數學課堂教學“三模式”

曹洪輝

（績溪縣教研室，安徽績溪245300）

喬伊斯和韋爾在其所著的《教學模式》中指出：“教學模式是構成課程和作業、選擇教材、提示教師活動的一種范式或計劃?！盵1]一些教學論專家認為：教學模式是在一定教學思想或教學理論指導下建立起來的較為穩定的教學活動結構框架和活動程序。作為結構框架，突出了教學模式從宏觀上把握教學活動整體及各要素之間內部的關系和功能；作為活動程序則突出了教學模式的有序性和可操作性。由此可見，教學模式的本質意義是“結構框架”（理論）與“活動程序”（實踐）在更高層次上的統一，是指導教師進行教學活動設計和組織實施的“范式”（簡化結構）。研究與開發新的教學模式是豐富和發展教學理論的重要舉措，也更利于將教學理論應用于教學實踐，因此，認真總結和靈活運用成功的教學模式對于切實提高教育教學質量具有普遍的價值意義。

眾所周知，數學課堂教學改革的深入更需要有高質量的教學模式的指導。新課程改革以來，筆者先后主持了《小學數學創新教育實踐》《小學數學有效教學研究》《小學數學“變易”教學策略研究》等三個省級課題的研究（分別獲省教科研成果一、二等獎），圍繞小學數學教學改革的方向和策略，從理論認識到實際行動，又從經驗提升到跟進反思，研究問題指向逐步往教學原則、教學模式等深層次領域邁進。在各階段的實踐中，我們始終堅持課程改革理念，站在兒童的立場上，立足于教學質量的切實提高，對數學課程標準下的教材編寫意圖、兒童學習數學的本質和課堂教學的本質等教學原則、教學策略問題做了努力探討，同時也對數學各內容領域的教學模式著力進行了研究。為進一步使之系統化、結構化、程序化，更好地發揮教學模式在實踐中的指導作用，我們依據數學課程理念、內容編排、知識系統和問題解決，嘗試建構了符合學科特色、滿足學生需要的以“重視情境，加強聯系，突出本質，注重活動，體現思想，關注應用”為特征的小學數學教學模式，這些模式按照數學內容的性質特點和教學的課型類別可分為“根基課”模式、“生長課”模式、“培育課”模式（即基礎環節、重點環節和關鍵環節三類課模式），現分別加以概述。

一、“根基課”模式

假如數學是一顆兒童健康成長所必需的知識“種子”，那么我們就有責任讓這顆種子生長、開花、結果；假如數學是一棵知識叢林中的“大樹”，那么數學的概念意義、公式法則、規律原理等知識內容就是成就這棵大樹的“根基”。兒童的成長是一個知識不斷發生、發展與應用的過程；兒童能否得以主動健康的發展取決于扎根在知識土壤中的“根系”和成長過程中的環境狀況。我們不難懂得，數學這顆重要的知識“種子”所生發的知識“根系”集中盤錯在“數與代數”和“幾何與圖形”兩大內容領域。綜合我們的探索研究和實踐經驗，小學數學課堂教學的“根系課”模式一般分為兩種類型。

1.數的認識課教學模式

在小學，數的認識領域包括自然數、整數、小數、分數、百分數和負數。自然數的認識是小學生學習數學的開始，兒童入學前在幼兒園里都已經接觸并認識了十以內的自然數，有的甚至記憶了百以內的自然數，但是否真正理解了，很難說。兒童的認識是從可感知的、具體的事物開始的，并借助其動作思維加深的。因此，兒童對數的認識必須以形象直觀的圖示或具體的事物作支撐，由此才能抽象出“數”的概念或意義。從兒童學習數學的本義出發，我們認為，這類課的教學模式可概括為“情境引入——豐富認識——抽象概括——應用反思”。由于自然數或整數及小數與現實生活密切相關且隨處可見，教學很容易找到生活的原型；數位及位值等概念通過計數器或算盤也比較容易幫助學生理解。而“分數”的概念對于小學生來說比較抽象，如何幫助學生有效認識“分數”？現以人教版三年級上冊“分數的初步認識”課例加以簡述。

