四色猜想證明

譚仕芬

【摘要】四色猜想誕生的100多年來，困惑了許多想解開此疑題的人們.本文以明確四色猜想的數理涵義和數理概念為切入點，明確出100多年來沒有誰明確出的四色猜想的數理涵義和數理概念，從而準確地找到了論證四色猜想的論題、論點、論據，開拓了論證此論題的捷徑.從而輕而易舉地用平面幾何原理求證出四色猜想的初級定理，并創新性地確立了化不規則N邊形為變形三角形——即不規則三邊形的變形幾何原理，使之與四色猜想的初級定理相結合，導引出廣義四色定理（又稱四色定理），使四色定理能夠直接應用于描繪復雜的地圖.使論題成立.

【關鍵詞】四色猜想；變形三角形；變形幾何；四色定理

1.四色猜想產生的歷史背景

1852年，畢業于倫敦大學的格斯里（FrancisGuthrie）來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現每幅地圖都可以只用四種顏色著色.這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和他正在讀大學的弟弟決心試一試，但是稿紙已經堆了一大疊，研究工作卻是沒有任何進展.1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數學家哈密頓爵士請教，但直到1865年哈密頓逝世為止，問題也沒有能夠解決.1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注的問題，世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰.

1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普（Alfred Kempe）和泰勒（Peter Guthrie Tait）兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理.大家都認為四色猜想從此也就解決了，但其實肯普并沒有證明四色問題.11年后，即1890年，在牛津大學就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計算指出了肯普在證明上的漏洞.他指出肯普說沒有極小五色地圖能有一國具有五個鄰國的理由有破綻.不久泰勒的證明也被人們否定了.人們發現他們實際上證明了一個較弱的命題——五色定理.就是說對地圖著色，用五種顏色就夠了.希伍德沒有徹底否定肯普論文的價值，運用肯普發明的方法，證明了較弱的五色定理.下圖為錯誤的四色地圖，圖中有黃、藍、紅、綠、白五種顏色：

2.四色猜想的通俗表述

四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界三大數學猜想之一.通俗的說法是：每個平面地圖都可以只用四種顏色來染色，而且沒有兩個鄰接的區域顏色相同.1976年借助電子計算機證明了四色問題，問題也終于成為定理，這是第一個借助計算機證明的定理.——以上這段文字是通過百度搜索找到的四色猜想與四色定理的通俗表述.

所謂“通俗表述”即缺失明確的數理概念和定義.數理概念的缺失，直接導致論題關聯的論點、論據、目標、方向不明確，難以想象100多年來競相角逐此論題的數學家們，如何理解四色猜想的論點、論據、目標和方向？而在缺失明確的論點、論據、目標和方向的前提下論證此題，就像偏離目標的車輛，車速越快離目標方向越遠.因而，求證四色猜想首先必須明確四色猜想的數理涵義，才能找準論題的論點、目標、論據，實施有效的求證.以下即根據四色猜想的通俗表述，明確四色猜想的數理概念和數理涵義.

3.四色猜想的數理涵義與概念

根據四色猜想的通俗表述，可明確出四色猜想的數理涵義為：

（1）因為通常使用的地圖均為有限平面，因而四色猜想通俗表述的“每個平面地圖”，即指有限平面.但如果局限于有限平面求證四色猜想，則此論題不具廣義性、規律性的數理價值.因而，論證四色猜想必須把有限的地圖平面擴展為無限平面——即擴展為任一無限平面.

（2）如果四種不同顏色在同一平面上，均只表示為顏色不同的線段，彼此相互銜接時即重疊為一條直線，只能把一個無限平面分割成2個平面.因而，要使四色猜想成立，4種顏色不能只表示為直線，必須表示為界限清晰的界限性平面.

（3）四色猜想通俗表述的“區域”即平面——指用四種顏色在同一無限平面上涂染而成的邊界清晰的界限性平面.根據幾何原理3點成面，最少邊線的界限平面即為三角形平面.因而，4種顏色在P平面上涂染成的界限平面的最少邊數為3，但任一種顏色涂染成的界限平面均沒有邊數限制，可迎合論題需要涂染為任意邊數、（面積）任意大小的N邊形.

