幾何畫板與高中圓錐曲線教學的整合

吳啟霞

【摘要】幾何畫板是一個“個性化” 面向學科的工具平臺，它在創設“問題情景”，反映圖形運動變化，探究數學規律、提高學生的學習興趣、促進課堂的教學效果等諸方面都有著獨到的作用，它提供了一個十分理想的讓學生積極探索問題的“數學實驗”的環境，幫助學生從實際操作中把握數學學科的內在實質，培養學生的觀察能力和問題解決能力.本文就運用幾何畫板更新高中圓錐曲線教學內容的呈現方式、促進教學內容的最優化、開展數學實驗等方面進行了一些探討.

【關鍵詞】圓錐曲線；課堂教學；過程優化

在《圓錐曲線方程》的這一章教學中，曲線的圖像、性質都比較抽象，只憑學生想象力是很難理解和掌握這些曲線與方程、圖像和性質之間的相互關系.如何讓學生根據曲線的定義動手，親自制作出較為精確的曲線，從而使學生在制作圖的過程中，領悟、理解進而真正的建立起完整的圓錐曲線概念，進而理解如雙曲線的漸近線、圓錐曲線與開口方向的關系、直線與圓錐曲線位置關系等？ 筆者嘗試使用幾何畫板進行整合教學，利用幾何畫板精確的畫圖功能、動畫功能，就更新圓錐曲線教學內容的呈現方式、促進圓錐曲線教學的最優化、開展數學實驗等方面進行了一些探討，以引起學生的學習興趣，幫助學生理解、掌握，提高數學教學的有效性.

一、優化圓錐曲線的幾何性質教學過程

1.幾何畫板在講解圓錐曲線定義中的應用

幾何畫板中的作圖工具里，可以作出定點、定直線、動點、動直線，可以度量出兩定點之間的距離、點到直線的距離及其這些距離的和、差功能，對于橢圓上的點到兩定點的距離的和是一個常數它也能夠用直觀的數量關系表示出來.比如在講橢圓定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點得軌跡”著手，如圖（1），令線段AB的長為“定值”，點M為線段AB上一點，分別以F1、F2為圓心，AM、BM的長為半徑作圓，先讓學生猜測這兩圓的交點的軌跡會是什么圖形，等學生各抒己見之后，老師進行演示，學生豁然開朗：“原來是一個橢圓”.這時老師繼續拖動點A，試圖改變線段AB的長度，學生開始認真的思索，當AB=F1F2時，滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，最后比較容易發現當AB

2.通過圓錐曲線第二定義探究曲線的離心率與開口大小之間的關系

運用幾何畫板作出如圖（2）圓錐曲線的圖像，拖動點E，則離心率e的值隨之變化，此時圖形也相應變化，當01時，圖形改變為雙曲線，若e越大，雙曲線的開口越大.

3.幫助學生理解雙曲線的漸近線

新課標人教版圓錐曲線章節對雙曲線的漸近線沒有給出嚴格的定義，在黑板上也只能畫出粗略的簡圖表示，學生較難想象更理解不了，在此借助幾何畫板就可以把雙曲線與漸近線之間的特殊關系準確地顯示出來，如圖（3）所示，拖動點F1或F2雙曲線開口會變大或變小，在第一象限內，點P、點Q分別在雙曲線與漸近線上，拖動點P，使得點P和點Q同時向右平移，PQ的值越來越接近0，這說明，在第一象限內，雙曲線向右上方越來越接近相應的漸近線，但是永遠不會相交.同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示.考察過程中靈活的運用幾何畫板的強大的動畫功能，使圖形動起來，且自然流暢，對想象能力相對差點的學生幫助很大.

4.探究拋物線的開口大小與p之間的關系

橢圓的圓、扁程度和雙曲線的開口大小與其離心率e有著密切的關系，然而拋物線的離心率是不變的.那么拋物線的開口大小跟什么有關呢？通過幾何畫板的演示、探究，如圖（4）以y2=2px（p>0）為例，學生會發現，拋物線的開口隨著p的變大而擴大，且拋物線的焦點F也逐漸的向右平移，通徑AB的長也隨著變長，再通過幾何畫板強大的計算功能顯示，焦點F的坐標與通徑長與p的代數關系，從而使學生比較容易理解拋物線的這一性質.

