研究生入學考試中函數極限問題的解法

劉海峰　劉明華

【摘要】 就近年全國碩士研究生入學考試數學試題中出現的有關函數極限的問題進行分析，總結出解決此類問題常用的技巧，期望能對準備考研的學生有所幫助.

【關鍵詞】函數極限；洛必達法則；等價無窮小

極限是高等數學的一個重要概念，極限理論是現代微積分理論的基石.是否深刻理解極限概念是判斷理工科大學生對高等數學掌握程度的一個重要指標.正因如此，研究生入學考試數學試題幾乎每年必有函數極限的題目，而且考查內容非常全面，考查形式多種多樣.考生要想做對比較綜合的研究生考試題目，既需要對涉及的微積分學概念有深刻的理解，又需要具備靈活運用知識解決實際問題的能力.縱觀歷年試題，會發現極限題目大多可以用洛必達法則結合等價無窮小替換來解決.

一、預備知識

給出等價無窮小的定義及相關定理，詳見參考文獻[1].

定義1設變量α和α′均為某變量變化過程中的無窮小，若在該變化過程中limαα′=1，則稱α和α′為該變化過程的等價無窮小，記為α～α′.

定理1設在某變量的變化過程中，β～β′.若極限limα′β′存在，則極限limαβ也存在，并且limαβ=limα′β′.

定理2設函數f（x），g（x）都是當x→a時的無窮小，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0，如果極限limx→af′（x）g′（x）存在（或為無窮大），那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）.

定理1說明，在計算分式的極限時，可以將分子和分母用與之等價的無窮小替換，極限的存在性及其值不變.因為等價無窮小是一種等價關系，所以，只將分式的分子或分母之一用等價無窮小替換，以及將分子或分母的某個因式用與之等價的無窮小替換，整個分式極限的存在性和極限值均不會發生改變.定理2即洛必達法則.雖然這兩個定理形式上均是計算分式的極限，但定理2僅適用于計算函數極限，而定理1同時適用于函數極限和數列極限.二者皆是研究生入學考試的考點[2].下面通過實例說明綜合應用這兩個定理解決問題的方法和步驟.

說明雖然文獻[4]已經對變上限積分的等價無窮小替換做了總結，但考生未必熟悉，且那里總結[4]中的例子并非囊括了一切情形，所以考生須掌握分析此類問題的方法，方能在考試中隨機應變.此例中利用函數Taylor展式做等價無窮小替換也是研究生入學考試數學的重要考點.當式子含有反三角函數時，還可以通過變量替換將其化為含三角函數的分式，從而避免計算反三角函數的Taylor展式，如2013數學一No.1.

三、總結

根據上面題目的分析及解答，總結得出下面的解答技巧：首先判斷極限類型.根據實際情況，如不是分式形式的極限則通過等價變形將其轉化為計算“00”型不定式極限；然后根據分子和分母的形式，選擇合適的等價無窮小替換簡化分子或分母.如分式的分子或分母出現和、差的情況，則考慮利用初等函數的Taylor展式；如分子或分母含變上限積分，則考慮先用洛必達法則求導去掉積分，再利用等價無窮小替換；如分式中出現反三角函數，則可以先通過變量替換為三角函數，然后利用上述方法.具體問題可能重復交叉用到上面多個技巧.

鑒于研究生考試題量大，而答題時間有限，考生在下筆之前需先對題目進行多角度觀察全方位考量，在腦海里初步形成多種解法，再選擇一種相對直觀且簡潔的解法作答.

【參考文獻】

[1]高等數學（第六版）上冊，同濟大學數學系編[M].2007.4，北京：高等教育出版社： 57-59.

[2]全國碩士研究生招生考試數學考試大綱 [M]，教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[3]全國碩士研究生招生考試數學考試分析 [M]，教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[4]楊春玲，張傳芳.變上限積分的等價無窮小[J].高等數學研究，2004（6）： 43-44.