天才與鍛煉（節選）

【編者按】江蘇衛視的節目《最強大腦》第一季掀起了收視的熱潮，今年即將迎來第二季，其流行語“讓科學流行起來”也引起了大家的共鳴.本期專欄我們取名《數學大腦》以作呼應，將對第一季節目中有關數學的部分做一些探究.也希望同學們能邊看邊思考，讓你的數學大腦轉起來！

周瑋與速算

有一期，一位被稱為“中國雨人”的選手周瑋引起了社會的普遍關注，他的速算能力毋庸置疑，至少大部分人不具備如此能力.

作為周瑋本人，他的開高次方根的速算能力值得肯定，其中的算法也值得進一步研究，而作為普通人并對此感興趣的我們，就要好好想想其中有何捷徑可走，速算能力并非僅僅依托于天賦.

今天先請大家讀一讀華羅庚先生的一篇小短文的節選，隨后會向大家展示一個神奇的數學魔術，最后，我們再來看看，對于周瑋的開高次方根有沒有“速算”的辦法.

提問者寫下一個201位的數：

916 748 679 200 391 580 986

609 275 853 801 624 831 066

801 443 086 224 071 265 164

279 346 570 408 670 965 932

792 057 674 808 067 900 227

830 163 549 248 523 803 357

453 169 351 119 035 965 775

473 400 756 816 883 056 208

210 161 291 328 455 648 057

801 588 067 711

解答者馬上回答：這數的23次方根等于9位數546 372 891.

《環球》雜志的一篇文章中是這樣說的：印度有一位37歲的婦女沙昆塔拉在計算這道題時速度超過了一臺最先進的電子計算機.這臺在美國得過獎的最現代化、最尖端的產品Univac 1180型電子計算機在算這道題時，要先饋人近2萬個指令和數字單元，然后才能開始計算.它整整用了1 min才算出結果.而沙昆塔拉在教授在黑板上用了4min寫出這個201位數后，僅用50 s就算出了以上的答案.美國報紙稱她為數學魔術師，轟動一時！文章末尾還神秘地說，在她快生孩子的一個星期，她的計算能力出了問題.

面對這樣的問題怎么辦？

看到上述消息，可能有以下幾種態度：一是驚嘆，望塵莫及，欽佩之至，欽佩之余也就罷了.二是不屑一顧，我是高等數學專家，豈能為這些區區計算而浪費精力.三是我掌握著快速電子計算機，軟件有千千萬，她一次勝了我算個啥！老實說，有上述這些思想是會妨礙進步的.第一種態度是沒出息，不想和高手較量較量.第二種態度是自命不凡.實際上連計算也怕的人，能在高等數學上成為權威嗎？即使能成，也是“下筆雖有千言，胸中實無一策”，瞧不起應用，又對應用一無所能的人.第三種是固步自封，不想做機器的主人.動腦筋是推進科學發展的動力之一，而勤奮、有機會就鍛煉是增長我們能耐的好方法.人壽幾何！我并不是說碰到所有的問題都想，而是說要經常動腦筋，來考驗自己.

在我們見到這問題的時候，首先發現文章中答數的倒數第二位錯了，其次我們用普通的計算器（Sharp 506）可以在20 s內給出答數.那位教授在黑板上寫下那個201位數用了4 min，實際上在他寫出 8個數字后，我們就可算出答數了.所以說，沙昆塔拉以50s對1 min勝了Univac 1180，而我們用Sharp 506小計算器以 220 s勝了沙昆塔拉的50 s.但我們所靠的不是天才，而是普通人都能學會的方法.讓我從頭說起吧！

從開立方說起

文章中提到，沙昆塔拉在計算開方時，經常能糾正人們提Jm的問題，指出題目出錯了，可見他們是共同約定開方是開得盡的.現在我們也做這樣的約定，即開方的答數都是整數.

我國有一位少年，能在1min內開6位數的立方.少年能想得出這個方法是值得稱道的，但美中不足之處在于他沒有把方法講出來，因而搞得神秘化了.當然也考了人們，為什么少年能想得出的方法，一些成年人就想不出來，反而推波助瀾造成過分的宣揚？

這問題對我是一個偶遇：在飛機上我的一位助手借了鄰座一位香港同胞的雜志看，我從旁看到一個數59 319，希望求這數的立方根.我脫口而出答數是39.他問為什么，我說，前二位不是說明答數的首位是3嗎？尾數是9不是說明答數的末位應當是9嗎？因此答數不該是39嗎？

然后，我告訴他，我的完整想法是：把六位數開立方，從前三位決定答數的第一位，答數的第二位根據原數的末位而定：2，8互換，3，7互換，其他照舊（這是因為1，2，3，4，5，6，7，8，9立方的末位分別為1，8，7，4，5，6，3，2，9）.例如314 432的立方根是68，前三位決定6，末位是2，它決定答數的末位是8.