（4）四色猜想通俗表述的“使沒有兩個鄰接的區域顏色相同”的含義為：1.用四種顏色涂抹成的界限平面可以為無限多個； 2.無限多個界限平面無間隙地相互銜接、卻互不相交；3.兩個鄰接的界限平面不能出現顏色重復；4.四種顏色涂染成的無限多個界限平面與同一無限平面的交角均為0——均重疊于無限平面上，構成無限平面的一部分，即以4種顏色不同的界限平面，無窮分割同一無限平面.

綜合以上分析出的四色猜想的數理涵義，即可明確四色猜想的數理目標與論題的數理概念：

數理目標：四色猜想為平面幾何題，目標指向平面分割；

四色猜想論題的數理概念為：求證用4種顏色構成界限平面（無形狀、大小限制，可為≥3的N邊形），分割任一無限平面，使銜接相連的界限平面顏色均不相同.

4.四色猜想證明

4.1.論題：求證用4種顏色構成界限平面（無形狀、大小限制，可為≥3的N邊形），分割任一無限平面，使銜接相連的界限平面顏色均不相同.

4.2.證明：

4.2.1.設P為任一無色的無限平面，4種顏色為黃、藍、紅、綠4色.

4.2.2.用黃、藍、紅、綠4色中的任一種顏色，在P平面上涂染，均可形成規則或不規則的3、4、5……N邊形、圓形等任意形狀和任意大小的色塊平面，而當色塊平面

4.2.3.用A表示黃色在P平面上涂染的界限平面集合，A包括A1，A2，A3……An；用B表示藍色在P平面上涂染的界限平面集合，B包括B1，B2，B2……Bn；用C表示紅色在P平面上涂染的界限平面集合，C包括C1，C2，C3……Cn，用D表示綠色在P平面上涂染的界限平面集合，D包括D1，D2，D3……Dn.

4.2.4.論題要求：用黃、藍、紅、白這4種顏色，同時在P上涂染，形成彼此銜接互不相交的無窮多個界限平面，并使相互銜接的界限平面不出現顏色重復，即使A、B、C、D這4種不同顏色的界限平面，同在P平面上彼此銜接互不相交.A、B、C、D這4種顏色不同的色塊界限平面，在P平面上兩兩銜接的分界線即為兩個色塊界限平面的公共分界線，也是相互銜接的公共線段，因為A、B、C、D均可以為不規則的N邊形，因而兩個色塊界限平面的銜接線既可為直線、弧線、也可以為不規則的曲線.A、B、C、D這4種顏色不同的色塊界限平面，在P平面上可以有無窮個，但兩兩銜接的形式可統概為6種：

（A與B銜接公共線段為AB）（A與C銜接的公共線段AC）（A與D銜接的公共線段為AD）

（B與C銜接的公共線段為BC）（B與D銜接的公共線段為BD） （C與D銜接的公共線段為CD）

由上圖可見，A、B、C、D這4種顏色不同的界限平面，在P平面上兩兩銜接共有6種形式：當A與B銜接時，A與B至少有一條公共邊線；當A與C銜接時，A與C至少有一條公共邊線；當A與D銜接時，A與D至少有一條公共邊線；當B與C銜接時，B與C至少有一條公共邊線；當B與D銜接時，B與D至少有一條公共邊線；當C與D銜接時，C與D至少有一條公共邊線.用AB表示A與B銜接的公共邊線，并AB=BA；用AC表示A與C銜接的公共邊線，并AC=CA；用AD表示A與D銜接的公共邊線，并AD=DA；用BC表示B與C銜接的公共邊線，并BC=CB；用BD表示B與D銜接的公共邊線，并，BD=DB；用CD表示C與D銜接的公共邊線，并CD=DC.并且AB、AC、AD、BC、BD、CD既可為直線、弧線、也可以為不規則曲線.

6種銜接形式只是A、B、C、D4種色塊界限平面銜接形式的統概，由示圖1可見A、B、C、D均只各有3種銜接形式：

示圖2：A、B、C、D各自獨有的3種銜接形式示意圖

4.2.5.論題要求：使A、B、C、D在P平面上銜接時，兩兩銜接的界限平面的顏色不相同.同一平面上，兩個互不相交的界限平面的銜接即為公共邊線的銜接，因而要使A、B、C、D這4種色塊界限平面在P平面上銜接時兩個銜接平面的顏色不相同，即使A、B、C、D這4種色塊界限平面中的任一界限平面的邊線不重復AB、AC、AD、BC、BD、CD中的任一條邊線，則論題成立.但6種銜接形式為A、B、C、D這4種界限平面共有的銜接形式的統概，其中A、B、C、D均只能各有3種銜接形式，因而要使論題成立，A、B、C、D這4種色塊界限平面的邊數只能≤3.

