定點線與拋物線相交問題引發的探究與思考

趙萬雙

【摘要】本文從浙江省學業水平考試中一道關于定點線與拋物線相交的題目出發，從不同視角、原因分析、引申拓展等幾個方面對該題進行探究，得出了定點線與圓錐曲線相交時的定值結論.

【關鍵詞】定點線;拋物線;相交;探究

【背景】2013年浙江省學業水平考試已結束，數學試卷第41題留給我們的思考卻遠未停止，研究該題可以指導我們今后的復習工作.考后本人對兩個班級的學生成績作了統計，該題得分率只有0.45，針對原題結論結合學生解題情況，本文從不同視角、原因分析、引申拓展等幾個方面對該題進行探究，得出了定點線與圓錐曲線相交時的定值結論.

1.原題呈現

如圖，過點P（0，2）的直線交拋物線y=x²于點A，B，

（1）求x_Ax_B的值;

（2）動直線AB及拋物線上動點C（不同于點A，B），設直線AC與直線BC相交直線y=m分別于點M，N，問：是否存在常數m，使得xMxN為定值？若存在，求m的值;若不存在，說明理由.

（1）分析 根據已知條件，設過點P（0，2）的直線的斜率為k（k的值存在），則直線AB方程為y=kx+2，聯立方程組得：y=kx+2

y=x2，整理得：x2-kx-2=0，所以xAxB的值為-2，

視角1：設點的坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），則斜率kAC=y1-y0x1-x0=x12-x02x1-x0=x1+x0，kBC=x2+x0，直線AC的方程是y-y1=（x1+x0）（x-x1），與直線y=m聯立方程組得到：y=m

y-y1=（x1+x0）（x-x1），

所以x=m-y1x1+x0+x1=m-y1+x02+x0x1x1+x0=m+x0x1x1+x0，

所以xM=m+x0x1x1+x0，xN=m+x0x2x2+x0，

所以xMxN=（m+x0x1）（m+x0x2）（x0+x1）（x0+x2）

=m2+mx0（x1+x2）+x02（x1x2）x02+（x1+x2）x0+x1x2

=m2+mkx0-2x02x02+kx0-2，

當m=-2

m2=4，得到m=-2時，使得xMxN=-2.

視角2：向量法

設點的坐標為M（xM，m），N（xN，m），OM·ON=（xM，m）·（xN，m）=xM·xN+m2，由方法1可知：xM=m+x0x1x1+x0，xN=m+x0x2x2+x0，

所以xMxN+m2=（m+x0x1）（m+x0x2）（x0+x1）（x0+x2）+m2

=m2+mx0（x1+x2）+x02（x1x2）x02+（x1+x2）x0+x1x2+m2=m2+mkx0-2x02x02+kx0-2+m2

=m2-2x20+（m2k+mk）x0-m2x20+kx0-2，

當m2-2=m2+m=m22時，解得m=-2，使得xMxN=-2.

思考：在不同視角下為何只存在一個值m=-2，使得x_Mx_N=-2. m的取值是否與點P的坐標0，2有關系呢？

2.定值原因分析

如圖，過點（0，a）的直線交拋物線x²=2_py（p>0）于點A，B.

（1）求x_Ax_B的值;

（2）動直線AB及拋物線上動點C（不同于點A，B），設直線AC與直線BC相交直線y=m分別于點M，N，問：是否存在常數m，使得x_Mx_N為定值？若存在，求m的值;若不存在，說明理由.

分析 設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線的頂點的坐標是O（0，0），連接直線OA，OB，

則斜率之積kOAkOB=y1x1y2x2=14p2x1x2，經過定點（0，a）的直線交拋物線x2=2py（p>0）于點A，B，點A，B在拋物線上任意移動及拋物線上任意動點C（不同于點A，B），斜率之積kOAkOB始終是一個定值.所以才有xAxB的值是一個定值.存在一個m=-a，存在直線y=-a（僅與定點有關），使得xMxN=-2pa.

3.原題引申

在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，點A，B是它的左右頂點，點C（不同于點A，B）是橢圓上的任意一點，連接直線CA，CB，不難發現斜率之積kCAkCB=-b2a2（定值），如果直線CA，CB與直線x=m分別相交于點M，N，是否存在常數m的值，使得yMyN為定值？若存在，求m的值;若不存在，說明理由.

分析 設點A-a，0，Ba，0，C（x0，y0），（x0≠±a），所以kCA=y0x0+a，kCB=y0x0-a，直線AC的方程是y+a=y0x0+a（x+a），與直線x=m聯立方程組得：x=m

y=y0x0+a（x+a），化簡得：y1=y0（a+m）x0+a，同理y2=y0（m-a）x0-a，所以y1y2=y02（m2-a2）x02-a2，又點C在橢圓上，所以有x02a2+y02b2=1，x02-a2=-a2b2y02，所以y1y2=-b2（m2-a2）a2，顯然有m=±a2c時，yMyN=-b2a2a4c2-a2=-b2a2c2-1=-b4c2（定值）.

4.結論拓展

在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中，點A，B是它的左右頂點，點C（不同于點A，B）是雙曲線上的任意一點，連接直線CA，CB，不難發現斜率之積kCAkCB=b2a2（定值），如果直線CA，CB.

與直線x=m分別相交于點M，N，顯然有m=±a2c時，y1y2=-b2a2a4c2-a2=b4c2（定值）.

這里不再熬訴.

5.統一結論

結論1：過點（0，a）（a≠0）的直線交拋物線x2=2py（p>0）于點A，B，

動直線AB及拋物線上動點C（不同于點A，B），設直線AC與直線BC相交直線y=m分別于點M，N，存在一個m=-a，存在直線y=-a（僅與定點有關），使得xMxN=-2pa.

結論2：在圓錐曲線f（x，y）=0中，點A，B是它的左右頂點，點C（不同于點A，B）是圓錐曲線上的任意一點，連接直線CA，CB，不難發現斜率之積kCAkCB為定值，如果直線CA，CB與直線x=m分別相交于點M，N，存在m=±a2c時，使得y1y2=±b4c2（定值）.

6.思 考

1.在全國各高校放開自主招生和三位一體招生的背景下，數學學業水平考試越來越受重視，數學老師重視對學科水平考試的試題尤其是定點線與圓錐曲線相交的有關問題的研究具有極大的現實意義.

2.用類似科學研究的方法去解決問題的方式，提出結論，并進一步推理、論證解決問題，通過過定點直線與圓錐曲線相交結論相關性的分析，得出圓錐曲線中的統一結論.通過這種積極探究的方式，教師可以獲得數學發現和創造的成功體驗.

3.對定點線與拋物線相交問題進一步探究，通過觀察、類比、歸納，體現了數學的思考是自然的過程，對幾個新的結論的推理、論證，有利于激發一線教師的教學熱情，在“一題多解，一題多變，多題歸一”的探究過程中領悟數學思想方法，把握數學本質.

【參考文獻】

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