一類開放性立體幾何題的解法

張科元　楊小艷

立體幾何是高考的熱門考題，也是必考題.雖然近幾年難度有所降低，但對于學生來說還是一個難點，特別是開放式的題型，需要先找位置，再加以證明.下面給出其中一類找位置使得線面平行的題的解法，供大家參考.

方法詮釋

例如圖所示，在空間幾何體ADF-BCE中AB//DC//FE，AB⊥面ADF，DF⊥面ABCD，面ADF//面BCE，其中M，G分別是AB，DF的中點.

（1）略；

（2）在線段AD上（含A，D端點）確定一點P，使得GP∥平面FMC，并給出證明.

方法一：觀察法

對于這類在線段上找點的位置的問題，通常可以考

慮線段的中點和端點，特別是在題干部分出現中點這類的

條件時.當題干部分出現三等分點、四等分點或者其他的

等分點時，也應該考慮相應線段的等分點的位置.這種

方法是學生常用的，但對于一些點不在特殊位置的題就不適用了.

例如本題中條件給出了中點，就可以先考慮線段AD的中點，但通過分析，可以發現不滿足條件，最后確定在端點A處.下面給出證明：取DC中點S，連接AS，GS，GA，∵G是DF的中點，∴GS∥FC.

又AS∥CM，AS∩AG=A，∴平面GSA∥平面FMC.而GA平面GSA，∴P點在A點處，∴GP∥平面FMC.

方法二：借助平行平面

我們知道，過平面外一點作該平面的平行線可以作無數條，且這無數條直線共面.那么像這種在已知線段上找點使得線面平行的問題，可以考慮先過定點作出與已知平面平行的面，然后再確定該面與已知線段的交點，即為所求.這種方法應該是普遍適用的.

例如本題中需要在線段AD上（含A，D端點）確定一點P，使得GP∥平面FMC.那么我們可以過定點G作平面與面FMC平行，結合面面平行的判斷定理，取DC中點S，連接AS，GS，GA，易證平面GSA∥平面FMC.即作出了平面GSA，再找平面GSA與已知線段AD的交點，即為A點.

方法三：空間向量法

對于方便建立空間直角坐標系的題型，空間向量法也是解決這類開放性問題的常用方法、通用方法.但如果不容易建系，那么此法就非常困難了；如果沒有學習空間向量，就更不用說了.其基本做法是：先建立空間直角坐標系，找到已知點的坐標，設所求點的坐標，使所求點在指定線段上，然后利用線面平行的條件建立向量關系式，再將關系式坐標化，就可以求出所設變量的值，問題也就得到了解決.其中建立向量關系式又有兩種處理方法：一、求出平面的法向量，讓所求直線上的向量與法向量垂直即可；二、將所求直線上的向量用平面內兩不共線的向量線性表示即可.