4.2.6.據幾何常理確知，以周長為邊線的圓形為邊數最少的平面幾何圖形——只有1條邊線.若在P平面上取任意一點為圓心，畫無限多個同心圓，輪次涂染黃、藍、紅——即僅用A、B、C三種色塊界限平面，即可無窮分割P平面，并使相連的界限平面顏色均不相同.

圖示3：三色定理示意圖

上圖即為三色定理示意圖.

三色定理：即用3種顏色構成的界限平面分割任一無限平面，可使銜接相連的界限平面顏色均不相同.方法為：在任一無限平面上取任一點為圓心，取順次遞增的任意數值為半徑，作無限個同心圓，輪次以A、B、C三種不同顏色作環形涂染，循環往復，即使相互銜接的環形色塊界限平面的顏色均不相同.

4.2.7.根據2點成線、3點成面的平面幾何原理可知，除圓形外，邊數最少的界限平面即為三角形（三邊形）平面，無論是銳角、直角、鈍角、規則或不規則的三角形平面，均只有3條邊線.據上解A、B、C、D在P平面上均各有3條不重復的銜接線（邊線），銜接線不重復即邊界銜接的色塊界限平面的顏色不重復.因而只要以A、B、C、D各自固有的3條不重復的銜接線為三角形的邊線，在P平面上作無窮多個任意大小彼此銜接互不相交的三角形，即使銜接相連的界限平面顏色均不相同，則論題成立.A、B、C、D在P平面上取三角形時，3條邊線同時為銜接線，以下示圖表示：

不重復即銜接的色塊界限平面的顏色不相同.如此類推，即可在P平面作無窮多個A、B、C、D集合的三角形，交使銜接的色塊界限平面的顏色不相同.即使論題成立.

綜合上解，即得出初級四色定理：

用四種顏色構成的界限平面分割任一無限平面，當4種顏色構成的界限平面均為三邊形（規則或不規則三角形）時，即使銜接相連的界限平面顏色均不相同.

但因為地圖由3、4、5……N邊形、圓形等不規則圖形構成，故單純的環形界限平面無法應用于地圖描繪，因而，三色定理無法應用于地圖描繪.單純的直線三角形也無法應用于地圖描繪，因而初級四色定理也無法直接應用于地圖描繪.而要使初級四色定理應用于地圖描繪，即涉及怎樣把不規則多邊形變為只有3條邊線的“三邊形”的“變形幾何”——用 “變形幾何”一詞，是因為想不出更貼切的詞來傳導把不規則多邊形，變化為只有3條邊線的“三邊形”的數理意念，第一時間躍升腦海的詞即為“變形幾何”，故取

而用之.

5.化不規則多邊形變為“三角形（三邊形）”的方法

眾所周知，地圖描繪是無法改變任一地區、任一國家地貌形狀的，因而四色定理應用于地圖描繪時，只能基于不改變任一地區、國家地貌的基礎上進行.而當地貌圖形固定不變時，變的只能是數理思維模式與繪圖技巧.

根據幾何原理，任一線段（包括直線、曲線、弧線）均由無數點組成.在一條線段上取任意2點，這2點間的線段即可視為三邊形的底線，再從這條底線外取任意一點為頂點，用線段分別將底線上的2點與頂點連接，即得出一個底邊不規則的三角形（三邊形）.如下圖示：

同理，圖A、圖B中的三角形可變形為以下圖C、圖D中三邊不規則的三邊形：

圖C圖D即：在任一不規則多邊形的周邊上取任意不在同一直線上的3點，均可視為三角形頂角1個頂點，和2個底角的2個頂點，則這個不規則的多邊形即可視為由3條不規則的邊線構成的變形三角形——也稱不規則三邊形.