情境引入：創設游戲情境，由思考問題導入。（教師提問，學生用擊掌次數作答）

師：把8塊餅干平均分給2個小朋友，每個小朋友分得幾塊？

把4塊餅干平均分給2個小朋友，每個小朋友分得幾塊？

把2塊餅干平均分給2個小朋友，每個小朋友分得幾塊？

把1塊餅干平均分給2個小朋友，每個小朋友分得幾塊？

當學生不能“拍”出最后一題的答案時，教師詢問：掌聲哪里去了？這個答案不能用整數來表示，能不能用一個新的數來表示它呢？

豐富認識：一塊餅干的一半也就是說半塊餅干用一個什么樣的數表示？生活中有許多答案不能用整數來表示，比如，一個蘋果的一半，一塊蛋糕均分中的3份，一張白紙均分中的4份，等等，像這些不能用整數來表示的答案，我們的祖先就創造了一個新的數來表示它，這就是“分數”。想一想，一個物體的“一半”怎么表示？剛才你們擊掌的得數怎么來的？（8÷2=4 4÷2=2 2÷2=1 1÷2=？）一半就是2份中的1份也就是二分之一，這就是說1÷2=1/2。哪些現實問題還可以用1/2表示？（讓學生充分說，教師注意糾正并引導學生反思）誰能用身邊的實物創造一個1/2？（引導學生動手操作：折正方形或長方形的紙，也可拿其他物品折疊，如繩子）你們能不能畫出“1/2”（其中的一半用顏色表示）？自己喜歡怎么畫就怎么畫。（反饋交流，重點指導“誰是誰的1/2”）根據剛才的活動，相信大家一定能夠知道并創造出“1/3、1/4、1/5……”的分數，請大家在自己的小組里“做一做”并與同伴交流所做的結果。

抽象概括：引導學生通過剛才的觀察、操作、思考、交流等經歷的活動歸納概括出：像我們剛才認識的1/2、1/3、1/4、1/8……這樣的數都叫作分數。把一個整體平均分成幾份，其中的一份就是這個整體的幾分之一。

應用反思：讀、寫、做、評。（略）

2.形的認識課教學模式

學習論認為，小學生對于幾何圖形的認識或空間觀念的建立主要以“形成”方式為主，其概念獲得是“搜尋和列舉能夠從不同種類的事物中區分出示例的特征”，“概念的獲得則要求學生找出已經存在于另一個人思想中的類別的特征，而這是通過把包含有概念特征的示例和不包含這類特征的示例進行比較而形成的。為了創設這樣的課程，我們腦海中必須先有清晰的類別。”[2]因此，學生對概念的認識或建立過程可概括為：識別若干個相關事物→抽象出若干個事物的共同屬性→概括并形成概念→把新概念的共同關鍵屬性推廣到同類事物中去進行修正與應用。這就意味著學生經歷了直觀認識→形象概括→本質抽象三個層次的水平發展，因此，教學可按照“情境引入——識別屬性——歸納概括——練習反思”的教學模式組織實施。現以“平行四邊形的認識”教學為例予以說明。

情境引入：出示一組圖形？（參見圖1）。

問：仔細觀察一下，圖中有哪幾種圖形？再思考一下，它們可以分成幾類？（學生自由回答）如果要將這些圖形分成兩類，是哪兩類？

識別屬性：三角形我們已經學過，我們來看看這些四邊形它們有什么相同？又有什么不相同的地方？各小組交流一下，準備匯報，比一比，看哪個小組回答得最棒！結合小組反饋教師板書：

圖1

四邊形

共同屬性——四條邊，四個角。

不同屬性——對邊長度有的不等有的相等，對邊有的平行有的不平行，對角有的不相等有的相等。

哪幾個圖形是對邊相等而且平行的？共有多少個？判斷討論得出四個（即號碼為①③⑤⑥的）。我們再來研究一下，這些平行四邊形還有什么屬性。大家先猜猜看，是什么屬性？（引導學生操作自制的平行四邊形框架）體驗得知：平行四邊形容易變形。

歸納概括：平行四邊形有什么本質屬性？結合回答，教師板書：

平行四邊形——

平行四邊形對邊平行且相等；容易變形。

如果用幾個詞來概述平行四邊形的本質特點，用哪幾個詞？（平行、相等、變形）

練習反思：1.分析判斷：（1）平行四邊形可能有直角。（2）長方形、正方形都是平行四邊形。（3）如何判斷一個四邊形是不是平行四邊形。2.思考探究：如果畫出一個平行四邊形的兩條對角線，那么這兩條對角線互相平分。為什么？（加以必要的評價）

