平均變化率教學(xué)案例

陳碧云

摘 要：平均變化率” 是導(dǎo)數(shù)概念的第一節(jié)課，雖然是個(gè)輔助性概念，但它是研究瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，是“進(jìn)軍”導(dǎo)數(shù)的必經(jīng)之路。對(duì)變化率概念的建構(gòu)將直接影響導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)。平均變化率蘊(yùn)含了豐富的生活背景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，縮短了數(shù)學(xué)與生活的距離，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)價(jià)值不可多得的好材料。

關(guān)鍵詞：平均變化率；教學(xué)案例

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）07-174-02

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

“平均變化率” 是導(dǎo)數(shù)概念的第一節(jié)課，雖然是個(gè)輔助性概念，但它是研究瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，是“進(jìn)軍”導(dǎo)數(shù)的必經(jīng)之路。對(duì)變化率概念的建構(gòu)將直接影響導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)。平均變化率蘊(yùn)含了豐富的生活背景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，縮短了數(shù)學(xué)與生活的距離，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)價(jià)值不可多得的好材料。學(xué)生親自經(jīng)歷將生活原形概括抽象為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，隱含了特殊到一般、類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，在概念的構(gòu)建過(guò)程中通過(guò)對(duì)生活現(xiàn)象和物理問(wèn)題如何作出合理的數(shù)學(xué)闡釋發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的抽象意識(shí)、推理意識(shí)、數(shù)學(xué)審美意識(shí)等，促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、分析和表示各種事物的數(shù)量關(guān)系，能主動(dòng)地用數(shù)學(xué)思想、方法來(lái)思考問(wèn)題。

二、教學(xué)實(shí)錄

教師：有些同學(xué)認(rèn)為數(shù)學(xué)很抽象，離我們的生活很遠(yuǎn)。其實(shí)只要大家能常常戴上“數(shù)學(xué)”的眼鏡觀察生活中的一些現(xiàn)象，你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)生活離我們這么近。下面我們來(lái)看幾個(gè)例子。

近幾年房?jī)r(jià)成為全社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)，下圖是某小區(qū)的房?jī)r(jià)曲線圖（幻燈出示圖片），大家觀察圖像后有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：房?jī)r(jià)一直在增長(zhǎng)而且增長(zhǎng)得越來(lái)越快。

教師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，那么2008至2010年度房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)速度有沒(méi)有比1997至2008的增長(zhǎng)速度快呢？你怎么得出該結(jié)論的？

學(xué)生：有，2008至2010年度對(duì)應(yīng)的曲線比1997至2008年對(duì)應(yīng)的曲線陡峭。

教師：大家從曲線的陡峭程度直接觀察出來(lái)了，那么能不能用準(zhǔn)確的數(shù)值來(lái)刻畫(huà)房?jī)r(jià)增長(zhǎng)得越來(lái)越快？

學(xué)生：可以用平均每年的增長(zhǎng)量

教師：大家一起來(lái)計(jì)算1997至2008平均每年的增長(zhǎng)量和2008至2010年度平均每年的增長(zhǎng)量。

學(xué)生計(jì)算回答，教師板書(shū)： 元 年； 元 年

教師：這個(gè)例子用平均增長(zhǎng)量刻畫(huà)了房?jī)r(jià)增長(zhǎng)得越來(lái)越快。

教師：小時(shí)候大家可能都有過(guò)吹氣球的回憶。在吹氣球的過(guò)程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)氣球會(huì)越來(lái)越難吹。那么，請(qǐng)同學(xué)們思考一下氣球?yàn)槭裁磿?huì)越來(lái)越難吹？從數(shù)學(xué)角度如何描述這種現(xiàn)象呢？學(xué)生有些茫然。

教師：看來(lái)大家碰到了一點(diǎn)小困難，接下來(lái)先請(qǐng)兩位同學(xué)上來(lái)做一個(gè)吹氣球的實(shí)驗(yàn)，大家仔細(xì)觀察，看能不能從數(shù)學(xué)角度解釋氣球?yàn)槭裁磿?huì)越來(lái)越難吹？

數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)：學(xué)生甲拿著打氣筒，學(xué)生乙拿著氣球（氣球內(nèi)沒(méi)有空氣，打氣筒的出氣嘴與氣球的氣嘴事先連接好）.同學(xué)甲先向氣球內(nèi)打10下氣，同學(xué)乙測(cè)得此時(shí)氣球的半徑為0.5dm 經(jīng)全班同學(xué)計(jì)算得氣球的容積約0.52升 ；同學(xué)甲接著再向氣球內(nèi)打10下氣，同學(xué)乙測(cè)得此時(shí)氣球的半徑約為0.63dm，計(jì)算得氣球的容積為1.04升。