同理，僅有一條邊線的圓形圓周上的任意3點，均可視為三角形1個頂角和2個底角的3個頂點，則這個圓形即可視為由3條弧形邊線構成的變形三角形——也稱弧邊三邊形：

因而，在同一平面上，任一不規則的多邊形或圓形，均可視為變形三角形——即不規則三邊形；任一不規則的多邊形或圓形，均可以3條不規則的邊線（或弧線）與外界銜接——這即是使不規則多邊形和圓形化為變形三角形的原理，變形三角形也稱不規則三邊形.同理，把不規則的多邊形或圓形變為變形三角形的原理，即為變形幾何的原理.變形幾何原理的基本內涵為：所謂“變形幾何”，即實相幾何圖形不變，而是以變化的數理邏輯思維，在實相幾何圖形的基礎上導引出不同概念的幾何圖形.

掌握了任一不規則多邊形和圓形均可變為不規則三邊形的原理，初級四色定理即可與變形幾何原理相結合，從而推導出廣義四色定理：

用4種顏色構成的界限平面分割任一無限平面，當4種顏色構成的界限平面均為三角形時，即使銜接相連的界限平面顏色均不相同.應用變形幾何原理，任一不規則的多邊形和圓形均可視為變形三角形（可變為不規則三邊形），均可只以3條不規則的邊線為公共接壤線；因而，使4種顏色構成的界限平面可無形狀限制，但必須任一界限平面均只以3條邊線為公共銜接線，即可無窮分割任一無限平面，并使銜接相連的界限平面顏色均不相同——這即是廣義四色定理，簡稱四色定理.

廣義四色定理可以直接應用于地圖描繪.

6.應用四色定理描繪地圖

應用四色定理描繪地圖，即僅用4種顏色描繪任一地區、國家、世界的地圖，并使相鄰兩個區域的顏色均不相同.

統概而論，地圖是地球表面地貌物象的縮略圖.地表由陸地（包括平原、溝壑）、海洋（包括河流、湖泊）、山脈、林木（包括草原、森林）四大類物形構成，四大類物形在地表無間隙銜接.地圖描繪，即把這四大類物形描繪在紙質、布質或其他材質制成的同一有限平面上.而適合于無限P平面的四色定理，同樣適合于有限P平面.

設用于描繪地圖的有限平面為P平面，應用四色定理描繪地圖時，四大類地貌中任一復雜地貌均可視為不規則的N邊形或圓形，并均為地圖描繪時不可改變的實相幾何圖形.但應用變形幾何原理，可把任一不規則的N邊形或圓形變為不規則三邊形.因而，無論四大類地貌的幾何形狀如何復雜和不規則，均可只以3條邊界線與周邊的自然景物銜接.用四種顏色描繪地圖的方法有兩種：1.四種顏色均無特指；2.四種顏色均為指定顏色，以下分別說明.

1.因為地表自然物象統概為4大類，故任一區域庇鄰的自然物象均只能≤3（本身為一類）.因而，當四種顏色無特指時，則可應用四色定理，在不改變任一區域地貌的幾何圖形的前提下，使任一區域地貌固有的幾何圖形變化為不規則三邊形，并依據（4、2、8）所解的方法，順次選擇A、B、C、D四種顏色中的一種，涂染每個地區或國家，即可使兩個相鄰銜接的區域的顏色不相同.但這樣描繪出的地圖四大類地貌顏色混雜，即不同地區、國家的陸地、海洋、山脈、森林的顏色不統一，同一種自然物象會被描繪成黃、藍、紅、綠4種顏色，不易于自然物象的區別.因而，地圖描繪慣常使用指定顏色，即使某種顏色特指某種自然物象，比如藍色特指海洋、黃色特指陸地……以下即用指定顏色的方法，使四種顏色依據四色定理描繪地圖.

2.設用于描繪地圖的有限平面為P平面，用黃色表示陸地（包括平原、溝壑），并用字母A表示；用藍色表示海洋（包括河流、湖泊），并用字母B表示；用褐色表示山脈，并用字母C表示、用綠色表示林木（包括草原、森林）；則地表的一切物象均可以用銜接而互不相交的A、B、C、D四種色塊界限平面描繪在P平面上.

