例談輔助線在幾何證明題中的靈活運用

楊雪

【摘要】化歸思想是一種重要的數學思想方法，運用化歸的方法去解決一些數學問題往往能夠很好地達到預期的效果.數學中用以實現化歸的方法有很多，這里僅介紹一種——添設輔助線.本文通過作輔助線在兩個幾何證明題中的運用，體現化歸思想在解決數學問題時的妙用.

【關鍵詞】化歸思想；輔助線；問題解決；證明

化歸思想是指將一個新的復雜的疑難問題通過變換、轉換等方式變成一個簡答的已知的易于解決的問題.化歸原則是一種重要的解題原則，也稱為轉化原則.運用化歸思想時，關鍵在于如何將所要解決的問題轉化成已解決或較為容易的問題.下面就兩題初中數學的幾何證明題為例來論述化歸思想的具體運用.

在四邊形 ABCD中，對角線AC與BD交于點P，AC=BD.E，F分別是AD，BC的中點，E，F分別交AC，BD于N，M.試說明∠PMN=∠PNM的理由.

分析波利亞提出的怎樣解題的四個步驟分別是：第一，你必須理解題目；第二，找出未知量與已知量的關系.若找不到直接聯系，也許不得不找輔助題目，最終找到一個解題的方案.第三執行你的方案；第四，檢查已經得到的解答.

對于這一題，按照波利亞的解題的四個步驟來分析解決這題.首先，此題題意很容易看懂，已知條件很容易找到，但所要求的和已知條件沒有顯然的、直接的關系，乍一看不知如何下手.觀察題目所給的圖，我們發現要求證的兩個相等的角是三條沒有特別位置關系的直線構成的，如果證三角形PNM為等腰三角形不好證.這時我們就會想到也許我們把要求證相等的角轉化成與他們分別相等的角，我們只要證轉化后的兩個角相等，那么問題也就解決了.題目的已知條件AC=BD，再看圖，AC和BD是相交的，那么我們就會想到如果能把AC、BD放在一個三角形中，正好構成一個等腰三角形，也就得到兩個相等的角，或許與要求證的角有關系.想到這，我們自然會想到需要做輔助線，那么由點B作BI∥AC，且使BI=AC，連接DI，則可得等腰三角形BDI，這時也會順勢延長EF交BI于H，如圖2.通過進一步分析發現，若要解決問題需要證∠PMN=∠BDI，∠PNM=∠BID，進而需證EH∥DI，然而我們發現是證不出EH∥DI.同時，題目所給的E、F分別是AD、BC的中點這個已知條件還沒用，而且若按照上述做輔助線的方法，也用不到這個條件的，題目既然給這個條件的，必然是有用的.這樣，上述作輔助線的方法被否定.

如何做輔助線來解決問題呢？雖然第一次作的線不正確，但它也給我們啟發：為何不直接作EF的平行線，AC的平行線，設它們交于I點.延長AC交DI于J，這時EN就是三角形ADJ的中位線，AN=NJ，如圖3.作過平行線后，立即可看出四邊形NHIJ是平行四邊形，也就有，角∠PNM=∠I，NJ=HI=AN.由EF∥DI，可得∠PMN=∠BDI到此，只要證∠BDI=∠BID，也就是證BD=BI即可，而BD=AC，所以若能證AC=BI，問題即可被解決.剛才已經知道AP=HI，若NC=BH，就有AC=BI.NC、BH是不是相等關系呢？注意到F為中點，這個條件還沒用.要證明兩條線段相等，可將這兩條線段分別放在兩個三角形中，再證明這兩個三角形相等即可.按照這個思路，我們發現在三角形CFN，BFH中有，∠CNF=∠BHF，∠NFC=∠HFB，CF=BF，所以三角形CFN，BFH全等，BH=NC.從而AC=BI，問題解決.

上述作輔助線的方法不容易想到，既要作兩條平行線，又要延長條線段，用到的有平行四邊形、三角形的中位線、全等三角形等知識.這需要學生對這些知識牢固掌握，有宏觀的把握，而且會靈活運用.若把這題目給初中剛學四邊形的學生做，能想到這種方法是不容易的.此題，其實有種更適合初學者的方法.

