舉例子能證明幾何定理嗎

【編者的話】書讀得多而不去思考，你會覺得你知道的很多，書讀得多又思考，你會覺得你不知道的很多.

——伏爾泰

各位親愛的同學，假期里你總可以擠出一些屬于自己的閱讀時間，你是否相信自己可以從課外閱讀中獲取自己想要的知識與靈感呢？課外閱讀的范圍相當廣，我們可以依據(jù)自己的興趣進行選擇性地閱讀，身心必將受到一次大的洗禮，在增長見識的同時又娛樂身心，何樂而不為？

本期的兩篇文章都是節(jié)選，請你讀一讀，要是在讀過后能寫些讀后感就更好了！

歸納和演繹，是人類認識世界活動中廣泛應用的兩套思維方法.

它反映了人們認識事物的兩條思維途徑，前者是從個別到一般的思維運動，后者是從一般到個別的思維運動.

哲學認為：歸納和演繹非常重要，但各自也都存在一定的局限性，需要相互補充、相互轉(zhuǎn)化.

在數(shù)學家的眼中，歸納和演繹用處也各有不同.

拉普拉斯說：在數(shù)學這門科學里，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比.

高斯說：數(shù)學中的一些美麗定理具有這樣的特性，它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏得極深.

陳省身說：數(shù)學是一門演繹的學問，從一組公設，經(jīng)過邏輯的推理，獲得結(jié)論.

歸納用于發(fā)現(xiàn)，演繹用于推理.這是相當普遍的看法.

例證法——用演繹支持歸納

那么，在數(shù)學中舉例真的不能證明一般的命題嗎？

中學里學了恒等式.下面的等式

（χ-1）2=χ2-2χ+1

（※）

就是一個恒等式.

用χ=l代人，兩邊都得O；χ=2，兩邊都得1；χ=3，兩邊都得4.

這樣舉了三個例子之后，能不能肯定（※）是恒等式呢？

恒等式，恒等式，要求χ取所有數(shù)值時兩邊都相等.才驗證了三個χ的值，怎么能斷定它一定恒等呢？

其實，這三個實例已經(jīng)證明了（※）是恒等式.道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，這種方程不可能有三個根.現(xiàn)在1，2，3都是“根”，說明它不是方程而是恒等式，

在這個具體問題上，演繹推理支持了歸納推理.我們用數(shù)學上承認的演繹法證明了歸納法的有效性，

一般說來，代數(shù)恒等式的檢驗都可以用舉例子的方法.不過，高次的和多元的等式，要用更多的例子罷了.

這些事實表明：在數(shù)學王國的某些角落里，歸納法可以有效地證明一般性的命題，甚至可以用一個特例證明一般的命題.歸納法的這種力量，是由演繹推理證明的.

數(shù)學的新成果表明：歸納與演繹是對立的統(tǒng)一.認為歸納推理毫無根據(jù)是不充分的，因為在初等幾何范圍內(nèi)已證明了歸納的有效性；認為演繹推理不能使我們增加新知識也是不確切的，因為演繹推理揭示出事物的內(nèi)在聯(lián)系，使我們看到現(xiàn)象背后的本質(zhì)，增加了我們的新知識.

歸納與演繹，是人類認識世界的兩個基本方法，它們相互支持，相互補充，使我們越來越接近真理.

但是，代數(shù)恒等式在數(shù)學史上，遠不如初等幾何證明題那樣受人青睞，那樣豐富多彩，那樣魅力無窮.正是在初等幾何領域，演繹推理樹立起了自己的威望，成為人所共知的絕對統(tǒng)治者.歸納法的效力，能不能在這里發(fā)揮作用呢？傳統(tǒng)的看法是否定的.但是，20世紀80年代以來，中國數(shù)學家的工作在這里揭開了新的一頁.

幾何定理也能用例子證明

用舉例的方法證明幾何定理的研究，屬于幾何定理機器證明這個在近幾十年開始活躍起來的數(shù)學領域.

用機器證明數(shù)學定理，是歷史上一些杰出的數(shù)學家與哲學家夢寐以求的事.

數(shù)學問題大體上有兩類，一類是求解，一類是求證.我們熟悉的求解問題很多：解方程，解應用題，幾何作圖，求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，我們熟悉的求證問題，大多是初等幾何證明題，還有證明恒等式，證明不等式.

