數學開放性問題教學熱的冷思考

蔣惠芬

開放題由于自身的開放性，給學生提供了較多提出自己新穎獨特方法的機會，吸引學生不依賴教師和書本、獨立地探索和發現問題的各種各樣的答案，“數學地交流”，使學生在探索、嘗試、比較、交流、改進與糾錯中獲得對數學本身性質的正確理解，從而由知識的被動接受者轉變為知識的主動發現者和探索者，保障了學生的主體地位，有利于學生自我意識和獨立人格的形成，為培養學生的創新精神奠定了基礎.開放題因此成了時髦題，很受廣大教師的青睞.在我們身邊涌現了很多成功的例子，設計出了一些好的開放題，但也出現了一些盲目跟從現象.

現象一：濫用開放題，看到開放題拿來即用，只要是開放題就認為是好題；同時認為只有開放題才是好題，對傳統中采用的“封閉題”持一刀切的態度.

思考：如何理解并處理好開放題與傳統“封閉題”的關系？

（1）建構主義者認為，學習可以分為初級學習和高級學習兩類.初級學習只要求學生通過練習和反饋而掌握一些重要的概念和事實，在測驗中只要求學生把所學的東西按原樣再生出來；高級學習則要求學生把握概念的復雜性，能根據具體情況改造和重組自己的知識經驗.開放題的求解方法具有非常規性、發散性和創造性，即沒有現成的模式，也沒有固定的算法，它要求解題者充分地聯想、大膽地創造，要求學生能靈活地運用所學知識，擺脫形式上的束縛，進入問題的深層，對問題的本質做深刻、細致的剖析，它是一種高級學習，需要知識技能、概念理解和問題解決三者的協調發展，原有知識與能力系統愈豐富，解決問題的能力就越強；初級學習則更需要依賴傳統的“封閉題”，如果忽視這種初級學習，將初級學習的教學策略不合理地推及高級學習，使教學過程過于簡單化，就會削弱學生的演繹推理能力和思維嚴謹性培養，妨礙知識在具體情景中廣泛而靈活遷移.正如歐文（E.Owen）和斯維勒（J.Sweller）在《學生通過解題學到了什么》一文中指出：“由于開放性問題不具有確定的目標從而學生就可使用各種不同的程序去對問題的不同方面進行探索；但是，對于那些尚不能很好的解決包含有新近學到的概念的學生來說，如何在各種不同的可能途徑之間作出選擇并沿著所選擇的道路走下去事實上一中更高的要求.”

（2）開放題的應用事實上為我們改進數學教學提供了新的更大可能.但是，題型的選擇并不能被看成改進數學教學的關鍵因素，恰恰相反，無論是開放題還是封閉題的教學而言，我們都應更加關注數學思想和教育思想.開放題與“封閉題”并不互相排斥，必須堅持以傳統題為主，適度引入開放題，處理好“收斂性思維”與“發散性思維”的關系，達到開放題與“封閉題”的“最優化”，切不可對“封閉題”持一刀切的態度，陷入“完全開放”，影響基本知識、技能的學習，從而妨礙知識在具體情景中廣泛、靈活遷移.同時，開放題和“封閉題”可以互相轉化，在原有“封閉題”的基礎上啟發學生思維向縱深發展、發散，就形成了開放題；反之，開放題如果已經得出結論，就形成了一個封閉性問題.

思考：怎樣選擇開放題？

在內容選擇上要遵循以下原則：（1）具有挑戰性.開放題應不拘泥于形式，有別于常規題，選擇對解題者來說還沒有具備直接解決方法的內容，對他構成認知上的挑戰，這樣對于解題者來說解決問題的過程就是一個特殊的學習過程.這種學習不僅是如何將所學的知識靈活應用于各種現實世界，而且是解決者從解決方法中獲得新的思維方法，提高自身處理各類現實問題能力的過程.（2）具有趣味性.所選內容是否恰當最重要的標準是問題所含事件是否為學生所熟悉，能否引起學生的興趣，能否激發他們的數學思維，并通過學生現有知識能夠解決的問題.一般來說，有吸引力的數學開放題要源于生活，源于教材，超于教材，取自社會事件或課程的其他部分（不僅取自自然科學，也要取自商業、地理、藝術和其他科目）（3）起點要低，不管是基礎好能力強的學生，還是基礎差能力弱的學生都要能動手嘗試，并有一定的收獲.（4）要有層次性.關注不同學生的數學學習需求，確定不同層次學生的個體學習目標.題目由淺入深逐步過渡，并且每一層次上能有多種解法，體現綜合題的功能，使全體學生在獲得必須的數學知識后，不同的學生從不同的角度得出各種不同水平的解答，有不同程度的收獲.（5）要有發展性.關注學生的可持續發展，考學生未來學習或未來生活、就業的需要，要選擇有利于學生思維方式和思維能力（數學能力）的發展，有利于學生正確數學觀、良好的情感因素的形成，對每一名學生所必需的終身發展有價值的內容.（6）能體現一定的開放度，要富含數學知識，讓學生有發現的余地，特別是給聰明的學生提供更廣闊的研究空間.

現象二：教師使出教育學上所有的技巧方法，使自己的教學變得盡可能地通俗易懂，一廂情愿地把學生的思路引到自己預先設計的思路上，視學生為接收知識的“容器”而施行“滿堂灌”，不給他們留下思考問題的空間，對學生的不同解答持回避態度或輕易的否定，只要學生按照一定的模式得出預期的結果就萬事大吉.

