試證相差2的素數對是無窮多的

趙雙成

【摘要】為證明相差2的素數對是無窮多的：1.將前n個素數連乘積表為2N后，創建一個6k±11≤k≤N/3的奇數對數列；數列內的素數有，1）平方小于2N的前n+t-2個素數，2）大于第n+t個素數、又不大于2N+1的素數.2.從數列內排除含第1類素數因子的奇數對，剩下的均是相差2的素數對；再證明n趨向于無窮大時，剩下的素數對個數也趨向于無窮大.證明中用到了兩個“數學工具”：1.數字篩公式、2.奇數對篩定理.

【關鍵詞】初等數論；孿生素數；奇數對數列；數字篩公式；奇數對篩定理

引言

孿生素數猜想是數論中著名的未解決問題.這個猜想由希爾伯特在1900年國際數學家大會上的報告第8個問題中提出，可以描述為“存在無窮個孿生素數”[1].破解這一猜想的最新成果是由華人數學家張益唐取得的，2013年5月13日他在哈佛大學宣布證明了“存在無窮多個之差小于7000萬的素數對”[2].時至今日，對存在無窮多個之差等于2的素數對，仍無通過專業數學工作者審視的證明[3].

一、證明中自定義的概念

將前n個素數組成的數列表為p1，p2，p3，p4，…，pn，其連乘積表為2N.

對整數a、b、q，有a=bq（b≠0）時，a是b的倍數[4].在ak=kb（1≤k≤2N）時，在不大于2Nb的范圍內b的倍數有2N個[5].

定義1a=bq（b≠0）中b與q均為正奇數時，將a稱為b的奇倍數.如35=5×7，35是5與7的奇倍數.

定義2b為奇素數且其奇倍數不含小于b的奇素數因子時，該奇倍數稱為b的奇數倍.如35是5的奇數倍，不是7的奇數倍.

定義36M±1（1≤M≤N[]3）組成一個N[]3項的奇數對數列.6M-1稱為小數，6M+1稱為大數.同奇數對的兩個數均為素數時是孿生素數，否則為合數對.

二、pi（2≤i≤n）的數字篩公式

pi不大于2N的N/pi個奇倍數中，有的還含有p2到pi-1中的因子，他們不是pi的奇數倍.由容斥原理可知[6]，N/pi個奇倍數中不含p2到pi-1中任1因子的個數是：

【參考文獻】

[1]梁宗巨.世界數學史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社，1980第1版，第494頁倒數第1—2行.

[2]鄭輝.華人數學家張益唐證明“弱孿生素數猜想”[OL]，騰訊科學，2013.5.27.

[3]百度百科.孿生素數猜想[OL]，2014.3.18.

[4]閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]潘承洞，潘承彪.初等數論[M].北京：北京大學出版社，2013.