“由點及面，多向輻射”

杜永溪

【摘要】 教師在數學復習過程中，應該重視對學生鞏固所學的知識由“量”到“質”的飛躍這一轉化過程.“由點及面，多向輻射”的復習方式就是熟悉基本圖形，通過圖形變換，把有關知識通過圖形演變讓學生分析探究，由圖形得出性質，多向輻射，牽出知識和思想方法的紅線，使學生形成知識系統和方法系統，形成數學思想和解決問題的能力.

【關鍵詞】 基本圖形，分析圖形，培養能力

許多九年級學生反映不會復習幾何，以為幾何復習就是做題，把復習等同于做題.但是有同學做了大量的幾何題，復習的效果卻不明顯，在面對幾何問題時仍然沒有多少把握，缺乏分析幾何問題和解決問題的方法和能力.而這些方法和能力又是中考復習階段必須形成的.

該如何有效組織中考幾何復習呢？本人做了一種新嘗試——由點及面，多向輻射.這是基于幾何基本圖形的復習方法，經過連續兩年中考復習的實踐，取得了不俗的效果.

下面我從特殊平行四邊形——菱形的復習介紹這種復習方法.

在復習菱形時，我從一個一般的菱形入手：

問題1：當我們看到一個菱形時，你能從圖形中得到哪些性質？其中有哪些邊角的特殊數量關系？如圖1.

此時學生能把菱形的邊角性質做一個回顧.

然后在圖1的基礎上添加一條對角線AC，如圖2，有了下一步思考.

問題2：在圖2中你能得到哪些圖形和性質？

學生容易發現圖中△ABC≌△ADC，∠ACD = ∠ACB = ∠BAC = ∠DAC.

接著連接BD交AC于點O，如圖3.

問題3：在圖3中你又能得到哪些特殊圖形和性質？

學生經過觀察和分析不難發現，圖中有四個全等的直角三角形、兩對全等的等腰三角形、AC與BD的垂直平分關系等結論.

以上三個問題旨在引導學生回顧復習菱形的重要性質，以及啟發學生能通過觀察分析圖形，發掘其中的特殊圖形和數量關系，學會讀圖.

此后，我從兩個方面進一步變換圖形，挖掘性質，達到多向輻射的復習目的：

問題4：在圖3的條件下，你有什么方法計算菱形的面積？

大部分學生能想起通過對角線計算菱形面積的公式.然后老師請同學分析此公式的推導方法，進一步加深對角線分割菱形轉化為特殊三角形的理解.

問題5：如圖4，四邊形ABCD中，AC⊥BD，你能計算四邊形的面積嗎？并分析你的方法.

學生通過剛才菱形面積的計算方法，不難遷移聯想到此四邊形也能利用對角線來計算面積.通過問題5的思考學生能從特殊四邊形過渡到具有相同特征的一般四邊形，培養了學生思維的遷移能力和靈活性.

再回到圖3.

問題6：在圖3的基礎上取BC中點E，連接OE，得到圖5，請認真分析，你能得出哪些重要的結論？

這個問題很開放，結論很多，旨在鍛煉學生觀察分析圖形的能力，給學生幾分鐘時間認真分析歸納，得到了許多有益的發現：OE為△ABC和△BCD的中位線，OE∥AB∥CD，OE = ■AB = ■CD，OE = CE = BE = ■BC，△OEC和△OEB為等腰三角形，△OEC∽△ABC，等等.

在此基礎上設置兩個具體的問題，鞏固學生剛才發現的結論：

問題7：如圖5，若OE = 2，則菱形的周長為 ；

若AC = 6，BD = 8，則△OCE的周長為 ，面積為 .

在圖5的基礎上再進一步.

問題8：取CD 、AD、AB的中點F、G、H，并連接EF、FG、GH、EH，得到圖6，判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

還可以把圖形一般化，進一步培養學生思維的遷移能力.

問題9：如圖7，四邊形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H為四邊中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論.

到此時，我們把菱形與三角形的有關知識聯系起來了，既復習菱形的有關性質，也再次鞏固了矩形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、直角三角形以及三角形中位線的有關知識和方法，達到多向輻射的目的.

