有限期和無限期條件下設備再更新的經濟分析

汪翔　吳國東　孟衛東

摘要：文章在傳統最低總成本法的基礎上，研究了項目壽命有限期和無限期條件下舊設備繼續利用和新設備再更新的最佳綜合方案，通過一個具體的算例表明，相對于傳統的最低總成本法，新方案的總成本得到了進一步的降低，具有一定的實際應用價值。

關鍵詞：設備再更新；最低總成本法；有限期；無限期

設備在長期使用過程中其結構、零部件必然要發生不同程度的磨損腐蝕、變形甚至斷裂等損傷，產生有形磨損；又由于科學技術的不斷進步會出現結構更合理、技術更先進、性能更完善的設備使原有設備價值降低，產生無形磨損。在有形磨損和無形磨損的綜合作用下設備生產效率降低，因此為了提高經濟效益和生產效率對設備進行更新和技術改造是很有必要的。但并不是在任何條件下更新設備都是有利的，應根據設備使用中的成本節約的原則來確定是否更新及更新的時機。

目前，關于設備更新的研究，多從設備的經濟壽命期入手[1]～[3]，經濟壽命指設備平均年使用成本（或稱平均年運行費用）最低的使用年數。經濟壽命既考慮了有形磨損，又考慮了無形磨損，它是確定設備最優更新周期的依據。在文獻[4]中作者排除了舊設備的沉沒成本對年均費用的影響，采用了滾動比較法，確定設備更新的最佳時機。在文獻[5]～[7]中給出了設備更新維修的5種方案，即：（1）舊設備原封不動，繼續使用；（2）舊設備定期大修；（3）舊設備改造；（4）同類新裝備更新；（5）先進新設備更新，并通過實例采用最低總成本法，分別計算各方案在給定項目壽命期的總成本（現值），然后根據總成本最低標準遴選出最佳方案。文獻[5]～[7]的結論看起來似乎是合理的，但是存在兩個方面的原因使得這種傳統方法所選擇的方案并不是總成本最低的最佳方案。一是沒有考慮新設備的再更新問題。所謂再更新，指的是用新設備對舊設備更新一次后，所使用的新設備超過其經濟壽命時所需的再次更新。而超過經濟壽命期繼續使用設備很有可能是不經濟的。二是沒有考慮在給定的項目壽命期內，先繼續使用舊設備一段時間后，再進行新設備更新的綜合方案。因為與新設備相比，舊設備在較短的時間內具有一定的成本優勢，因此新設備更新前繼續使用舊設備一段時間具有一定的經濟性。為了說明問題，我們給出一個算例來分析，首先用傳統最低總成本法（不考慮新設備再更新）確定最優方案，其次考慮新設備再更新的最優方案，然后研究新舊設備共同利用的的最佳綜合方案，并對三種方法選擇的最佳方案和總成本進行對比以說明傳統方法的不足。作為進一步拓展，本文還將分析項目壽命期無限條件下的最佳綜合方案。最后是本文的結語。

一、 傳統最低總成本法（不考慮設備再更新）

該方法計算各方案在給定項目壽命期的總成本（現值），然后以總成本最低的方案作為最佳方案。下面我們給出一個算例來分析。由于本文討論舊設備繼續利用和新設備的再更新問題，所以我們把無關的方案略去，只考慮以下三個方案，即：（1）舊設備原封不動，繼續使用；（2）同類新設備更新；（3）先進新設備更新。三個方案的相關數據見表1。

根據最低總成本法，三種方案的總成本（現值）計算公式如下：

三個方案的總成本（現值）見圖1。

根據圖1，選擇的最優方案如下：

（1）如果項目壽命期1年～4年，繼續使用舊設備的總成本最低，因此繼續使用舊設備。

（2）如果項目壽命期5年，同類新設備更新的總成本最低，因此采用同類新設備更新。

（3）如果項目壽命期為6年～9年，先進新設備的總成本最低，因此采用先進新設備更新。

二、 新設備再更新的經濟性分析

傳統的最低總成本法沒有考慮更新后的新設備（包括同類新設備和先進新設備）使用一段時間，達到其經濟壽命期后的再更新問題，因此根據傳統的最低總成本法選擇的方案并不一定就是最優方案，還存在進一步降低成本的可能。由于設備的經濟壽命出現在設備年均成本最低時，因此必須要計算各方案下設備的年均成本，以確定設備的經濟壽命，從而判斷設備是否需要進行再更新。新設備的年均成本計算公式如下：

