激勵下的壩庫耦合瞬態(tài)響應(yīng)。分析中，不考慮材料和幾何的非線性，忽略水庫自由表面波，庫底、庫岸的吸收性及壩體的材料阻尼，并假定庫底剛性。

圖5 重力壩庫系統(tǒng)Fig.5 Gravity dam －reservoir system

圖6 斜面水平向地震加速度Fig.6 Ramped horizontal ground acceleration

壩體用平面應(yīng)變四節(jié)點等參單元離散，近場用四節(jié)點聲學(xué)流體單元離散，遠(yuǎn)場用兩節(jié)點比例邊界有限元單元離散。遠(yuǎn)場離壩底6 m。其網(wǎng)格圖見圖7。圖中顏色相對較淺的為壩體單元，而顏色較深的為聲學(xué)流體單元。

圖7 重力壩及有限水域的網(wǎng)格圖Fig.7 Mesh of gravity dam and finite water

壩體分析參數(shù)為:密度2 400 kg/m3，泊松比0.2，楊氏模量25 GPa。水的密度為1 000 kg/m3，水中聲音速度為1 438.656 m/s。Newmark時間積分的時間增量Δt=0.002 s。壩底在圖6斜面水平向地震加速度作用下的動水壓力如圖8所示。

圖8中弱耦合的結(jié)果來自文獻［11］，而強耦合結(jié)果由式(4)計算而得。兩者結(jié)果幾乎完全重合。弱耦合結(jié)果的正確性在文獻［11］中已說明。

圖8 斜面加速度下重力壩壩底水動壓力Fig.8 Hydrodynamic pressure at the heel of gravity dam under ramped horizontal ground acceleration

6 結(jié)論

文中建立了水下結(jié)構(gòu)聲固強耦合公式，分析了水下結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)。數(shù)值算例表明了該公式的正確性。該公式具有以下特點:(1)利用該公式計算水下結(jié)構(gòu)響應(yīng)時，不需要進行水下結(jié)構(gòu)與無限水域響應(yīng)計算的交錯迭代，能有效提高分析效率;(2)該公式繼承了SBFEM方法模擬無限水域的優(yōu)點，即離散區(qū)域小，自由度少，精確滿足無限水域無窮遠(yuǎn)處的無反射特性;(3)該公式實現(xiàn)了SBFEM與FEM的無縫耦合;(4)該公式為水下結(jié)構(gòu)聲固耦合提供了一種新的求解方法。

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