夯實(shí)基礎(chǔ)?提升能力

周新偉?吳利華

現(xiàn)在的高考側(cè)重考查學(xué)生的基本知識(shí)、基本技能和基本方法，其中對(duì)能力的考查尤為重要。這些要求也成就了高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的要求：重點(diǎn)是基礎(chǔ)， 指導(dǎo)思想是全面、系統(tǒng)、扎實(shí)、靈活。通過一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生需要掌握基本概念、性質(zhì)、定理及其一般應(yīng)用。一輪復(fù)習(xí)過程除了有簡單的知識(shí)回顧，還有大量的題目訓(xùn)練，如何從各個(gè)環(huán)節(jié)入手，全面復(fù)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)后對(duì)概念的理解更全面、更深刻，同時(shí)擁有類題辨析能力，對(duì)一些存在的問題輕松地解決和擊破，避免收效甚微的題海戰(zhàn)，就成為擺在我們面前的大問題。

一、 注重概念的回顧

概念是對(duì)某知識(shí)的描述，這種描述包含了此知識(shí)的特征、特性、使用的條件等，對(duì)概念的深刻理解是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)。對(duì)概念的回顧，不僅是陳述概念的內(nèi)容或是指出關(guān)鍵字，而且是對(duì)概念的正確理解和靈活運(yùn)用。我們只有對(duì)概念充分理解，才能深入了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，一些改頭換面的題目才能迎刃而解。因此在一輪復(fù)習(xí)中對(duì)概念的回顧不能草草了事。

例1：已知函數(shù)f（x）=x+lnx，g（x）=1+lnx，h（x）=ex+x的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系？

問題分析：當(dāng)這道題出現(xiàn)在練習(xí)中時(shí)，很多同學(xué)表現(xiàn)出一種無所適從的狀態(tài)，分析發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生障礙的主要原因還是因?yàn)楦拍畈磺逦春螢榱泓c(diǎn)，書中為零點(diǎn)的判斷提供了什么依據(jù)。教材在必修1（P74～P75）明確了零點(diǎn)的概念：我們把使函數(shù)y=f（x）的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。此外，書中還有我們俗稱的零點(diǎn)存在性定理：一般的，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）﹤0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)。結(jié)合起來，我們可以總結(jié)出零點(diǎn)判斷的三種方法：①算（求出零點(diǎn)）；②看（看圖象上兩函數(shù)的交點(diǎn)），③驗(yàn)（用端點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證）。這三種方法可以恰如其分地用于本題三個(gè)零點(diǎn)的判定大小上。

可見，對(duì)概念不僅僅是記住，更重要的是理解和運(yùn)用。教師在給學(xué)生復(fù)習(xí)概念時(shí)，一方面復(fù)述其內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵語句，另一方面要借助于例題幫助學(xué)生理解概念的實(shí)質(zhì)含義，引導(dǎo)學(xué)生正確地使用。

二、注重書本習(xí)題的開發(fā)、引申、整合

例2：必修4——P83：已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）用向量方法求l的方程。

必修4——P84，第8題（閱讀題）： 設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）為直線上兩點(diǎn)，則向量P1P2及與它平行的向量都稱為直線的方向向量。當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，—P1P2，即（1，k）也是直線的方向向量，其中k是直線的斜率。

如果直線經(jīng)過點(diǎn)P1（x1，y1），且它的方向向量是（1，k），試用向量共線的方法推導(dǎo)直線的點(diǎn)斜式方程。

必修4——P87：在解析幾何中我們學(xué)習(xí)了直線方程，知道Ax+By=0表示平面內(nèi)一條直線l，若將直線方程寫為向量的坐標(biāo)運(yùn)算形式，便有（A，B）·（x，y）=0，其中（x，y）表示直線l上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)，也即向量OM的坐標(biāo)。令n=（A，B），則n⊥OM。我們把與直線l垂直的向量稱為直線l的法向量，故n=（A，B）是直線Ax+By=0的一個(gè)法向量。令v=（-B，A），因?yàn)関·n=（-B，A）·（A，B）=

0，所以v⊥n。也就是說，v=（-B，A）是直線Ax+By=0的一個(gè)方向向量（參見習(xí)題2.5第8題）。據(jù)此式分別求出直線x+y=0及y=kx（k≠0）的一個(gè)法向量和一個(gè)方向向量。

必修2——P106第7題：已知圓C的方程是x2+y2=r2，求證：經(jīng)過圓C上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程是x0x+y0y=r2。