總之，概念課教學，入境入情是開篇，豐富認知是要領，抽象概括是關鍵，應用（練習）反思是根本。

二、“生長課”模式

“生長課”教學指的是那些數學知識開始“一節一節生長”的教學課，比如加減乘除運算從一步到兩步再到多步混合運算（包含其中的問題解決）；數的認識從自然數到分數、小數、百分數，又從具體數到抽象數（代數）；“分”的意義從任意分到平均分再到按比例分；幾何圖形的認識按照“立體——平面——立體”的現實認知規律以“形狀、位置、大小”的特征、由簡單圖形到多邊圖形或組合圖形遞進等，所有的每一個生長點都是“根基課”教學的繼續和發展，也是知識的聯系、發展和具體應用，更是學生形成知識結構、發展數學思維的重要過程，那么作為“生長課”教學的重要環節，教師的責任就是設法促進兒童學數學的健康成長。對此，我們將這類課的教學模式概括為“鋪墊遷移——構建新知——聯系應用——總結反思”，現以“用字母表示數”課例（人教版五年級上冊）加以說明。

?鋪墊遷移

1.說一說（）里的數是幾？

（1）△＋△＋△=12，△＝（）

（2）○×5＝40，○＝（）

（3）2 4 6 m 10 12，m＝（）

（4）n÷4=15，n=()

2.想一想（）里的數是多少？

（1）1 2 3 4（）（）……（）

（2）1 3 5 7（）11（）……（）

啟發：當一個數不能用具體的數來表示時，有沒有新的辦法來解決？

?建構新知

1.問題指引：上面的m和n我們稱它們為什么？（字母）各代表多少？既然字母可以用來表示一個確定的數，那么，兩個數列中的最后一個數能不能用字母或含有字母的式子來表示？如果可以，這個數怎樣表示？假如用n來表示數列（1）中的最后一個數，誰知道它的前一個數是多少，怎么表示？數列（2）中的最后一個數怎么表示？它的前一個數又是多少，怎么表示？

交流討論后得出：數列(1)最后一個數的前一個數為“n-1”；數列(2)的最后一個數是“2n-1”，它之前的一個數為“2n-3”。

“n-1”、“2n-1”和“2n-3”看上去是一個式子，對嗎？但在這樣的情境中它又表示某一個數，是不是？這個數確定嗎？

2.思考創造：假如有一個自然數為n，那么它相鄰的兩個數分別是幾？若小明有a張賀年卡，小亮有b張賀年卡，誰多誰少？多幾張？少幾張？還可能怎樣？請用式子表示出來。

3.概括小結：從剛才的思考中，我們知道了什么？字母可以表示一個確定的數和不確定的數，還可以表示一個式子以及它們之間大小的關系。

4.推廣應用：用字母表示運算定律或公式。（略）?聯系應用

1.一個儲蓄罐有ɑ元，小明拿走了8元，還剩（）元。

2.一個儲蓄罐有ɑ元，平均分給4人，每人分得（）元。

3.一個儲蓄罐有ɑ元，5個這樣的儲蓄罐共有（）元。

4.說說3x可能表示什么意思？結合生活實際說說3x還可以表示什么含義？

（屏幕中只出現一個3x，圖略）

?總結反思（略）

“用字母表示數”是學生認識數領域里的一個生長點，更是學生數學認識上的一次飛躍，通過恰當的鋪墊遷移，滿足了學生“用字母表示數”的認識渴望；通過層次性的問題啟發，讓學生在觀察、猜測、思考和交流等活動中懂得字母可以表示一個確定的或不確定的數，也可表示一個式子；在聯系應用中，明確同一事件中，不同的字母可以表示不同的數，在用不同的字母表示不同的數時，他們存在大小、相等及倍比的關系。由此，學會在具體情境中用字母表示數或式子。

