例談優化解題方法，回避繁瑣討論

崔純

在高中數學教學中，經常要用到的分類討論的思想成為數學教學的熱門話題，也是高考命題的熱點問題。高中生雖然了解分類討論思想，但缺乏靈活運用能力。事實上，有不少含有分類因素的數學試題，如果我們事先對問題深入研究，挖掘其潛在的信息，并能靈活地采用恰當的解題方法，則往往可以避免繁瑣討論步驟。下面我們通過幾個例題來談優化解題方法，從而巧妙回避繁瑣討論。

一、“反客為主”，變換主元法

數學中有的多元參數問題，若按常規思路確定主元，會導致問題復雜化，若能針對題目的結構特征，改變思考的角度，選擇某參變量為主元，反客為主，往往可使問題化難為易，迅速獲解。

例1.已知 ，若不等式 對上述 都成立，解此不等式。

解析：此題是關于 的一元二次不等式，通常對參數 進行討論求解，顯然繁瑣，不如將 看做主元，化歸成關于 的一元一次不等式，構造函數 。問題轉化成：當 恒成立。

故只要滿足 ，解得

所以原不等式的解集為

二、分離參數，利用函數性質求解

已知方程或不等式的解的特點，求參數的取值范圍，是高中數學的一個重點、難點，也是高考的熱點問題.此類題解法靈活多樣，其中將參數與變量分離于等式或不等式兩端，通過求變量函數的值域（最值）求參數的范圍，是一種不錯的方法。

例2.已知 是實數，函數 ，若函數 在區間 上有零點，求 的取值范圍。

解析： 在區間 上有零點

在區間 上有解

在區間 上有解

在區間 上有解

于是問題轉化為求函數 在 上的值域

設 則 ，函數

當且僅當 時，等號成立。

， ，

的取值范圍是

通過分離參數，轉化為求函數值域問題，巧妙回避討論，省時省力。

例3.奇函數 是R上的增函數，若對任意的 ，不等式 恒成立，求實數 的取值范圍。

解析：當 時，

是R上的奇函數、增函數

恒成立

= ， ， 的取值范圍是

解決此類題型時，一般先分離參數，化成 、 等恒成立問題，再利用 、 求出參數范圍，巧妙簡化解題過程。

三、挖掘內涵，有效回避討論

例4.已知函數 ，是否存在實數 使得函數 的定義域、值域都是 ？若存在，求出 的值；若不存在，說明理由。

解析：常規的思維是對 和 （函數 的對稱軸是 ）的大小進行繁瑣的討論，惟其如此，才能確定函數的值域。但如果我們先看看函數 的值域， ，即函數值沒有小于 的，即 ，從而函數 在區間 上是增函數，所以

解得 又因為 ，所以 的值不存在。

此題依據“函數在整體區間上的最小值不大于在局部區間上的最小值”這一事實，挖掘出 ，從而避免討論函數在所給區間上的單調性。

四、“正難則反”，利用補集思想

解題一般總是從正面入手，習慣正向思維，但有些數學問題如果從正面入手，求解繁瑣、難度較大。在解題時，可調整思路，從問題的反面入手，探求已知與未知的關系，這樣就能化難為易，化隱為顯，這就是“正難則反”的解題策略。即考慮問題的相反方面，結合補集思想，利用“對立事件”，往往能開拓解題思路、簡化運算過程，下面舉例說明。

例5.已知集合A和集合B各含9個元素。 含有2個元素。求同時滿足下面條件的集合C的個數。① ，且 中含有三個元素。②

解析：因為 較為抽象，如果直接法解此題，要找到分類標準，依次進行分類分步求解。而 容易掌握，故從條件的反面入手，顯得簡捷。

的元素個數16個，故滿足條件①的集合 的個數共 個，不滿足條件

②，即 的集合 的元素，只能從屬于B但不屬于A

的7個元素中取得，有 個，因此所有集合 的個數是 - =525（個）

例6.隨機抽取的9個同學中，至少有2個同學在同一月份出生的概率是多少？（默認每個月的天數相同，結果精確到0.001）.

解析：正面解答過程繁瑣，所以我們從對立面入手。設事件 為“至少有2位同學在同一月出生”，則 的對立事件 為“所有人出生的月份“所有人出生的月份均不相同”，則

五、數形結合，“以形助數”

華羅庚先生說：“ 數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好 ”。數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解。在高中數學解題過程中，“數”與“形”是相互依賴、相互滲透的。因此，在解題過程中要將二者結合起來，才能更好地提高解題的正確性和效率。數形結合在中學數學中主要應用于以下幾 個方面：集合運算問題、方程根的個數問題、三角函數問題、最值問題、線性規劃問題、復數問題和不等式證明等。這里我們就方程根的個數問題給予舉例說明。

例7.關于 的方程 只有一個實根，求 的取值范圍。

解析：本例轉化為兩個函數 和 的圖像只有一個交點的問題。由于函數 過定點（0，1）且繞定點（0，1）轉動的直線，借助于圖像可直觀看出與半圓一個交點時斜率 的范圍。

如圖所示，可以直觀看出 的取值范圍為：

數學在漫長的發展過程中不僅建立起嚴密的知識體系，而且形成一套行之有效的思想方法。巴甫洛夫有一段名言：“科學是依賴于方法的進步為前提的”，這句話很有哲理。方法每前進一步，和每上一個臺階一樣，它會為我們展開更為廣闊的視野，因而看到前所未有的現象。當前高考命題中層出不窮的新穎題型對思維模式、思維容量、思維層次的要求較高。因此，運用數學思想，優化解題方法，勢在必行。這也要求教師在教學過程中，注意對數學思想方法的引導和滲透，讓學生在潛移默化中接受。

參考文獻：

[1]李正興.高中數學實戰秘笈[M].上海科學普及出版社，2012，6.

[2]郝世富，張振華.避免或簡化分類討論的方法和技巧[J].數學教學通訊，2004（12）：95-97