AC=TC·（A/P，i0，T）

同類新設備和先進新設備的年平均成本見圖2。

通過圖2可知，同類新設備在第5年的年均成本最低，先進新設備的在第7年的年均成本最低，因此同類新設備的經濟壽命是5年，先進新設備的經濟壽命是7年。這意味著如果項目壽命期是9年，那么讓經濟壽命為5年和7年的新設備連續使用9年從經濟上講很有可能是不合理的。因此項目壽命期一旦超過設備的經濟壽命期，就需要判斷是否需要對新設備進行再更新的問題。判斷依據如下：

給定項目壽命期為T年，設備經濟壽命期為T*：

（1）當T T*時，不需要再更新；

（2）當T>T*時，如果存在一種再更新方案：新設備連續使用t年，然后在第t年末進行新設備的再更新，即t年使用新設備，（T-t）年使用再更新的新設備，其總成本比連續T年使用新設備的總成本更低，那么需要對新設備進行再更新。否則無需再更新。如果該再更新方案比其他所有的再更新方案的成本更低，那么t為最佳更新期。

再更新的總成本（現值）TCt，T=TCt+TCT-t·（P/F，i0，t）。新設備再更新的最佳綜合方案是選擇t∈{0，1，…，T}，使 TCt，T取得最小值。

我們先考慮同類新設備更新，由于同類新設備的經濟壽命為5年，當項目壽命期T？燮5時，同類新設備不用再更新。

當T=6時，通過計算可知，同類新設備連續使用6年總成本最低，因此不用再更新；

當T=7時，也不用再更新；

當T=8時，最佳更新期為第4年末，總成本為149.371 8；

當T=9時，最佳更新期為第5年末，總成本為158.296。

我們再考慮先進新設備更新，由于先進新設備的經濟壽命期為7年，所以當T？燮7時，不用再更新；當T=8和9時，通過計算表明，不用再更新。

考慮新設備再更新方案后，三個方案的總成本如圖3。

考慮新設備的再更新問題后，選擇的最優方案如下：

（1）如果項目壽命期1年～4年，舊設備留用的總成本最低，因此繼續使用舊設備；

（2）如果項目壽命期5年，同類新設備更新的總成本最低，因此采用同類新設備更新；

（3）如果項目壽命期在6年～8年，先進新設備更新的總成本最低，因此采用先進新設備更新；

（4）如果項目壽命期在9年，同類新設備更新的總成本最低，因此采用同類新設備更新。但不是連續使用同類新設備9年，而是使用同類新設備5年后進行再更新。

三、 新舊設備共同利用的最佳綜合方案

第2種方法通過考慮設備再更新的情形，可以降低項目的成本，得到比傳統最低總成本法更優的決策，但是依然不是最優的決策。因為前面兩種方法都是在舊設備繼續使用，同類新設備更新和先進新設備更新之間選擇一個最優方案，這意味著把舊設備使用和新設備更新對立起來了。而實際上舊設備繼續使用與新設備更新并不是互斥的。現實中的企業在舊設備使用一段時間后，會考慮采用新設備更新，而不會一直用舊設備。而企業采用新設備之前，也會考慮舊設備的繼續利用問題。由于在項目的壽命期內，舊設備在較短的年限內具有成本優勢，企業往往會考慮繼續使用舊設備一定年限后才采用新設備。假定在給定項目壽命期T，企業決定繼續使用舊設備t年，剩下（T-t）年采用同類新設備或者采用先進新設備，其總成本為TCt，T，那么有：