三、“培育課”模式

有經驗的人都懂得，莊稼的長成長熟離不開主人對各時段的觀察、思考與預測，并結合診斷采取除草、追肥、救治等相應的手段和策略進行培育。兒童的數學學習似乎也一樣，他們在學數學和用數學的現實發展中，總會遭遇諸多的問題和問題解決，需要教師給予必要的指導和幫助，這是數學教學的一個顯著的重要特征。這里所指的“培育課”教學就是指那些章節的、單元的或整冊的整理與復習課教學（含練習課），也包括教材中所設置的“數學廣角”及“綜合與實踐”的篇章。這部分內容是學生鞏固知識、查漏補缺、構建結構、加強應用、解決問題的目標所在，同時，更是基于問題與問題解決能力發展的關鍵環節。布魯納認為：“人唯有憑借解決問題或發現問題的能力才能學到真正的發現的方法。這種實踐愈積累，就愈能將自己學到的東西概括為解決問題和探究問題的方式，掌握這種概括的方式，對他解決各種各樣的問題是有效的。”[3]就此，我們將這類課的教學模式分為兩種。

1.整理與復習課教學模式

顧名思義，整理與復習就是理清知識脈絡和要點，溝通和加強數學知識內部之間、數學與現實生活等外部之間的聯系，通過開展針對性、鞏固性練習，讓知識“靈動”起來，讓能力“活動”起來，讓學生的數學“豐滿”起來，它是數學教學的重要形式之一。個人認為，這類課型的教學模式可概括為“整理要點——溝通聯系——分層練習——應用反思”。如六年級期末“平面圖形的周長和面積公式”的整理與復習可采取以下步驟進行。

整理要點：我們學過了哪些平面圖形？請簡單畫出這些圖形。大家一定知道這些圖形的周長和面積的計算，請你們一一在自己所畫圖形的下面寫出相應的計算公式（用字母表示）。

溝通聯系：你們還記得這些圖形的面積計算公式是怎么推導出來的嗎？請你們回憶一下，它們之間有著怎樣的聯系？用自己的辦法寫出來。若記住其中的某一個就可以記住所有已學平面圖形的面積公式，你會選哪個？在學生發表意見后教師課件演繹：梯形圖形的變化過程——拉長梯形的上底或縮小梯形的上底，依次將梯形變成了平行四邊形、長方形或正方形、三角形。（如圖2）

圖2

分層練習：基礎練習——綜合練習——提高練習。（點撥指導與評價略）

應用反思：針對解決問題提出自己的思考。（自我反思與評價略）

2.綜合與實踐課教學模式

2011年版《課標》對于“綜合與實踐”內容的描述是：一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。其設置的目的“在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累活動經驗，提高學生解決實際問題的能力?！盵4]由此可見，“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以指導學生自主參與為主的學習活動。在“綜合與實踐”活動課的課堂教學中，問題是核心，自主是關鍵，幫助學生建立解決問題的“模型”是根本。這類課的教學模式可概括為“提出問題——引導探究——建立模型——反思實踐”?，F以人教版六年級數學下冊《有趣的平衡》為例對這類課教學作一概述及解讀。

提出問題：引入情境圖示，圖中甲乙兩學生在竹竿兩邊的塑料袋中分別放入數量不同的硬幣，并在竹竿上移動位置以保持竹竿的平衡。

（按教材編寫意圖，這四個文本問題，其實是一個核心問題：怎樣才能保證平衡？教學中，如以主題圖提供的問題為載體，我們可以將“怎樣才能保證平衡？”變易為“怎樣才能恢復平衡？”）

