一類切換系統的穩定性

摘 要：研究了一類切換系統的穩定性。主要介紹了對該切換系統設計了PI控制器，給出了系統全局漸近穩定的充分條件，并給出了周期閉軌道存在的充分必要條件，同時討論了系統穩定性的其他情況。最后的數值仿真驗證了結論的正確性。

關鍵詞：切換系統；PI控制器；漸近穩定；周期閉軌道

引言

切換系統具有很廣泛的應用背景，在機器人行走控制、車輛控制等領域具有廣泛的應用。隨著科技的飛速發展，人們對切換系統越來越重視。

切換系統是混雜系統的一種，主要研究切換系統的建模、分析和控制等。目前切換系統的研究工作主要集中在穩定性與鎮定性當中，其他如優化控制設計、能控性、能觀性等也有研究。切換系統由各子系統以及切換規律構成，但它并不是由各子系統以及切換規律的簡單疊加。在切換系統中，子系統的穩定性不等于整個系統的穩定性，即使切換系統中的每個子系統均穩定，但在不同的切換規則的作用下，整個系統最終可能不穩定。反之，在某種切換規則的作用下，也可能出現每個子系統都不穩定但整個系統是穩定的情形。

文章研究了一類線性切換系統，在該系統中其平衡點唯一，通過設計PI控制器使整個切換系統全局漸近穩定，并對控制器參數不同條件下系統中可能出現的周期閉軌道及局部穩定等情形進行了討論。最后數值仿真驗證了理論的正確性。

1 預備知識

（Poincare-Bendixson準則）考慮系統■=f（x）設M是平面內的一個有界閉子集，使

（1）M不包含平衡點，或只包含一個平衡點，使雅克比矩陣[？墜f/？墜x]在該點有實部為正的特征根；（2）每條始于M的軌線在將來的所有時刻都保持在M內，那么M包含系統的一個周期軌道。

（Bendixson準則）如果在平面的簡單連通區域D內，表達式？墜f1/？墜x1+？墜f2/？墜x2不總是為零，且符號不變，那么系統■=f（x）在D內沒有周期閉軌道。

2 問題描述

考慮一類線性控制系統

■=Ax+Bu （1）

其中A=0 1-a -k，B=0b，D？奐R2是包含原點的定義域。k滿足k=g■，x1>dg■，x1？燮d，a、g1、g2為常數，b、d為正常數。

文章的控制目的是：設計一個控制器使切換系統穩定到原點。

為達到控制目的，文章采用PI控制器，其控制規律為

u=-kIx1-kpx2 （2）

其中kI、kp為正常數。

將其帶入式（1）得到系統

（3）

系統的平衡點為O（0，0），在平衡點處對系統線性化以后得到

（4）

特征方程為

（5）

特征根為

（6）

下面分四種情況討論控制器參數不同條件下系統的穩定性：

2.1 系統全局穩定

（充分條件）使系統（1）全局漸近穩定的充分條件是

（7）

證明：選取V=（bk■+a）x■■+x■■作為切換系統的備選公共李雅普諾夫函數。

當滿足kI>max0，-■，V（x）為正定的，且

當滿足kp>max0，-■，-■，在區域x1>d中，滿足bkp+g1>0時，■=-2（bk■+g1）x■■？燮0；在區域x1？燮d中，滿足bkp+g2>0時，■=-2（bk■+g■）x■■？燮0。當且僅x2=0時，■=0取等號，所以切換系統是漸近穩定的。

又因當 時， 徑向無界，所以切換系統是全局漸近穩定的。

2.2 系統中存在同一周期閉軌道

在切換系統中存在同一周期閉軌道的充分必要條件是：kI>max0，-■，max-■，0

證明：（充分性）

對于系統（1），設 ，其中

V=（bkI+a）x■■+x■■，c>0。顯然M是有界閉集，且只包含一個平衡點O（0，0）。由于滿足0

下面證明每條始于M的軌線都將保持在M中。

圖1 系統軌線有界示意圖

設此時系統軌線如圖1所示，軌線沿ABCDE方向運動，由于kp>max-■，0，由（1）中的證明可知，在區域x1>d中，系統是漸近穩定的，從M中一點A（-d，h）出發的軌線必與x1=-d線下半軸有另一交點設為B（-d，h′），且必有h′

當平衡點類型為結點時，對于任意給定的初始位置x0=[x10，x20]′，其解為

（8）

當平衡點類型為焦點時，其解為

（9）

其中 。

由上述方程的解可知，無論平衡點的類型如何，因為|x1|？燮d有界，則t？燮t′（x1）有界，從而有|x2|？燮？濁（t′（x1））有界，其中t′、？濁是關于x1的函數。所以從B（-d，h'）出發的軌線在區域|x1|？燮d中必然與x1=d有另

一交點C，如果c選擇的足夠大，則弧線 。同理，可以證明

弧線 也在M區域中。

綜上，只要c選擇的足夠大，從M中一點A出發的軌線ABCDE在將來所有時刻都將保持在M中，由Poincare-Bendixson準則可知，在M中必存在一個周期軌道。充分性得證。

（必要性）采用反證法。

假設 ，則在區域|x1|？叟d中， =bkp+

g2，在區域|x1|

同號，且不總為0，由Bendixson準則得，系統中不可能存在周期閉軌道。與假設相矛盾，所以結論成立。必要性得證。

2.3 系統局部穩定

在這種情況下需滿足的條件為： 。

當滿足這一條件時，可知在區域|x1|>d中，系統的特征根實部為正，是發散的，在區域|x1|？燮d中系統的特征根具有負實部，此時系統在平衡點附近區域中收斂。需要注意一點，即使從區域|x1|？燮d中出發的軌線也并非全都收斂到平衡點。

2.4 系統不穩定

當控制器參數選擇除上述三種情況下的其他情況時，系統都將不穩定。

3 仿真

考慮系統：

，其中 。

由于本例中g1>g2，將不會出現局部穩定的情形。當參數取不同值時，其系統軌線如下圖所示。當kp=6時，系統全局漸近穩定；當kp=3時，從任意初始位置出發的軌線最終收斂到同一周期閉軌道。

（1）kp=6，kI=2。 （2）kp=3，kI=2。

如果 ，將不會出現同一周期閉軌道的情形。當

kp=3時，系統為局部穩定。

（3）kp=9，kI=8。

4 結束語

文章研究了一類切換系統的穩定性，通過設計PI控制器并選擇合理的參數值可以確保切換系統全局漸近穩定。并考慮了控制器參數不同條件下可能出現的周期閉軌道等其他情況，最后的數值仿真驗證了文章結論的正確性。

參考文獻

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作者簡介：喬繼輝（1990，7-），男，河南省鞏義市，廈門大學，自動化專業碩士，研究方向：控制理論與控制工程。