面向學習者的機器人避障案例教學設計

摘要：本文對2012年全國大學生數學建模競賽D題進行了改

編，并從實際情況出發進行圖形數據處理、模型建立、模型求解。

關鍵詞：最短路徑 matlab 線圓模型 動態規劃

1 機器人避障問題轉化為數學問題

2012年全國大學生數學建模競賽D題為一道機器人避障問題，即要求機器人在給定區域內成功繞過障礙物并到達目標點。這道題目考查了大學生的綜合分析能力和解決問題的能力，要求其靈活運用數學知識解決現實生活中的具體問題。本文試圖通過建立數學模型的方式分析和解決這一問題。首先，我們先設計一張平面場景示意圖，規定其為機器人的限定活動區域。其中，場景圖的規格為800×800，設機器人的起點為原點，即（0，0）。假設我們在12個形狀不同的區域內設置了障礙物。機器人在活動時不得與障礙物發生碰撞，否則將無法正常行走。為進一步明確機器人的行走狀況和障礙物的分布特征，我們制作了表格。（表1）

求解問題一：以下給出了O到各目標點的可能路徑的最短路徑：

①如圖5，解決的就是O到目標點A的最短路徑問題，共有兩種路徑走法。線路（1）走法的路徑長度為471.0327；線路（2）走法的路徑長度為490.8325。所以OA的最短路徑走法為路線（1），路徑為471.0327。

②如圖6，圖中給出了四條可能的最短避障路徑。我們可以一一計算，并進行對比，最終得到O到B的最優路徑。線路（1）的路徑為824.6960。線路（2）的路徑為852.7。線路（3）的路徑為945.3287。線路（4）的路徑為1050.2591。所以線路（1）為OB的最短路徑，OB路徑為824.6960。

③如圖7，圖中給出了O到C的四條可能最短路徑，取最小結果路徑為最優路徑。計算線路（1）和線路（2）時由于有特殊的圓形障礙物所以建立了線圓結構模型五，結合模型一二三四可以求出各個路徑的長度。由計算結果可知道：路線（1）的路徑為1035.1；路線（2）的路徑為1026.33；路線（3）結合模型一二三可以求得的路徑為1090.1352；路線（4）結合模型一二三四可以求得路徑為1073.5。所以OC的最短路徑為線路（2）：1026.33。

④對于問題OABCO路徑的求解我們采用模型六的方法給出了兩種可能的最短路徑。

結合上述幾個模型可得出：線路（1）的路徑長度為2620.5；線路（2）的路徑長度為2714.5，所以OABCO的最短路徑為線路（1）所求長度為2620.5。

求解問題二：我們首先可知，當弧度越大時其速度就越快，但是當弧度大到一定范圍時總長度L就會越長，此時就會影響最短時間。設O1（x，y）半徑為R，因為我們假設最小危險距離為10，所以我們先設OO1=a、O1A=b、OA=c、∠OO1A=j1、∠OO1E=j2、∠AO1F=j3、∠EO1F=j4所以可知圓O1與外面一個小危險區域組成的圓記作O2相內切。并且為保證總長度L最短得出：最短時間 Tmin=94.2285。

參考文獻：

[1]譚永基.數學模型[M].上海：復旦大學出版社，2011.

[2]汪子蓮.機器人避障模型 [J].蘭州工業學院學報，2014（01）.

[3]顧幸方，陳晉音.移動機器人未知環境避障研究[J].傳感器與微系統，2011（05）.

作者簡介：

陳楊林（1974-），男，江西九江人，研究生，教師，研究方向：應用數學。