復合泊松需求分布下生產企業的生產

董作文+王建偉

摘 要：針對需求到達次數為復合泊松過程的生產企業的生產——庫存系統模型，進一步研究缺貨發生的概率，然后利用運籌學中的存儲理論計算該模型下生產企業的庫存與缺貨等費用，希望在總費用最小的決策原則之下，求解該模型的各參數取值。

關鍵詞：復合泊松過程；缺貨概率；庫存費

中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）12-0018-02

一、引言

風險理論是對風險進行定量分析和預測的一般理論，主要處理保險事務中的隨機風險模型。研究這些風險模型的破產概率即為破產理論，它是保險精算數學的研究內容。它對保險公司的長期經營穩定性分析有重要意義，也是保險公司最為關心的一個熱門課題。在[1]中，董作文與劉恒利用風險理論中的復合泊松過程構建了復合泊松需求分布下生產企業的生產——庫存系統模型。

（一）模型的構造[1]

1.假設生產企業初始存貨量為Q，單位時間的貨物生產量為c。

2.假設生產企業面對的貨物需求次數符合復合泊松過程，假設（0，t]內的需求到達次數為N（t），則N（t）符合泊松過程。

3.假設生產企業面對的每次貨物需求量為Ri，i=1，2，…，Ri，i=1，2，…獨立同分布，分布函數為F（x），假設E（Ri）=R，i=1，2，…。

在以上假設下，生產企業在t時刻的貨物存儲量U（t）=Q+ct-Ri。下面，我們就要討論該模型的缺貨發生的概率了。記缺貨發生的時刻T=inf{t：U（t）<0}，則Ψ（Q）=P{T<∞}為在初始存貨為Q的情況下，企業的最終缺貨概率。

（二）缺貨發生概率

定義1：我們稱關于a的方程1+（1+θ）Ra=eaxdF（x）的正數解A1為Ri的次調節系數，其中θ=-1。

定義2：取A=max{r∶r=A1}，稱A為R1的調節系數。

定理1：設企業初始存儲量為Q，貨物需求量Ri的分布函數為F（x），則：

Ψ（Q）≤e-AQ。

定理2：設企業初始存儲量為Q，則缺貨發生的概率滿足：

Ψ（Q）=。

定理3：如果企業初始存儲量等于0，那么對所有的y>0，我們有：

P[U（T）∈（-y-dy，-y），T<∞]=[1-P（y）]dy。

（三）缺貨概率的進一步討論

在破產理論中，我們定義最大累積貨物需求量，即到時刻t 為止的貨物需求總額和貨物產量的差的最大值：

L=max{S（t）-ct，t≥0}

S（t）為到t時的貨物需求總額，c為貨物生產速度。因為S（0）=0，所以L≥0。

事件L>Q發生當且僅當存在一個有限時間t，使得U（t）<0；換一句話說，不等式L>Q和T<∞是等價的，從而：

Ψ（Q）=1-FL（Q）

接下來，我們考慮了貨物存儲創新下記錄的時刻，下記錄只能發生在提貨時刻。我們用隨機變量Lj，j=1，2，…來表示第j個下記錄比第j-1個下記錄小的額度。設M是新紀錄的隨機個數，我們有：

L=L1+L2+…+LM

由于泊松過程是無記憶的，所以每一個指定的下記錄是最后一個下記錄的概率是相同的，為1-Ψ（0），也就是說，隨機變量M復合幾何分布，參數為p=1-Ψ（0）。

定理4：Ψ（0）=[1-F（y）]dy =R=

定理5：假設在生產過程中至少存在一個下記錄L1，那么L1的概率密度函數fL1（y）可以表示為：

fL1（y）=，y>0

二、復合泊松需求分布下生產企業的生產——庫存系統模型的進一步研究

（一）關于缺貨發生的概率[2]

在上一節第一部分中，我們得出了在初始存貨為Q的條件下，最終缺貨概率的上限以及一般表達式，沒有給出一個明確的表達式，這是我們需要進一步解決的問題。第二部分中，也只是給出了初始存貨為0的條件之下，最終缺貨概率的明確的表達式，于解決問題只是有一定的指導意義而已。下面我們就要推導在需求量符合指數分布下，在初始存貨為Q的條件下，最終缺貨概率的明確的表達式。

三、總結

本文針對需求到達次數為復合泊松過程的生產企業的生產——庫存系統模型，進一步研究缺貨發生的概率，然后利用運籌學中的存儲理論計算該模型下生產企業的庫存與缺貨等費用，希望在總費用最小的決策原則之下，求解該模型的各參數取值。

參考文獻：

[1] 董作文，劉恒.復合泊松需求分布下生產企業的生產——庫存系統模型[J].經濟研究導刊，2015，（4）.

[2] [荷]R.卡爾斯，M.胡法茲，J.達吶，M.狄尼特.現代精算風險理論[M].唐啟鶴，胡太忠，成世學，譯.北京：科學出版社，2001：70-71.

[3] 方秋蓮.幾類需求帶跳隨機庫存模型及其應用研究[D].長沙：中南大學，2010.

[責任編輯 劉嬌嬌]