用實數完備性定理證明閉區間上連續函數的最值性

張學茂 劉來山 陳玲 梁妮 劉晶 徐芳

【摘要】 用實數完備性的主要定理（致密性定理、閉區間套定理、有限覆蓋定理、聚點定理、單調有界原理）對閉區間上連續函數的最值性從多角度進行證明，深化了對實數完備性主要定理的應用與理解.

【關鍵詞】 完備性；最值；確界

【基金項目】 江蘇省大學生實踐創新訓練項目（項目編號201412917003Y）研究成果之一.

實數的完備性是數學分析學習和講授中的難點之一，華東師范大學編寫的數學分析將該難點進行了分散處理：第一章介紹了確界原理，第二章給出了單調有界定理，第三章給出了連續函數的性質，并得出了閉區間上連續函數的最值性. 第七章在介紹了實數完備性相關定理后，專門安排介紹了閉區間上連續函數的性質（有界性，最值性介值性、一致連續性等）并用多種方法進行了證明. 不少專家學者對閉區間上連續函數性質的證明進行了深入研究. 本課題組研究發現，閉區間連續函數的最值性雖最易直觀理解，但作為一門嚴謹的學科，必須對其進行嚴密的證明，這類證明方法在諸多文獻中鮮有發現. 教材中也僅利用確界原理對其進行了證明. 本文試用實數完備性的主要定理（單調有界原理、致密性定理、閉區間套定理、有限覆蓋定理、聚點定理）對閉區間上連續函數的最值性從多角度進行證明，深化了對實數完備性主要定理的應用與理解.

一、預備知識

引理1（確界原理）設S是非空數集，若S有上界，則必有上確界. 若S有下界，必有下確界.

引理2（有界性定理）若函數在閉區間[a，b]上連續，則f（x）在[a，b]上有界.

引理3（單調有界原理）在實數系中，有界的單調數列必有極限.

引理4（致密性定理）有界數列必含有收斂子列.

引理5（閉區間套定理）若{[a，b]}構成一個區間套，則在實數系中存在唯一的一點ξ，使得ξ∈[a，b]，n = 1，2，….

引理6（有限覆蓋定理）設H為閉區間[a，b]上一個（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個開區間來覆蓋[a，b]

最大（小）值定理：若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）在[a，b]上有最大值和最小值.

二、主要證明

5. 總 結

關于閉區間連續函數的最值性的證明，主要根據不同的定理進行有效的構造. 實數完備性的幾大定理，從不同側面對實數進行了有效的刻畫，這些定理是相互等價的. 對同一問題利用實數完備性不同的定理進行證明，一方面驗證了定理相互等價，另一方面可以促進學生加深對這些定理內涵及其應用的理解，從而激發其學習興趣，有效化解了數學分析中的難點問題.