淺析近三年上海市中考?jí)狠S題對(duì)相似三角形的考查

李溢

從2008年開始，上海市中考數(shù)學(xué)試卷命題范圍以二期課改教材為主，尤其是每年的壓軸題，充分體現(xiàn)了二期課改的理念，融合了較多的知識(shí)點(diǎn)，蘊(yùn)涵著多種數(shù)學(xué)思想方法.在考查的形式和內(nèi)容上呈現(xiàn)了一定的規(guī)律，基本上都是在動(dòng)態(tài)幾何背景下求函數(shù)解析式、求線段長，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；在變化中探究符合條件的存在性問題，體現(xiàn)對(duì)分類討論思想和方程思想的考查.從知識(shí)背景上來說，要求學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造相似三角形基本圖形，再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解題，這是上海市中考?jí)狠S題的顯著特征和一貫傳統(tǒng).基于此，筆者從“相似三角形”的角度上海市近三年中考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行分析和評(píng)述，進(jìn)而提出相關(guān)的教學(xué)建議.

一、試題解析與評(píng)述

（一）2013年壓軸題

在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)M，連接QP（如圖10）.已知AD = 13，AB = 5，設(shè)AP = x，BQ = y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（2）當(dāng)以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切時(shí)，求x的值；

（3）點(diǎn)E在邊CD上，過點(diǎn)E作直線QP的垂線，垂足為F，如果EF = EC = 4，求x的值.

本題第（1）問和第（3）問體現(xiàn)了對(duì)相三角形的考查.

（3）按照題意畫出圖形，如圖2所示，連接QE.

評(píng)述：該題第（1）問和第（2）問都是先證明相似再利用對(duì)應(yīng)邊成比例解題的模式，不同的是第（1）問的相似簡單易證，第（3）問的相似需要結(jié)合角平分線、三角形外角定理、矩形性質(zhì)等其他知識(shí).兩小問都有一定的運(yùn)算量，其中第（1）問是化簡代數(shù)式，第（3）問是解方程.

（二）2014年壓軸題

（1）當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求CP的長；

（2）連接AP，當(dāng)AP∥CG時(shí)，求弦EF的長；

（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長.

本題第（3）問體現(xiàn)了對(duì)相三角形的考查

解 （3）如圖4進(jìn)行構(gòu)圖

由前兩題過程可知∠B = ∠ACB < 45°，而∠GAE = ∠B，∠GEA > ACB，∴ ∠GAE = ∠GEA不評(píng)述：本題的第（3）問難度在于等腰三角形存在性問題的分類討論，在得出唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系之后，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例成為求出AE的等量關(guān)系，雖然該題中的相似三角形顯而易見，但還是充當(dāng)了臨門一腳的關(guān)鍵角色，需要學(xué)生有把相似三角形性質(zhì)和方程思想緊密結(jié)合的意識(shí).

（二）2015年壓軸題

已知：如圖5，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ = OP，AP的延長線與射線OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），AB = 20，cos∠AOC = ■.設(shè)OP = x，△CPF的面積為y.

（1）求證：AP = OQ；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)△OPF是直角三角形時(shí)，求線段OP的長.

本題第（1）問、第（2）問體現(xiàn)了對(duì)相三角形的考查.

解 如圖6進(jìn)行構(gòu)圖，連接OD，作PH⊥AB

（1） ∵ AO = OD，∠AOC = ∠C = ∠ODQ，OP = DQ，

∴ △AOP ≌ △ODQ，∴ AP = OQ

（2）由cos∠AOC = ■可得OH = ■x，PH = ■x，

∴ S△AOP = ■AO·PH = 3x，

∵△PFC ∽ △PAO，∴ ■ = ■2，即■ = ■2，化簡得y = ■，定義域?yàn)椤?< x < 10.

評(píng)述：本題的2第（1）問罕見的在壓軸題里考查了全等三角形，這需要學(xué)生會(huì)利用結(jié)論進(jìn)行分析，要證線段相等，全等是最常見的思路，另外要會(huì)利用半徑相等的隱含條件.全等是特殊的相似，所以，第（1）問也算是對(duì)相似三角形的考查.第（2）問研究三角形面積問題，這時(shí)最近幾年上海市一模、二模及中考的一個(gè)命題趨勢(shì)，三角形面積可以利用面積公式直接計(jì)算、可以利用割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，也可以通過相似三角形面積比等于相似比的平方進(jìn)行計(jì)算，本題屬于第三種.2015年壓軸題對(duì)于相似三角形的考查，給人耳目一新的感覺.

二、對(duì)教學(xué)的啟示

縱觀近三年上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題對(duì)相似三角形的考查，似乎走出了這樣一條軌跡： 對(duì)傳統(tǒng)考法的強(qiáng)化——對(duì)傳統(tǒng)考法的相對(duì)弱化——尋求創(chuàng)新考法，不管未來的軌跡會(huì)何去何從，相似三角形在上海市中考?jí)狠S題中始終是知識(shí)層面的主角，結(jié)合上述三年的分析，可以給我們帶來以下教學(xué)啟示：

（一）領(lǐng)悟不同問法的本質(zhì)

從壓軸題題干的問法來看，無論是求函數(shù)關(guān)系、求線段長、求面積、解決存在性問題，其本質(zhì)都是發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造相似三角形基本圖形，在利用相似三角形的性質(zhì)代入代數(shù)量的過程中，如果主要是雙變量，那就是化簡代數(shù)式；如果是單變量，那就是解方程.要讓學(xué)生體會(huì)其中的數(shù)形結(jié)合思想：題目中蘊(yùn)含的幾何基本圖形，其實(shí)就是方程模型中的等量關(guān)系.

（二）領(lǐng)悟“圖形與幾何”教學(xué)的核心

要在壓軸題解題過程中快速地找到服務(wù)于代數(shù)模型的幾何模型，需要學(xué)生進(jìn)行這樣兩個(gè)思維過程：基于條件，我可以得到哪些基本圖形；基于問題，需要我構(gòu)造怎樣的基本圖形.這就是整個(gè)初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”這一重要板塊的核心知識(shí)和核心技能：熟悉基本圖形和會(huì)利用綜合法分析法進(jìn)行推理.教師無論在幾何教學(xué)的新授課、習(xí)題課還是復(fù)習(xí)課中，都要明確這兩個(gè)基本任務(wù)：要訓(xùn)練學(xué)生在復(fù)雜圖形和非常規(guī)圖形中找到基本圖形的能力，要訓(xùn)練學(xué)生用“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”的方法分析問題的能力.