二、幾何畫板與圓錐曲線整合教學的效果分析

1.創設情境，改善認知環境

創設情境是數學教學的前提條件，建構主義教學理論也是強調學習情境的創設，它可以為學生創設思維情境.用幾何畫板創設問題情景，可以改善學生的認知環境，促進學生對所學內容的建構.幾何畫板可以為圓錐曲線學習創設與學習目標直觀形象的數學情景.如：在學習橢圓第二定義時，學生會感到很困惑，如果直接用教材中的方式來定義，學生會更加摸不著頭腦，他們在學習中會提出如此的問題：第一定義和第二定義是否有本質聯系？為什么要用這種方式對橢圓下第二個定義？如此的問題，如果在傳統的方式下授課，換來的只有學生的盲目附和，無法將學生的疑惑解除.為此筆者借助幾何畫板另辟蹊徑，通過適當的數學實驗，改善認知環境進行整合教學，使學生煙消云散、茅塞頓開，進而大大地增加了學生學習數學的自信心.

2.動態展示教學的內容，使靜態圖形動起來、抽象的內容形象化

幾何畫板的動態功能將圓錐曲線的圖形動起來，通過平移、縮放、旋轉及其翻折等多視角、多方位呈現圓錐曲線的圖形，通過數形結合研究對動態的對象進行“追蹤”，并且顯示對象的“軌跡”問題、直線與圓錐曲線之間的位置關系、通過拖動某個點觀察整個圓錐曲線的變化從而研究曲線方程中變量的關系，使抽象的曲線變得具體、形象、生動且易于理解.比如，高三模擬考里的一道題目：討論方程（5-t）x2+（t-1）y2=（t-1）（5-t）表示的是什么曲線？在講評試卷時，如果我們只是把它化成標準形式從理論到理論，靜態的探究，顯然不直觀.但是如果我們利用幾何畫板，把t值“動起來”，可以觀察到當t連續變化時，此方程表示的曲線是如何動態的由“橫橢圓”變“豎橢圓”逐漸變成雙曲線.學生能夠直觀清晰的看到各種情況的演變，比起老師的講評更有說服力，從而開闊了學生的思維.

三、反思

長期以來，圓錐曲線一直被認為是高中數學里一個高度抽象的內容，對于具有對稱美的標準方程和曲線圖像，發現問題、思考問題、解決問題的思維軌跡常常受阻，學生在學習過程中感到抽象而被動，不知如何思考、如何探索？幾何畫板與圓錐曲線的合理整合教學要求堅持發現和探索原則，教師的教學實施能力是整合的必然要求，筆者認為教師在具體運用幾何畫板整合教學中要注意以下幾點：（1）要對教學內容作精心編排，合理設計幾何畫板課件，為學生提供探究的線索和階梯；（2）要注意留給學生充分的思考空間和自由度；（3）幾何畫板整合教學要講究質量和效果，且要有新意，進行數學實驗教學的內容應對傳統課堂教學方法難以達到的或者根本不可能達到的實驗教學效果的內容，而不是為了實驗教學而進行實驗；（4）幾何畫板為學習更深層次的抽象的數學提供可能，但是它還是無法代替具體的數學活動，從教師的角度看，幾何畫板與圓錐曲線的整合教學只是對傳統教學方式的一種有益的補充，它促進了教師教學思想的更新，使 “講授知識”的傳統模式向以“探索知識”為特色的模式轉變，這也正符合現在《新課程標準》所提倡的“三維目標”的和諧統一及其時下提倡的研究性學習對教師的要求.

【參考文獻】

[1]繆亮，朱俊杰，李捷.幾何畫板輔助數學教學[M].北京：清華大學出版社，2004.

[2]姚淑華，李孝誠，幾何畫板在中學數學教學中應用模式的探討[J]，電腦知識與技術，2008，30.

[3]劉華，信息技術與數學課程整合[J]，中學數學月刊，2009，09.