思考：只要引進了開放題就是好課嗎？引入開放題的意義何在？（即我們為什么應當鼓勵學生盡可能地去找出更多的不同解題方法和答案？）

數學開放題有以下教育功能：（1）解決數學開放題有利于培養創造能力.（2）能保障學生的主體地位，有助于學生主體意識的形成，有利于實現教育的民主性和合作性.（3）有利于學生體驗成功，樹立自信心，產生學習數學的興趣.教學中，如果一味地追求題型，不去研究開放題的教育功能，忽視相應的教育思想和方法，則違背了開放題的初衷.

思考：怎樣充分發揮開放題的教育價值？

1.體現學生的主體地位

古希臘哲學家說：“大腦不是一個等待填充的容器，而是一支等待點燃的火把.”忽視學生主體只注重知識移植的課堂教學是對學生智力資源的最大浪費.開放題的挑戰性有利于激發學生的好奇心和求知欲，為學生主動學習創造了條件；開放題的層次性，使全體學生真正參與數學活動成為可能，即使學習困難的學生也能作出一種或多種答案，使學生體驗到成功的樂趣，樹立自信，產生學習數學的興趣，獲得心智；開放題的開放性決定了沒有現成固定的解題模式，一般研究味較濃，富有探索性，需要學生獨立地進行探索，可以通過試一試、湊一湊、猜一猜、特殊化、類比等途徑去尋找答案.因此沒有學生的積極參與，不可能對開放題作出充分的解答；沒有學生的積極參與，不可能有真正意義上的開放題教學.

2.注重學生探索的過程

研究表明人的成功，只有20%取決于智力因素，而80%則取決于非智力因素.“生成在于活動”.無論是人格建樹還是智慧生成，都要在其親身經歷的各種活動中自我體驗，自我感悟，自我建構.對開放題來說，獲得多種解答固然重要，但更重要的是獲得解答的過程，讓學生獲得的不僅是數學知識本身，更重要的是對數學活動的體驗、體會數學研究中的一些方法，加深對數學實質的理解，從而獲得學習數學的方法、研究數學的能力、探索數學的志向和獻身數學的精神.有的開放題靠一個人的力量在有限的時間內是不能完成的，必須依靠大家的力量和集體的智慧分工合作進行，在這種教學過程中，學生們不僅可以學到知識，而且學會了與人合作、與人交流、學會了互助，潛移默化地影響著一個人的情感、情趣和情操，影響一個人對世界的感受、思考及表達方式，并最終積淀成為人的精神世界中最深層、最基本的東西——價值觀和人生觀.

3.給學生提供充分的探索與交流的時間和空間

有效的學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式，在探索的過程中形成自己對數學的認識和理解，在與他人交流的過程中逐步完善自己的想法.開放題的教學中教師應把握好教學的密度，給學生充分的時間和機會以表達自己的想法，并對別人的不同做法與想法進行理解及必要的比較、評判，學會“數學地交流”可以使學生看清問題的各個方面，不斷對自己的思考過程進行反思，對各種觀念進行組織和重新組織，有利于學生建構能力的提高；開放題答案的多樣性使學生在不同水平的答案交流中共同討論，互相學習，不斷優化，最后得出較好的答案，從而培養學生精益求精的、不斷探索、追求卓越的精神，真正實現教育從獲得知識為首要目標轉變為首先關注人的發展.

4.加強反思意識的養成

反思是立足于自我之外的批判地考察自己的行動及情境的能力.“學而不思則罔，思而不學則殆”，只有將學和思有機結合起來才能構成完全的學習活動.教師教的目的是為了促進學生的“學”，不能只停留在顯性的數學知識上，還要充分挖掘其中的教育價值；其次，要給學生學法指導，使學生學會學習.解題后，要及時進行反思，對解題過程作理性思考，進一步建構數學知識、技能，領悟數學精神，體驗數學知識的產生過程，歸納數學思想方法，使對數學知識內容和所使用方法提升到本質的高度，形成對數學規律的理性認識，從而在以后的學習中自覺運用數學思想來解決問題.

5.讓學生參與構建開放題

學生的學習應當是一種創新的學習（包含“再創造”），學習的過程是一個創新的過程，是一個批判、選擇與質疑的過程，而不是復制、強化、記憶.因此，啟發學生從已有問題中通過運用歸納、分析或猜想（或者其他思想），構建新的數學問題，然后解決問題，逐步使“學生編習題”和“由學生提出新問題”將成為課堂教學不可缺少的環節.我們可以指導學生從以下方式構建開放性問題：保留條件，尋求多樣化的結論；減少或減弱條件，探求更一般的結論；增補條件，獲得特殊的結論；變化條件，思考結論的存在性和變通性；保留結論，尋求結論成立的條件；加強結論，追加條件；比較某些對象的異同、類比、引入參數等.

開放題教學是開放式教學的載體，是創新的突破口，其目的是要徹底改變教與學的方式，使數學開放題的教學逐步走向數學開放式教學.因此，開放題的教學應以創新為重要指標，側重解決問題的思路和策略，而不是問題的答案；側重優先思考的過程而不是簡單的結果，它的核心是突出教學過程的開放性，讓學生數學地思維，爭取在最大程度上促進學生的智力、操作能力及情感、意志的發展.