又因為，地表的一切物象統概為4大類，因而，P平面上任一核心或非核心物象的邊線銜接的自然物象均只能≤3種，即：陸地只能銜接海洋、山脈、林木；海洋只能銜接陸地、山脈、林木；山脈只能銜接銜接陸地、海洋、林木；林木只能銜接陸地、海洋、山脈.因而，無論任一地區或國家的邊境接壤多少個地區或國家，其邊境線銜接的自然物象均只能≤3種.因而，使用指定顏色的方法，不但有利于自然景物的識別，也利于應用四色定理描繪地圖.

據上所設，任一地區或國家的陸地在P平面上均表示為A色塊界限平面.因而，當任一地區或國家的邊境線只銜接海洋、河流、湖泊、山脈、草原、森林時，則A色塊界限平面只與B、C、D這3種色塊界限平面銜接，并且A、B、C、D均為無間隙銜接，因而應用變形三角形原理即可視A為不規則三邊形，以3條不規則的邊線分別與B、C、D三類不相同的自然物象銜接，則四色定理成立.

而當2個、3個……N個地區或國家的邊境線為公共沙漠時，任一與沙漠接壤的地區或國家，內陸與沙漠間均存在著過渡地帶，過渡地帶上或存在林木、草原、山脈、海洋、河流等自然物象，即在兩個A色塊界限平面之間或出現B、C、D色塊界限平面的輪替，對于沙漠公共區域，四色定理同樣成立.

只有一種現象例外，如果2、3……N個地區、國家的邊境以陸地接壤，即相互銜接的邊境線上沒有海洋、湖泊、山脈、河流、林木、草原等自然物象為分界線，即為2、3……n個A色塊界限平面直接連接.但世界上陸地直接相連并邊界線上無植披、無山脈、無河流、海洋等自然物象分界的地區或國家極少存在，即使偶爾會出現2個、3個……n個地區或國家的陸地直接接壤現象，也可以通過添加界限物象以達成色塊界限平面的輪替.最簡單的方法即為添加藍色或裼色的邊界線、界碑，或種植綠色的林帶，即可達成色塊界限平面的輪替.這樣，四色定理同樣成立.

因而，運用四色定理，用四種顏色描繪地圖，可使相鄰的區域不出現顏色的重復.論題成立.

7.綜述

論證四色猜想這道困惑了人類100多年的疑題，我只用了6大步驟，自始至終沒有使用任一計算式，最本位地讓平面幾何回歸平面幾何的范疇加以論證.我之所以能找到這道疑題簡潔的論證方法，是因為我以明確四色猜想的數理概念為切入點，這看似簡單的文字概括，100多年來卻從沒有誰像我一樣專注和深入地思考過，并準確地用文字表達，這歸蒂于我的理解力和文字表達能力.數理涵義與概念不明確的四色猜想，并不具廣義性、規律性的數理應用價值，只有明確出四色猜想的 數理涵義和概念，四色猜想才具有廣義性、規律性的數理應用價值.并據此找準了論題、論點，論據，從而打開了論證此題的捷徑之門.

此文中所述的變形幾何的概念和原理、化不規則N邊形為變形三角形的原理，均為獨創，有待專家學者們鑒評.而我運用變形幾何原理論證四色猜想，又一次沖破了人類數理固有的樊籬，開拓出論證此論題的捷徑.想說：數學并非越繁復、越高深即越接近真理，返璞歸真才與真理同道；人類的一切文明成果均源于創造與承繼，沒有創造即沒有承繼，沒有承繼即沒有發展.而當簡單的問題被過度地復雜化，并成為人類社會固定的程式，庸人自擾即成為人類世界的通病.

第6節——應用四色定理描繪地圖，因為電腦繪圖困難等原因，我無法例具更多的示圖，也沒有詳盡地舉一些地區和國家的地貌實例豐富論證內容.但當四色猜想的數理涵義和概念明確后，四色猜想的應用范疇已超越了地圖描繪，而成為具有廣義性、規律性的數理定理.而我對四色猜想概念明確、邏輯嚴謹的簡潔論證，足以瀝清100多年來所有與四色猜想相關的疑問，真知者即有共識.

我用簡潔的方法論證四色猜想，或將成為電腦永遠也無法戰勝人類大腦最好的例證.但我不知道，習慣于獎勵高深艱澀學術成果的人們，是否會給予簡潔同等的認同，讓我收獲同等的榮譽與獎勵.