我們怎樣看出答數倒數第二位

是錯的

這一點比較難些，要運用一個結果：即α23的最后兩位數和α3的最后兩位數是完全相同的.

91 3的最后兩位數是71而不是11，而71 3的最后兩位數才是11，因此答數中的9應當改為7.先不管出現這個差錯的原因是什么，我們這里已經做了一個很好的習題.想不到竟是Univac 1180把題目出錯了，這事我們后面再講它.

我們來證明α23的最后兩位數和α3的最后兩位數相同.當a=2或5時，容易直接驗算.今假定以不能被2和5除盡，我們只要證明a20的末兩位是01就夠了.首先因α是奇數，α2-1總能被8除盡，所以α20-1當然也能被8除盡.其次，因α4-1=（α-1）（α+l）[（α-2）（α+2）+5]，

α不是5的倍數，所以α-2，α-1，αa+1，α+2中肯定有一個是5的倍數.即b=α4-1是5的倍數，而

α20-1=（b+1）5-1=b5+5b4+lOb3+lOb2 +5b.

因而α20-1是25的倍數.從而α20-1是100的倍數.具備些數論知識的人也可從費馬小定理推出來.

我們怎樣算

我們用的原則是：如果解答是L位整數，我們只要用前L位（有時只要L-1位）或后L位就夠了.用后L位的方法見附錄二，先說前一方法.以前當那位教授說要開201位數的23次方時，以23除201余17，就能預測答數是9位數.當教授寫到第六、七位時，我們就在Sharp 506上按這六位和七位數，乘以10 16，然后按開方鈕算出

這樣我們定出了答數的前七位：5463728，后二位已由上節的方法決定了，因此答數應該是546 372 871.其實，更進一步考慮，只需利用這個201位數的前八位數字就能在計算器上得到它的23次方根（證明見下面的附記）：

但不幸的是，把這個數乘23次方，結果與原來給的數不相符（見附錄一）.與原題比較，發現原題不但尾巴錯了，而且在第八和第九位之間少了一個6.竟想不到U nivac1180把題目出錯了，也許是出題的人故意這樣做的，為什么沙昆塔拉這次沒能發現這個錯誤？看來她可能也是根據前八位算出了結果，而沒對解答進行驗算.

我們的習題沒有白做，答數錯了我們發現了，連題目出錯了我們也糾正了.

結論是：在教授寫到91 674 867時，我們在計算器上按上這八個數字.再乘l0 16.然后按鈕開23次方就可算出答案，總共約用20 s就夠了，也就是比那個教授寫完這個數還要快3 min 40 s，比沙昆塔拉快了4.5min.

既然已經知道答數是九位數，或者說在要求答數有九位有效數字時，我們就只需把前八位或九位數字輸入計算機就夠了，而無需把201位數全部輸入機器，進行一些多余的計算.

（注：附記略）

多余的話

我不否認沙昆塔拉這樣的計算才能.對我來說，不要說運算了，就是記憶一個六、七位數都記不住.但我總覺得多講科學化比多講神秘化好些，科學化的東西學得會，神秘化的東西學不會，故意神秘化就更不好了.有時傳播神秘化的東西比傳播科學更容易些.在科學落后的地方，一些簡單的問題就能迷惑人.在科學進步的地方，一些較復雜的問題也能迷惑人.看看沙昆塔拉能在一個科學發達的國家引起轟動，就知道我們該多么警惕了，該多么珍視在實踐中考驗過的科學成果了，該多么慎重地對待一些未到實踐中去過而夸夸其談的科學能人了.

同時也可以看到，手中拿了最先進的科學工具，由于疏忽或漫不經心而造成的教訓.現代計算工具能計算得很快很準，但也有一個缺點，一旦算錯了，不容易檢查出來.對于計算像201位數字開23次方這類的問題——多少屬于數學游戲性質的問題，算錯了無所謂，而對在實際運用中的問題算錯了就不是玩的.“二萬條指令”出錯的可能性多了，而在演算過程中想辦法少用或不用計算機演算，檢查起來就不那么難了.這說明人應該是機器的主人，而不是機器的奴隸.至于大算一陣嚇唬人的情況就更不值一提了.

（注：附錄略）