揭秘高考圓錐曲線離心率的幾種常規求法

張利平

【摘要】離心率是圓錐曲線的一個特別重要性質，求圓錐曲線離心率的值或取值范圍，是解析幾何中的重點、難點，也是高考中考查的高頻考點.縱觀近年的高考，數學試題越來越“返璞歸真”，既不需要深奧的知識，也沒有高難的技巧，許多題目源于課本，由若干基礎知識經串并聯、類比、改造而成，正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.通過引申、拓展、探究，做到解一題通一片，跳出題海.

【關鍵詞】圓錐曲線；離心率；橢圓；雙曲線；焦點；取值范圍；曲線類型；類比方法；齊次不等式；拋物線；定義；正弦定理；余弦定理；高考題

求離心率的值或取值范圍，是解析幾何中的重點、難點，離心率也是歷年來是圓錐曲線客觀題的考查重點，對于求圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，屬于中檔次的題型.一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率、或離心率的取值范圍只需要由條件得到一個關于基本量a，b，c，e的一個方程，或不等式，就可以從中求出離心率或其范圍.許多題目源于課本，由若干基礎知識經串并聯、類比、改造而成，正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.用最淳樸的定義來解題是最好的，此時無招勝有招！筆者根據20多年的高中數學教學經驗，小結如下方法供同學們借鑒.

一、直接求出a、c，求解離心率e

已知圓錐曲線的標準方程或a，c易求時，可利用率心率公式e=ca來解決.

結束語

離心率是橢圓、雙曲線的重要幾何性質，是高考重點考查的一個高頻知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據一定的條件用定義求橢圓、雙曲線的離心率；另一類是根據一定的條件求橢圓、雙曲線離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表達，轉化為關于離心率e的關系式，或利用橢圓、雙曲線的定義，或利用a，c的齊次式關系，求解橢圓、雙曲線的離心率或其范圍；同時注意橢圓離心率的取值范圍e ∈（0，1），雙曲線離心率的取值范圍e∈（1，+∞）；這是化解有關橢圓、雙曲線的離心率問題難點的根本方法.