一道“全能”題及其變式

黃瓊　華道雄

【摘要】對于標準的平面幾何題，可以用解析法解決，向量也是解決幾何問題的有力工具；而新課標中《幾何證明選講》也是學生學習的內容和高考考試的范圍.由此，需要教師在緊扣教材的同時能夠提煉升華，最終達到“源于教材而高于教材”的境界！

關鍵詞平面幾何；解析法；向量法；同一法

如右圖，延長BA至F′點，使AF′=3，則△BEF′為等邊三角形，

連接CF′交AE于點P′，由AB=58BF，EC=58BE，

易得：點P′與ABC三點共圓，則點P′與點P重合

故點F′與點F重合，即AF=3

五、能作為解三角形的綜合訓練

問題④解：設CA=CB=a，則CE=λa，CD=（1-λ）a

由平幾知識可知：C、D、P、E四點共圓，且PC為外接圓直徑2R.

連接ED，則∠EDC=∠CPE=180°-∠APE=180°-∠BPD=135°-60°=75°.

又∠ECD=60°，∴∠CED=45°.

在△CDE中，由正弦定理知：CDsin∠CED=CEsin∠CDE.

即（1-λ）asin45°=λasin75°λ=33.

六、能作為考查學生綜合能力的訓練或測試題

問題⑤解：若建立∠DPC的余弦值關于比值λ的函數，無論是建立函數的過程，還是求值域的過程都是復雜的.另解：由四點共圓得，∠DPE=120°，如下圖，由極端性原理可知：