教師：觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：當(dāng)吹進(jìn)去的氣體相同時(shí)，氣球膨脹越來(lái)越慢。

學(xué)生：當(dāng)吹進(jìn)去的氣體相同時(shí)，氣球膨脹越來(lái)越慢也就是氣球半徑的增加量越來(lái)越小。

教師：如果我們把氣球看做一個(gè)球，當(dāng)吹進(jìn)去的氣體相同時(shí)，氣球膨脹越來(lái)越慢，也就是氣球半徑的增加量越來(lái)越小。我們能不能用數(shù)值來(lái)準(zhǔn)確刻劃該現(xiàn)象呢？有哪位同學(xué)能說(shuō)一下？

學(xué)生：可以用半徑的差除以氣球容積的差。

學(xué)生進(jìn)行計(jì)算回答，教師板書(shū)： ；

教師：我們用半徑的差除以空氣容積的差這樣的比值刻畫(huà)了氣球膨脹的快慢，這個(gè)比值我們也稱為氣球的平均膨脹率。當(dāng)空氣容量從 增加到 時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？

學(xué)生回答，教師板書(shū)：

教師播放多媒體課件（我國(guó)運(yùn)動(dòng)員郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運(yùn)會(huì)上跳水比賽視頻）

多媒體展示：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中， 運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 （單位：m）與起跳后的時(shí)間 （單位：s）存在函數(shù)關(guān)系 ，如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 那么：（1）在 這段時(shí)間里，運(yùn)動(dòng)員的平均速度為多少？（2）在 這段時(shí)間里， 運(yùn)動(dòng)員的平均速度為多少？

學(xué)生進(jìn)行計(jì)算回答，教師板書(shū)

教師：平均速度可以描述運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)變化的快慢。當(dāng)運(yùn)動(dòng)員起跳后的時(shí)間從 增加到 時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的平均速度是多少？

學(xué)生回答，教師板書(shū)

教師：我們?cè)賮?lái)回憶一下上面的三個(gè)情景，他們有哪些共同點(diǎn)？

學(xué)生討論交流，教師提問(wèn)學(xué)生后共同歸納出：都有兩個(gè)變量，而且兩個(gè)變量一個(gè)變量隨另一變量變化而變化。都是用差值的比來(lái)刻畫(huà)變化的快慢。

教師：一個(gè)變量隨另一變量變化而變化即兩變量存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以用哪個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系？

學(xué)生：函數(shù)。

教師：那么如何刻畫(huà)函數(shù)f（x）在區(qū)間 上隨x變化（增加或減少）的“快”與“慢”？ 學(xué)生：函數(shù)值的差與自變量的差的比值。

教師：我們把這些比值稱為函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率，能歸納出函數(shù)在給定區(qū)間的平均變化率的定義嗎？（提問(wèn)）

學(xué)生：一般地，函數(shù)y=f（x）中，式子 稱為函數(shù)f（x）從x1到x2的平均變化率。

教師：習(xí)慣上用 表示 ，即 ，類似地 ，則平均變化率可表示為 。把 看作相對(duì)于 的一個(gè)“增量”，于是可用 代替 ，平均變化率公式還可改寫(xiě)成

教師：如圖觀察函數(shù)f（x）的圖象，由平均變化率公式 你能聯(lián)想哪個(gè)公式？平均變化率表示什么？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，自己動(dòng)手畫(huà)圖，教師進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)交流，然后教師結(jié)合多媒體展示下面的圖像進(jìn)行總結(jié)歸納。

教師：通過(guò)探討我們知道了，平均變化率表示函數(shù)圖像上兩點(diǎn)所在直線的斜率。

教師：同學(xué)們能舉出一些用函數(shù)的平均變化率刻畫(huà)因變量隨自變量變化“快慢”的例子嗎？同學(xué)們討論交流回答。

教師：同學(xué)們，只要我們經(jīng)常戴上數(shù)學(xué)的眼鏡看生活，在生活中去“尋找”數(shù)學(xué)，去“用”數(shù)學(xué)。你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)離我們是那么近，數(shù)學(xué)不僅有趣而且有用。

三、感悟與反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)活動(dòng)”。本課例我以學(xué)生為中心，以問(wèn)題為載體，體會(huì)數(shù)學(xué)概念如何從背景到數(shù)學(xué)化的全過(guò)程，從而水到渠成的構(gòu)建了平均變化率這個(gè)數(shù)學(xué)概念。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生處理信息能力和將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。在教學(xué)中注重知識(shí)的形成過(guò)程，提供觀察、探索、交流的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，滲透特殊到一般、類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生學(xué)到知識(shí)的同時(shí)又學(xué)會(huì)方法。在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。