并且在整個探究過程中，以圖形變換為主線，從一個最基本的圖形開始，不斷變換，增加線條，構造性質豐富的圖形.而每一步都只呈現圖形，設置開放性的問題，讓學生從已知條件出發邏輯地導出應有的結論，旨在培養學生觀察分析圖形的意識和能力，發展學生思維的廣闊性，把其中包含的特殊圖形和特殊性質發掘出來之后，就能輕松解決問題了.這種方式也是為了教會學生學習幾何的方法，就是要充分分析圖形，展開聯想，挖掘其中的基本圖形和數量關系.

回到圖1，繼續變換.

問題10：在圖1的基礎上，取菱形的邊CD、BC上兩點E、F，且DE=CF，得到圖8，判斷AE和AF的數量關系，并證明你的結論.

本題只需連接AC，證明一對全等三角形即可.

問題11：在圖8的基礎上連接EF，得到圖9，判斷△AEF的形狀并證明.

問題12：如圖8，若點E、F是邊CD、BC上的動點，滿足DE=CF，在兩點移動過程中，△AEF的形狀會發生改變嗎，請說明理由.

問題13：在問題12的基礎上，若菱形ABCD中，∠ABC = 60°，猜想△AEF的形狀并證明.

問題10-13是一組遞進式的問題，從一個菱形的最基本圖形出發，從判斷線段AE，AF的數量關系遞進到探究它們所在△AEF的形狀，從定點問題遞進到動點問題，由靜態過渡到動態，從特殊到一般，再從一般回到特殊，既復習考查了學生菱形和等腰三角形的有關性質，也訓練了學生構造全等三角形的基本能力，還培養了學生運動變化的數學思維.

問題14：在問題13的基礎上，若菱形的邊長為4 cm，求△AEF面積的最大和最小值.

問題15：在問題14的基礎上，當點E、F在什么位置時，△CEF有最大面積，求出最大面積.

問題14、15是在剛才的幾何圖形之上構造的“最大面積”問題，其中問題14中△AEF的最大（或最小）面積問題可以轉化為其邊AE（或AF）的最大（或最?。﹩栴}，連帶復習了垂線段最短的應用，技術難度不算大，但思維量不小，并且學生容易往構造關于△AEF面積的二次函數求最大（或最?。┲档姆较蛩伎?，這就難以解決了.而△CEF的最大面積問題可以有兩個思考方向，首先是在四邊形AECF中利用△AEF的最小面積，可以求出△CEF的最大面積（因為四邊形AECF面積是菱形面積的一半，為定值）；也可以直接過點F作EC的垂線段，如圖10，利用三角形的面積公式構造關系△CEF面積的二次函數，轉化為求函數的最大值問題，這是學生熟悉的思路.

設置以上兩個問題旨在溝通幾何與代數的聯系，這類問題是中考試題中常見的綜合性問題，訓練學生綜合運用數學知識的能力和意識，培養學生分析和解決問題的思維能力，達到由點及面、多向輻射的復習效果.

課堂的最后階段，我做了總結性表述：我們幾何的復習不能停留在記住幾個定理，也不能停留在會做幾個題目，而是要多從研究圖形出發，學會分析圖形，展開聯想，發掘其中的特殊圖形和位置、數量關系，運用有關性質，培養分析圖形和解決問題的能力.掌握了工具，有了思維能力，方能應對可能遇到的一切問題.

我國著名數學家華羅庚先生指出“學習有兩個過程，一個是從薄到厚，一個是從厚到薄.”前者是量的積累，后者則是質的飛躍.教師在數學復習過程中，不僅應該要求學生對所學的知識、典型的例題進行反思，而且還應該重視對學生鞏固所學的知識由“量”到“質”的飛躍這一轉化過程.“由點及面，多向輻射”的復習方式就是熟悉基本圖形，再作圖形變換，引導學生聯想與探索，把有關知識通過圖形演變讓學生分析探究，由圖形得出性質，多向輻射，牽出一條條知識和思想方法的紅線，使學生形成知識系統和方法系統，形成數學思想和解決問題的能力，達到由量變向質變的飛躍.

【參考文獻】

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