淺析均值不等式的使用技巧

李素英　仇正權(quán)

【摘要】均值不等式是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，在很多問題中，我們要通過變形、配湊等技巧，使得復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為適合使用均值不等式的簡(jiǎn)單問題.

【關(guān)鍵詞】配湊；換元；消元；因式分解

均值不等式在初等數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，在證明不等式成立問題或解決最值問題時(shí)，作用顯得尤為突出.利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊“定和”和“定積”，要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，配合一定的變形技巧，比如拆分、配湊等方法，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為適合使用均值不等式結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單問題，從而順利解決問題.本文主要對(duì)均值不等式的使用技巧做一個(gè)歸納，以供大家參考.

（四）換元巧解

例4已知a，b，c為△ABC三邊的長(zhǎng)，求證：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

證明設(shè)m=a+b-c，n=b+c-a，p=c+a-b，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得到m>0，n>0，p>0，且m>0，n>0，p>0，a=n+p2，b=m+p2，c=n+m2，于是abc=n+p2·m+p2·n+m2≥np·mp·mn=mnp=（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

點(diǎn)評(píng)通過換元，能改變不等式結(jié)構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)均值不等式的使用方法.

結(jié)語(yǔ)均值不等式是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，許多復(fù)雜的最值問題或不等式證明問題，通過適當(dāng)?shù)募记商幚恚蓜?chuàng)造性地使用均值不等式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)去繁變簡(jiǎn)、巧妙解題的目的.這就需要我們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)過程中，注意思考、反省和總結(jié)，才能得心應(yīng)手地使用均值不等式去處理問題.