再從另一個角度來分析這一題.當然還是要將所解決的問題轉化簡單的問題.題目已知條件，E、F分別是AD，BC的中點，一般情況下，在幾何題中看到中點，就要考慮三角形的中位線，由中位線就得到平行線，進而可以有角相等，或許就能將∠PNM，∠PMN轉化另外兩個相等圖4的角.再看已知條件，AC=DB，若AC、DB是兩個三角形的一條中位線所對的第三邊，那么這兩條中位線就相等.觀察圖形若取AB得中點G，連接EG，FG，如圖4.則EG，FG分別是三角形ABD，ABC的中位線，容易知角∠GEF=∠PMN，∠GFE=∠PNM.因為AC=BD，所以EG=FG，∠GEF=∠GFE.由上可得∠PNM=∠PMN，問題解決.

兩種方法相比，第一種作輔助線較多，主要用到的有全等三角形、平行四邊形、中位線等的有關知識，達到證明的目的走的路較長.第二種方法的輔助線作過后，主要用到三角形中位線的知識.相比之下，后一種方法的證明更直觀、簡便些.

在等腰三角形ABC兩腰AB，AC分別取兩點E，F.使AE=CF.已知BC=2，求證EF≥1.

分析此題要證EF≥1，已知條件為E，F是三角形ABC兩腰上的點.考慮到特殊情況，當E，F分別是AB，AC的中點時，有EF=1.接下來如何證EF>1？題目已知條件只有BC=2這個數據，由此我們猜想EF與BC可能有某種數量關系.觀察圖形，我們需要通過輔助手段——輔助線，使得EF，BC是一個規則圖形的兩個邊，這樣更容易得知它們的長度關系.過點E作EG∥BC且使EG=BC，連接GC，可得到平行四邊形BCGE，BE=CG，如圖6.題目還有AE=CF這個已知條件，顯然BE=AF=CG.因為BA∥CG，所以∠EAF=∠FCG.那么連接F，G，有三角形AEF，CFG全等，FE=FG.在三角形EFG中，2EF>EG=BC=2，EF>1，問題解決.

上述證明EF>1的實質是將BC向上平移從而和EF在一個三角形中，那么將EF向下平移和BC在同一三角形中，能否解決問題呢？過點C作CG∥FE，連接B，G，如圖7.和第一種方法證明類似，可證得GBC是等腰三角形，從而2GC=2EF>BC=2，EF>1，問題解決.

以上兩種方法都是通過作輔助線平移BC或EF找到BC，EF的關系.此題還有一種通過作輔助線平移中位線的方法證明EF>1.

圖8取AB，AC的中點M，N，連接M，N，MN=1，EF>1，即EF>MN.如圖8，過點E作EG∥MN且使EG=MN，連接GN，就有平行四邊形EGNM，再連接GF，若能證明三角形EFG直角三角形，即有EF>1.下證之，因為三角形ABC是等腰的，所以∠NHG=∠AHE=∠AEH=∠EMN=∠NGH，有等腰三角形NGH，NG=NH.因為AM=CN，AE=CF，所以ME=NF=NG=NH，故三角形HGF是直角三角形，且∠HGF=900，有直角三角形EFG，EF>EG=MN=1，問題解決.

證明例2的三種方法的基本思想都是化歸思想，通過平移將要解決的問題轉化成熟悉的、易解決的問題.前兩種方法類似，第三種方法相對來說不容易想到，而且稍微復雜些，不過也是比較巧妙的證法.

化歸思想的核心是我們不應以靜止的眼光，而應以可變的觀點去看待問題，即應善于對所要解決的問題進行變形.以上兩個幾何問題充分體現了這一核心.這里應注意幾點：

第一，所說的變形并不是一種無目的的活動，因此，在實踐過程中，我們就應該始終“盯住目標”，即應當始終考慮這個問題：怎樣才能達到解決原來問題的目的？如，怎樣才能證明問題中的結論？

第二，因為只有通過反復的實踐，才能找到正確的化歸方向與方法，因此，在解題過程中我們應保持一定的靈活性.

第三，由于解決問題的途徑常常不是唯一的，因此，我們還應考慮如何才能更快、更有效的解決問題，即注意在可能的途徑之間進行選擇.例1的方法二和例2中的方法一、方法二就能夠較快，較有效的解決問題，而且不復雜.另外的兩種方法雖說麻煩些，但也能夠體現出對知識的靈活運用，對解決問題的整體把握較強，而且有助于邏輯思維的訓練.

【參考文獻】

[1]G波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007年.

[2]鄭毓信.數學方法論入門[M].浙江：浙江教育出版社，2011年.