中國古代數(shù)學研究的中心問題是求解，把問題分為若干類，分別給出解題的方法.這方法是一系列確定的步驟，誰都可以學會.會一個方法，便能解一類問題.《九章算術》就是這么做的.

用一個固定的程序解決一類問題，這就是數(shù)學機械化的基本思想.追求數(shù)學的機械化方法，是中國古代數(shù)學的優(yōu)秀傳統(tǒng)之一.

在西方，以希臘幾何學研究為代表的古代數(shù)學，所研究的中心問題不是求解而是求證，是從公理出發(fā)用演繹推理方式證明一個一個的定理.而證明定理的方法，則是一題一證，各具巧思，無一確定的法則可循.證明的成功有賴于技巧與靈感.

能不能找到一種方法，像解方程那樣，按固定法則證明一批一批的幾何定理呢？

17世紀法國的唯理論哲學家，發(fā)明了解析幾何的數(shù)學家笛卡兒，曾有過一個大膽的設想：“一切問題化為數(shù)學問題.一切數(shù)學問題化為代數(shù)問題.一切代數(shù)問題化為代數(shù)方程求解問題.”

于是，笛卡兒用坐標方法——解析幾何的方法，把初等幾何問題化成了代數(shù)問題.

比笛卡兒稍晚一些的德國唯理論哲學家、與牛頓同時創(chuàng)立微積分的數(shù)學家萊布尼茨，曾有過“推理機器”的設想，希望用一臺機器代替人的推理活動，他曾設計過計算機，他的努力促進了數(shù)理邏輯的研究.

20世紀的數(shù)學大師希爾伯特，在他的名著《幾何基礎》一書中，也曾提出過一小類幾何命題的機械判定方法.

第二次世界大戰(zhàn)以后，電子計算機的出現(xiàn)大大促進了定理機器證明的研究.經(jīng)過許多出色數(shù)學家的辛勤耕耘，這個領域有了蓬勃發(fā)展，但是都不能在計算機上真的用來證明非平凡的幾何定理.一直到杰出的中國數(shù)學家吳文俊院士在1977年發(fā)表他的初等幾何機器證明新方法之后，在電子計算機上證明初等幾何定理才成為現(xiàn)實.

吳氏方法的基本思想是：先把幾何問題化為代數(shù)問題，再把代數(shù)問題化為代數(shù)恒等式的檢驗問題，代數(shù)恒等式的檢驗是機械的，問題的轉(zhuǎn)化過程也是機械的，整個問題也就機械化了.

既然幾何證明問題可以化為代數(shù)恒等式的檢驗問題，而在前面義剛剛提到過可以用舉例的方法檢驗代數(shù)恒等式，那是不是意味著有可能用舉例的方法來證明幾何定理呢？

吳氏方法鼓舞了這個方向的研究.在吳氏方法的基礎上，洪加威于1986年發(fā)表了一項引起廣泛興趣的研究成果：對于相當廣泛的一類幾何命題，只要檢驗一個實例便能確定這條命題是不是成立.

特例的檢驗，能代替演繹推理的證明！

但是，洪加威要的那一個例子，不是隨手拈來的例子，它要滿足一定的條件，才具有一般的代表性，對于非平凡的幾何命題，這例子往往涉及大得驚人的數(shù)值計算.為了使洪氏方法在計算機上實現(xiàn)，尚待進一步的努力.

在吳氏方法的基礎上，張景中、楊路提出了另一種舉例證明幾何定理的方法.按照這種方法，為了判定一個（等式型）初等幾何命題的真假，只須檢驗若干普通的實例.例子的數(shù)目與分布方式可以根據(jù)命題的復雜程度用機械的方法確定.

順便提一句，舉一些例子證明幾何定理，舉的例子不僅要夠一定的數(shù)目，而且要有一定的分布方式，這正是歸納法的倡導者培根所要求的：要廣泛搜集材料，搜集不同類型的材料.它的有效范圍是它從中引申、歸納m的那些事例的范圍，張楊法所要求的這一組例子的分布形式，足以保證概括了命題的論域，代表了廣泛的一般情形.——節(jié)選自張景中、彭翕成所著的《數(shù)學哲學》