TCt，T=TCt+TCT-t*·（P/F，i0，t）

TCT-t，*表示在（T-t）年采用同類新設備和先進新設備的最低總成本（如果T-t>T*，同樣需要考慮新設備的再更新問題）。新舊設備共同利用的最佳綜合方案是選擇t∈{0，1，…，T}，使TCt，T取得最小值。

通過計算表明當T？燮4時，最優方案為繼續使用舊設備。當T=5，最優方案是使用舊設備1年，使用同類新設備4年，總成本為93.603 47萬元。當T=6時，最優方案是使用舊設備2年，使用同類新設備4年，總成本為104.845 5萬元；當T=7時，最優方案是使用舊設備2年，使用同類新設備5年，總成本為116.515 3萬元。當T=8時，最優方案是使用舊設備1年，使用先進新設備7年，總成本為127.322 3萬元。當T=9時，最優方案是使用舊設備2年，使用先進新設備7年，總成本為136.066 6萬元。通過對比發現，最佳綜合方案進一步降低了項目的總成本。

圖4給出三種方法的總成本。可以看出在三個方法中，基于新舊設備綜合利用的最佳方案既考慮了舊設備的繼續利用，又考慮新設備再更新，因此其總成本最低；與傳統的最低總成本法相比，最佳綜合方案也實現了更大的成本節約。

四、 項目壽命期無限條件下的最佳綜合方案

前面我們考慮的是項目壽命期有限條件下的最佳綜合方案。當企業持續經營，項目并不存在明確的終止期限時，可以視為項目壽命期無限的情形。項目壽命期無限條件下，新設備的再更新比較簡單，只要按照設備的經濟壽命期進行更新即可。例如前面例子中，同類新設備每隔5年再更新，年均成本最低；而先進新設備每隔7年再更新，年均成本最低。至于在采用新設備之前，是否繼續使用舊設備問題，可以將舊設備當年的運行成本與新設備經濟壽命期的年均成本進行比較。如果舊設備當年的運行成本低于新設備經濟壽命期的年均成本，則繼續使用舊設備；而舊設備當年的運行成本一旦開始高于新設備經濟壽命期的年均成本時，則應該用新設備更新舊設備。例如前面例子中，舊設備第2年的運行成本為20萬元，低于同類新設備經濟壽命期的年均成本（24.971 36萬元）和先進新設備經濟壽命期的年均成本（23.530 42萬元）；舊設備第三年的運行成本為25萬元，開始高于同類新設備和先進新設備經濟壽命期的年均成本，因此不論是采用同類新設備還是先進新設備，舊設備都只繼續使用2年，第3年初用新設備進行更新。由于同類新設備經濟壽命期的年均成本高于先進新設備經濟壽命期的年均成本，因此項目壽命期無限情形下的最佳綜合方案是舊設備使用2年，第3年初采用先進新設備更新，然后每隔7年用先進新設備進行再更新。

五、 結語

設備更新過程中，由于舊設備在較短的時間內具有一定的成本優勢，因此采用新設備更新前需考慮舊設備的繼續利用問題；而更新后的新設備使用期限超過其經濟壽命期時，需考慮新設備的再更新問題。本文在傳統最低總成本法的基礎上，研究了項目壽命有限期和無限期條件下舊設備繼續利用和新設備再更新的最佳綜合方案，通過一個具體的例子表明，新方案具有更強的經濟性。

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作者簡介：孟衛東（1964-），男，漢族，重慶市人，重慶大學副校長，經濟與工商管理學院教授、博士生導師，研究方向為機制設計理論、戰略管理；汪翔（1977-），女，漢族，貴州省遵義市人，重慶師范大學經濟與管理學院講師，重慶大學經濟與工商管理學院博士生，研究方向為博弈論與機制設計理論；吳國東（1973-），男，漢族，四川省仁壽縣人，重慶師范大學經濟與管理學院副教授，重慶大學管理學博士，研究方向為博弈論與機制設計理論。

收稿日期：2015-04-12。