整合后，以書中的例題作為引論，引出了以向量作為背景的題：

例3：點(diǎn)P是直線l：y=x+3上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），點(diǎn)C（0，3）在直線AB上的射影為H，求OH的最大值。

三、注重易錯(cuò)題的整理

易錯(cuò)題的整理是每個(gè)高三學(xué)生都會(huì)去做的工作，做這樣的工作可以彌補(bǔ)在知識(shí)上的缺漏，也是對(duì)自己容易犯的錯(cuò)誤起到一個(gè)提醒的作用。但這個(gè)過程如果僅僅靠學(xué)生進(jìn)行，我們往往會(huì)看到錯(cuò)題本“內(nèi)容豐富，毫無章法”，容易使錯(cuò)題本“流于形式”，甚至出現(xiàn)錯(cuò)題本上的問題本身就是錯(cuò)的。所以老師的引導(dǎo)和參與在一定程度上也是需要的。

第一，加強(qiáng)檢查。通過檢查可以督促學(xué)生的完成；第二，加強(qiáng)老師的指導(dǎo)，老師可以就某一部分提出整理要求，要求學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分類、整理、變式、延伸，也可以就在整理過程中出現(xiàn)的優(yōu)秀同學(xué)的整理做出點(diǎn)評(píng)，給出示范，在錯(cuò)題整理時(shí)可以加入錯(cuò)因分析等；第三，加強(qiáng)同學(xué)間的溝通，同學(xué)間錯(cuò)題的共享可以讓學(xué)生引以為戒。

對(duì)個(gè)別學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，還要進(jìn)行一些單獨(dú)的輔導(dǎo)，要求學(xué)生將易錯(cuò)題（僅僅是題目）摘抄，兩個(gè)星期或更長的時(shí)間之后再訂正，若訂正錯(cuò)了，再重復(fù)以上步驟，直到訂正對(duì)為止。這樣能學(xué)生的錯(cuò)題越來越少，知識(shí)點(diǎn)越來越清晰，各方面的能力越來越得到提高。

筆者在教學(xué)過程中曾把經(jīng)典錯(cuò)題整理后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)，成效顯著，也避免學(xué)生花費(fèi)太多時(shí)間和精力面對(duì)眾多習(xí)題無所適從。

四、注重習(xí)題講解的策略

同樣的教案，不同的上課形式（或者說上課風(fēng)格），顯然也會(huì)產(chǎn)生很大差異的教學(xué)效果。不同的教學(xué)方式是產(chǎn)生差異的主要因素，比如，是講解還是練習(xí)？是講多還是講少？是講快還是講慢？是口述還是板書？這需要教師在習(xí)題講解中注重講解的策略。

1.先宏觀，再微觀

一輪復(fù)習(xí)上課時(shí)有時(shí)需要向?qū)W生先作宏觀說明，如章節(jié)結(jié)構(gòu)框架或本課主題。

以代數(shù)函數(shù)為例，可向?qū)W生作如下說明，中學(xué)階段主要有十大函數(shù)（三角函數(shù)暫不列其中）：一次函數(shù)、二次函

數(shù)、三次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)及一次分式函數(shù)（平移可化為反比例函數(shù)）、“雙曲線型”函數(shù)（y=ax+—）、絕對(duì)值函數(shù)（一個(gè)或多個(gè)和與差）、無理函數(shù)（一個(gè)或多個(gè)和與差）。由此十大函數(shù)當(dāng)然還可變化出綜合形式的函數(shù)，如絕對(duì)值與其他函數(shù)相結(jié)合而形成的新函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與一次、二次、分式等函數(shù)結(jié)合形成的新函數(shù)。學(xué)生只有在整體上認(rèn)識(shí)到各知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，才能綱舉目張。若對(duì)以上每一種函數(shù)，都能掌握一些典型的例題，則可使學(xué)生在宏觀上認(rèn)識(shí)初等基本函數(shù)。

例4：函數(shù)y=xex（x≤1）的值域?yàn)開________。

此題學(xué)生往往不能正確畫圖，因而導(dǎo)致答案出錯(cuò)。

求導(dǎo)已根深蒂固地根植于學(xué)生腦海中，求導(dǎo)的作用是什么？只刻畫函數(shù)單調(diào)性，而函數(shù)的正負(fù)性、漸近線等都是學(xué)生容易忽視的地方。

通過宏觀結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí)，再用一些典型的問題進(jìn)行訓(xùn)練，就能幫助學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu)上的框架，避免犯一些低級(jí)錯(cuò)誤。

