高中數學中導數的工具作用及大眾數學

鄧文敏

導數及其應用是新課程中增加的一個重要內容，是高考中的一個熱點。導數在研究函數的變化率，解決函數的單調性、極值和最值等方面有很大的作用，這種作用不僅體現在解決函數問題提供了有效的途徑，還在于使學生掌握一種科學的語言和工具，能夠加深對函數的深刻理解和直觀認識。

既然是工具，一是具有針對性（針對某些問題），二是通常有較為固定的使用方法（相似的模式和步驟），三是對工具越熟悉，運用就越得心應手。下面我就幾道例題談一談自己的一點體會，以期拋磚引玉。

例1：已知拋物線c1：y=x2+2x和c2：y=-x2+a，如果直線L同時是c1和c2的切線，稱L是c1和c2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。

（1）a取什么值時，c1和c2有且僅有一條公切線？寫出公切線方程;

（2）若c1和c2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。

分析：這是一道與曲線的切線相關的問題，與曲線的切線相關常常需要考慮切點與斜率，這樣就與導數聯系起來了。

解：設L與c1的切點是（x1，x21+2x1），L與c2的切點是（x2，-x22+a），則利用導數分別求出c1和c2的切線方程：y=（2x1+2）-x21，y=-2x2x+x22+a。

∵L是c1和c2的公切線，

∴ 2x1+2=-2x2

-x21=x22+a

∴ x1+x2=-1

x21+x22=-a

若只有一條公切線，則x1=x2=-，進而a=-，L：y=x-。

若有兩條公切線，則由x1+x2=-1， 推出y1+y2=a-1，所以公切線段的中點（-）與k、b無關，所以公切線段互相平分。

例2：已知f（x）=ax3+bx2+cx+d在區間[-1，0]，[4，5]上有相同的單調性，

在區間[-1，0]，[0，2]上有相反的單調性，且f（x）=0有三個實根α，2，β。

（1）求C;

（2）求|α-β|。

分析：這是一道與函數的單調性、極值相關的問題，與單調性、極值相關常常可與導數聯系。

解：①∵f（x）在區間[-1，0]，[0，2]上有相反的單調性。

∴x=0是f（x）的一個極值點，故f′（0）=0，

∴C=0

②依題知：f′（x）=0x=0、x=-2b/3a

∵f（x）在區間 [0，2]、[4，5]上有相反的單調性。

∴2≤-2b/3a≤4，∴-6≤b/a≤-3

設f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）α+β=-b/a-2，α·β=-d/2a

又f（2）=08a+2b +d=0d=-4（b+2a）

∴|α-β|==

∵-6≤b/a≤-3

∴當b/a=-6時，|α-β|=

當b/a=-3時，|α-β|=3

∴3≤|α-β|≤

例3：已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m。

（1）求f（x）在區間[t，t+1]上的最大值h（t）;

（2）是否存在實數m，使得y= f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由。

分析：這是一道與函數的最值、圖像相關的問題，與最值、圖像相關常常可與導數聯系。

解：①f（x）=-x2+8x，令f′（x）=0x=4。

當t+1<4，即t<3時，f（x）在區間[t，t+1]上遞增，h（t）=f（t+1）=-t2+6t+7;

當t≤4≤t+1，即3≤t≤4時，h（t）= f（4）= 16;

當t>4時，f（x）在區間[t，t+1]上遞減，h（t）=f（t）=-t2+8t。

綜上所述：

-t2+6t+7 （t<3）

h（t）= ? 16 （3≤t≤4）

-t2+8t （t>4）

②函數y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個不同交點，即函數φ（x）=g（x）-f（x）的圖像與X軸正半軸有且只有三個不同交點。

令φ（x）=x2-8x+6lnx+m，φ′（x）=2x-8+

（x>0）

當x∈（0，1）時，φ′（x）>0，φ（x）是增函數;

當x∈（1，3）時，φ′（x）<0，φ（x）是減函數;

當x∈（3，+∞）時，φ′（x）>0，φ（x）是增函數;

當x=1或x=3時，φ′（x）=0。

∴φ（x）極大值=φ（1）=m-7

φ（x）極小值=φ（3）=m+6ln3-15

當x無限接近0時，v<0，當x充分大時，φ（x）>0，

∴要使函數φ（x）的圖像與X軸正半軸有且只有三個不同交點，必須且只需

φ（x）極大值=φ（1）=m-7>0

φ（x）極小值=φ（3）=m+6ln3-15<0

即7

∴存在實數m，使得y= f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個不同的交點。

從上面幾道例題中，可以看出：

（一）導數的工具性主要體現在：（1）求曲線的切線斜率，進而求曲線的切線方程;（2）求函數的單調性;（3）求函數的最值和極值;（4）作出函數的簡圖，進而判斷曲線的形狀及相關性質;（5）判斷方程的根的范圍等。

（二）常見方法與格式：求導、解f′（x）=0、判斷單調性或構造函數后再如此進行，是常見的步驟。這樣，有時候能使思維具有一般性，常于“山重水復疑無路”的境地中，欣逢“柳暗花明又一村”。

（三）曾經的數學是聰明人的學問，因為它的抽象、嚴謹、深奧，而披上神密的面紗，帶有魔術色彩，使許多人望而生畏，望而卻步，而現在的教育思想是除了尖端知識由精英學習、補充、發展外，主要的還是將數學作為一種培養和提高人的思維能力，使人聰明，有利于生活的大眾數學，因此，數學教學中題型、方法的歸納顯得尤其重要。