古典概率的計(jì)算方法探析

郭智蓮 楊海龍

【摘要】本文通過(guò)舉例給出古典概率中的常見(jiàn)題型，分析古典概率的內(nèi)在規(guī)律，闡述古典概率計(jì)算的方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】古典概型;隨機(jī)事件;概率;排列;組合

【基金資助】國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元青年基金項(xiàng)目（No.11526163），國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（No.61473181）.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程實(shí)用性很強(qiáng)，在經(jīng)濟(jì)、管理等領(lǐng)域用途很廣，是各專業(yè)必須掌握的一門(mén)重要基礎(chǔ)課程.概率統(tǒng)計(jì)史上最初研究的隨機(jī)試驗(yàn)是古典概型，因此，古典概率的計(jì)算是概率論的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是重要內(nèi)容.然而古典概型形式靈活多變，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，很難掌握其內(nèi)在規(guī)律.本文通過(guò)梳理分析，總結(jié)出幾類常見(jiàn)古典概率的解題方法.

一、預(yù)備知識(shí)

下面給出本文所需的一些基本概念和結(jié)論，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1-4].

定義1[1-3] （古典概型）設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是樣本空間，如果滿足以下兩個(gè)條件：

（1）樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，

（2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)是等可能性的，則稱隨機(jī)試驗(yàn)E為古典概型.

注1 上述兩條分別可以總結(jié)為：有限性和等可能性.

設(shè)A為古典概型中的隨機(jī)事件，則A發(fā)生的概率為

P（A）=A中包含的樣本點(diǎn)數(shù)Ω中所含樣本點(diǎn)總數(shù).

注2 從上述公式可以看出，計(jì)算古典概率的基礎(chǔ)是計(jì)數(shù)，下面列舉出常用計(jì)數(shù)原理和方法[4].

1.加法原理：設(shè)完成過(guò)程A有n種不同方式，若第i種方式包含mi種不同的方法，那么完成過(guò)程A共有m1+m2+…+mn種不同的方法.

2.乘法原理：設(shè)完成過(guò)程A需要有n個(gè)步驟，第i個(gè)步驟含有mi種不同的方法，則完成過(guò)程A共有m1×m2×…×mn種不同的方法.

3.排列

（1）可重復(fù)排列：在有放回抽取中，從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素進(jìn)行排列，其總數(shù)共有nr.

（2）選排列：在不放回抽取中，從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素進(jìn)行排列，其總數(shù)共有Arn.

4.組合

二、古典概率計(jì)算方法

古典概型作為一種最基本也是最靈活的隨機(jī)試驗(yàn)，計(jì)算隨機(jī)事件概率是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)和重點(diǎn)，因此，我們把常見(jiàn)解題方法通過(guò)例題的形式給出，找到古典概型的內(nèi)在規(guī)律.

三、結(jié)束語(yǔ)

古典概率的基礎(chǔ)理論很廣泛，計(jì)算方法很靈活.本文通過(guò)舉例總結(jié)古典概率的常見(jiàn)題型，分析古典概率的內(nèi)在規(guī)律，給出古典概率計(jì)算的技巧.由于古典概率的靈活性，學(xué)習(xí)時(shí)要多想多練，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，積累方法，才能夠融會(huì)貫通，掌握古典概率的計(jì)算方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]魏忠舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程：第二版[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]陳家鼎，鄭忠國(guó).概率與統(tǒng)計(jì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2002.

[4]李長(zhǎng)青.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2015.