2. 先具體，再抽象

如以下問題。

例5：函數(shù)y=—（ab≠0）的值域?yàn)開__________。

一開始就讓學(xué)生研究這樣的問題，一是學(xué)生不感興趣，覺得很難；二是學(xué)生也不知從何處入手，尤其是基礎(chǔ)差的學(xué)生，備課中，不如從具體情況出發(fā)。

（1）函數(shù)y=—的值域?yàn)開__________；

（2）函數(shù)y=—的值域?yàn)開__________；

最后，作總結(jié)，一般的，函數(shù)y=—（ab≠0）的值域?yàn)開_______。

這樣的模式，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，使學(xué)生覺得輕松，自然地掌握所學(xué)知識(shí)，又提升了學(xué)生研究一般問題的總結(jié)能力。

3.先解決，再優(yōu)化

很多問題常有多種解法，教師要通過適當(dāng)分析，將學(xué)生在基礎(chǔ)年級(jí)學(xué)到的各種方法加以初步對(duì)比，使學(xué)生隱約認(rèn)識(shí)到不同情境下不同的最佳解題方案是什么，培養(yǎng)學(xué)生“高瞻遠(yuǎn)矚”的能力，更要關(guān)注解決問題的通性通法。

例6：已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)。當(dāng)0≤θ≤—時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）﹥

f（0）對(duì)所有θ∈[0，—]均成立？若存在，求所有適合條件的實(shí)數(shù)m，若不存在，說明理由。

此題在解決過程中利用單調(diào)性去掉f后換元，令t=cosθ，t∈[0，1]得到t2-mt+2m-2﹥0。很多學(xué)生沒有任何思考直接考慮二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸的位置，計(jì)算比較復(fù)雜且討論的情況有三種，而此題若考慮分離參數(shù)，則非常簡單。學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)中解決問題不能只是解決了就好，要指導(dǎo)學(xué)生注重審題，注重計(jì)算，注重細(xì)節(jié)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解題中一題多變、一題多解，注重方法的優(yōu)化、運(yùn)算的優(yōu)化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的能力。

五、注重學(xué)法指導(dǎo)及心理輔導(dǎo)

及時(shí)收集學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的困惑，學(xué)生的困惑如果積累得過多可能會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的恐懼心理，從而影響學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。教師只有平時(shí)及時(shí)解答學(xué)生的困惑，及時(shí)鼓勵(lì)，才能使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情持續(xù)下去。教師要鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)識(shí)自己，不論是平時(shí)做作業(yè)還是高考復(fù)習(xí)中的定時(shí)練習(xí)、模擬考試，做完后要認(rèn)真改錯(cuò)，通過對(duì)自己在練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤的糾正，使自己的能力得到提高。平時(shí)堅(jiān)持認(rèn)真改錯(cuò)，能力提高得快；反之則練習(xí)效果差，能力提高得慢。因此，我們說“錯(cuò)誤是最好的老師”，在復(fù)習(xí)中要利用好曾經(jīng)做錯(cuò)過的題目，尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，以吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。

教學(xué)中要注意分層教學(xué)。針對(duì)不同學(xué)生的實(shí)際水平，合理安排教學(xué)難度，有利于學(xué)生產(chǎn)生成功情感體驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)水平。

在復(fù)習(xí)過程中，難免會(huì)出現(xiàn)一些大大小小的失誤，也會(huì)遇到一些大難題，這時(shí)候，要么束手無策，要么費(fèi)了九牛二虎之力才能解決，要么問題雖然解決了，但自我感覺不好。 碰到這種情況不要緊張，不要輕易放過。數(shù)學(xué)問題博大精深，數(shù)學(xué)對(duì)每個(gè)學(xué)生來說都會(huì)有一定難度，所以要培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的心理承受能力，鼓勵(lì)學(xué)生勇往直前。同時(shí)還要注意輔導(dǎo)學(xué)生在考場上保持較好的心理狀態(tài)。

引導(dǎo)學(xué)生共同探討，形成“獨(dú)樂樂不如眾樂樂”的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的氛圍。在教學(xué)過程中，有意識(shí)地讓學(xué)生參與到教學(xué)中來也能取得意想不到的效果。

總之，高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)是一項(xiàng)巨大的工程，以上的各個(gè)環(huán)節(jié)都要認(rèn)真、細(xì)致地實(shí)施。經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生不僅能回顧基本知識(shí)，還能將知識(shí)不斷深化，理清知識(shí)之間的關(guān)系，逐步形成結(jié)構(gòu)體系，掌握解題的基本方法，最終實(shí)現(xiàn)全面提高解決問題的能力，從而達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)提升能力的效果。

（作者單位：江蘇省無錫市天一中學(xué)）