……

（師出示課件。見圖3）

圖3

師：平衡與左右兩邊的刻度數、硬幣數到底有著怎樣的關系呢？我們就從這次不平衡開始深入研究。

板書：左刻度數3硬幣數4；右刻度數4硬幣數4；狀態不平衡（與學生交流，確定不平衡用符號“”表示）。

師：有什么方法能讓它恢復平衡呢？

把你的想法與小組同學說一說，看誰的方法最便捷！誰想到的方法最多！

引導探究：這個過程可概括為：引導猜測，組織實驗，驗證猜想，孕育發現。（師將板書整理，用課件出示表1）

建立模型：觀察表格后，教師提問：你們有什么重大發現？能否將這個平衡的原理用一個數學的式子來概括？學生思考交流總結。

反思實踐：出示一道現實生活中的問題（在菜市場中，若用桿秤稱重，如何移動秤砣？向左或向右移，會產生稱重怎樣的偏差？），由學生嘗試解決。

……

教學過程解讀：顯然這里的提出問題并不是簡單、隨意的課堂提問，而是基于課標把握、文本研讀而精心設計的核心價值問題，它既是數學教學的出發點，也是課堂教學活動的中心，更是全課的主題或目標所向。教材中的“綜合與實踐”活動課，一般都明確提出了中心問題，具有普遍的指導性，在教學實踐中，還可根據實際需要，創新文本問題，以挑戰學生對中心問題的探究。上述的問題變易雖兩字之差，效果卻完全不同，對于課堂來說，更具開放性，對于學生來說，更具挑戰性。引導探究重在圍繞問題與問題解決，運用適當的探究方式（自主探究、合作探究等），幫助學生在探究活動中經歷“猜想——驗證——建模”的問題解決過程，獲得數學化與再創造的一般方法。教育心理學家林格倫曾指出：“人有一種使自己成為有能力和有效力的持續的內驅力；能力和效力主要是學習的結果；能力發展有賴于學習，而這種學習是被環境中所察覺到的變化激起的。”[5]這就告訴我們，在適當的學習環境變化里，學生是有能力有信心探究的。在提出“怎樣才能恢復平衡？”的問題后，學生思維被激活，憑經驗、直覺提出了恢復平衡的方法，這就是猜想。猜想需要驗證，驗證的過程，應是學生在教師啟發下的自主探究或合作探究的過程；驗證的過程就是學生操作體驗、討論交流的過程，也是學生反思與改進的過程。建立模型既是重要的數學特征，又是重要的思想方法?！安孪搿炞C——再猜想——再驗證”的探究過程，是模型建立的必由之路，在學生經歷了上述探究過程、獲得了活動經驗之后，學生思考交流后建立了“左邊刻度數×硬幣數=右邊刻度數×硬幣數”的數學模型。反思實踐存在于問題的解決過程，是數學思維活動的重要表現。為幫助學生對解決問題的過程進行反思總結，一條重要的途徑就是讓學生在新的情境中解決實際問題。這樣讓學生在總結出杠桿平衡規律后，圍繞現實的生活場景，運用建立的“模型”解決具體的問題，由此感受到杠桿的平衡原理在實際生活中的應用價值，并在認識生活智慧中增強學習數學的創新意識和實踐能力。

以上三類課的數學課堂教學模式是我們的研究總結，不能涵蓋數學課堂教學的所有模式，需要廣大數學教育工作者認真研究并充實完善。教育學博士肖川說：“教學藝術是教師教學主體性和創造性的最好確證，沒有對教學模式的創造性運用，教師的上課就容易成為‘教教材’‘教教案’，而不是‘教學生’，教學就難以避免封閉性、機械性、刻板與程式化，就難以避免教師唱獨角戲和以教師為中心，就不可能顧及學生獨特的生命表現和學生提出的非常個性化的問題；學生在課堂上豐富的精神生活、自主交往和個性展示就受到很大的局限?！盵6]

表1

現代教學模式論認為，教學就是環境的創造，一種教學模式就是一種教學環境；教學模式包含了“理論依據、教學目標、操作程序、實現條件和教學評價”五個因素，這五個因素所構成的環境有其不變與可變的可能。因此，“教學模式對于一般教師來說，具有‘行為指南’的作用，但任何事物往往都具有兩面性，優點和缺點總是對立存在的，教學模式也不例外。我們知道，教學所依存的條件是課堂的生成和變化，盡管任何教學模式都具有明確的應用目的或中心領域，而且有具體的應用條件和范圍，有一定的針對性，但‘模式’只能是‘模式’，它需要多種教學策略的輔助，需要靠教師的教學策略和藝術來克服其局限。”[7]▲

[1][2]喬伊斯等.教學模式[M].荊建華，等，譯.北京：中國輕工業出版社，2002：15，173-174.

[3][5][6]肖川.教育的理想與信念[M].湖南：岳麓書院出版社，2002：131，132，145.

[4]教育部.義務教育數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2012：4-5.

[7]曹洪輝，汪東興.新課程下的小學數學創新教育實踐[M].北京：中央民族大學出版社，2005：128.