線性代數教學體系的改革與實踐探索

于麗

【摘 要】《線性代數》是培養學生用數學思想方法解決實際問題的能力的一門重要課程。本文從兩個方面對教學內容改革進行研究。首先，分析了傳統的線性代數課程教學中存在的問題;其次，分析了各章節之間的邏輯關系，從本質上明確本課程的教學主線，重新編排了教學內容，成功解決了矩陣求逆的初等變換法的位置滯后問題，同時對向量組的線性相關性教學內容的改革進行了探索，該工作合理減少了理論描述，降解了教學難點，較好地適應了現代教學環境。

【關鍵詞】線性代數 教學體系

【中圖分類號】O151.2???????????????【文獻標識碼】A???????????????【文章編號】2095-3089（2015）17-0107-01

線性代數是培養學生用數學的思想、方法解決問題的能力、素質的一門重要課程。隨著國家高等教育教學改革的不斷深入和科學技術的迅猛發展，課程教學內容、教學手段和教學方法不斷更新，也對線性代數課程教學提出了更高的要求;改變傳統的教學模式，積極開展教學模式的改革研究，建立以培養學生知識的綜合分析和創新應用為目標的線性代數教學體系和教學模式，已成為值得思考的重要問題

1.傳統《線性代數》教材內容結構與存在的問題

1.1大部分國內教材內容順序為行列式、矩陣、線性方程組、特征值和特征向量、二次型、向量空間與線性變換。這種模式的教材中對行列式、矩陣的基本運算都要花很長教學學時和力氣進行細致的講授。準備階段過于漫長，還沒有接觸到核心問題，很多學生在這個時候對這么課程已經失去興趣了。

1.2矩陣求逆的初等變換法介紹過于后置，造成該課程教學不流暢，對該課程教學造成一定的影響.如果能將該矩陣求逆法放在逆矩陣一節講授，能起到內容規整、教學一氣呵成的效果。但是由于初等變換沒有及時介紹，該方法不得不滯后，形成骨鯁在喉的局面，該問題的破解一直為相關老師教學所期盼。

1.3《線性代數》教學難點扎堆是現行教學的一大難點，一直沒能得到完滿的解決。學生學習到矩陣的秩和向量組的線性相關性這一部分時感覺概念、定理太多，教材編排凌亂，理論性太強，理論推導太多，難看、難懂，學習起來很吃力。

1.4?k階子式的引入給學習者一種為理論教學而存在，解題時幾乎用不到的感覺，從使用的角度來看，沒有必要存在，但沒有它理論又無法建立。

1.5《線性代數》教學主線不明確，教學中沒有將該課程使用的主要方法——初等變換法重點突出出來。

1.6《線性代數》教學學時一般介于32—40課時之間，由于該課程理論性強，實踐性強，教學中教師很難平衡兩者：過于注重該課程理論體系的完整性，則導致教學布局不盡合理，授課時言猶未盡，主要解題方法無法及時介紹;過于強調學生的動手能力則無法保證數學原理的傳授。現行的教材重理論輕應用，重公式推導輕數值計算，不符合工科數學“以應用為目的，以夠用為度”的原則。

2.?線性代數教學內容的重新確立

2.1考察《線性代數》各章內容，它們都涉及到線性方程組，因此在開始的第一章由具體方程組入手，從解線性方程組的過程中抽象出矩陣的概念、初等行變換的方法、說明線性方程組解的情況及其判別準則、引入矩陣方程，向量方程的概念、用線性表示解釋方程組的解。初等變換的方法是線性代數中主要的方法，第一章介紹并練熟對學生很有益處。另外很多內容可以依賴方程組的表達形式，所以方程組的內容放在第一章。雖然篇幅較長，但是適當分解了相關性部分的重難點，與方程組的概念銜接自然，易于學生理解。

2.2第二章行列式。從一元二次方程組的解法中引入行列式，進一步說明性質、按行列展開的方法、最終介紹克拉默法則解方程組。因為相關無關、向量組的秩、矩陣的秩、可逆矩陣等內容也可利用行列式來做某些判斷，因此，雖然內容上與上一章銜接不多，比較突兀，但是為了下面的內容，只能放在這里。

2.3第三章向量組的線性相關性。因為相關無關的概念在三維空間上有很明顯的幾何解釋，因此從幾何上的共面引出三個向量的相關無關概念，再把這個概念推廣到n維空間上去。線性表示實質就是研究齊次線性方程組和非齊次線性方程組，因此在教授時盡量聯系第一章的內容使得學生可以把內容聯系起來。在介紹線性相關、相關性質、向量的線性表示，向量組等價，等價性質后，內容作如下編排：

定理1.向量組初等變換前后等價。

定義1.若向量組中子線性無關向量組與原向量組等價，則稱此子向量組為原向量組的最大無關組。

定理2.向量組與它的極大無關組等價。

推論1?等價向量組的兩個最大無關組等價。

定理3.如果向量組1可以由向量組2線性表示，且1的數量大于2的數量，則向量組2線性相關。

推論1?等價的線性無關向量組所含向量的個數相等。

定義2?向量組的秩

定理4?向量組線性無關的充要條件是它的秩等于它所含向量的個數。

定理5?如果向量組1可以由向量組2線性表示，則1的秩小于等于2的秩。

推論1?等價的向量組有相同的秩。

定理6?矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。

定理7?矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關性，從而不改變矩陣的列秩。

定理8?任一矩陣的行秩等于列秩。

定義2?矩陣的秩

事實上，矩陣是由向量組構成，理論也表明矩陣的秩等于行向量組的秩及列向量組的秩。所以，如果能直接從向量組的秩入手介紹矩陣的秩將大大降低學生學習的困難，節約講授內容，減少講授課時，另一方面傳統的k階子式的引入給學習者一種為理論教學而存在，解題時幾乎用不到的感覺。從使用的角度來看，沒有必要存在，但沒有它理論又無法建立。這種設置從實用的角度和體系完整的角度都優于傳統課程體系，在第三章最后介紹線性方程組解的結構。

2.4?第四章矩陣的運算。從具體的應用問題入手介紹矩陣加法、數乘、乘法等運算。再從解矩陣方程的角度引入逆矩陣的概念以及其兩種求法，這里注意可以聯系幾何形式解釋乘法與向量組線性表示的關系。從而利用矩陣把之前的內容做一個串聯和總結。

2.5第五章特征值特征向量，特征值特征向量則是研究特殊的齊次線性方程組。

2.6第六章線性變換、坐標變換同樣研究線性方程組解的問題。因此，方程組特別是解方程組所使用的初等變換法應該成為本課程教學的主體和主線，它們貫穿整個教學始終。

3.實踐體會

在我院2012級重點班的線性代數教學中我使用了改革后的教學體系，在整個課程中分成12個大的知識板塊。在實踐中我感到，改革后的體系更加貼近實際應用的思路，在每個版塊開始我都會找一些具有特點的應用引例，使學生能夠看到線性代數這門課程究竟解決的是什么問題，以及如何解決的。比較傳統的教學體系更靈活更實用。