一“意”多“行” 縱引橫比

余錦銀 楊美璋

縱向引申

用動態觀念對原題加以縱向引申、 變化，可幫助自己用動態意識去觀察、聯想，類比解決問題，有助于培養自己的創新能力.對典型例、習題可從以下幾個角度進行縱向引申.

改變提問方式：把證明題改變為探索題，將結論隱蔽起來，可提高難度.改變提問的角度，往往也會改變題目的難度.

改變題設條件：適當增刪已知條件，隱蔽條件明朗化，明顯條件隱蔽化，直接條件間接化，間接條件直接化，抽象條件具體化，具體條件抽象化，乃至條件參數的變更.

改變綜合程度：增減知識點的組合，調整解題方法的結構，變換知識和方法的綜合廣度或者深度等等.

例1 ?“如圖 ，直線[y=x-2]與拋物線[y2=2x]相交于[A，B]兩點，求證[OA⊥OB].”

變式引申1 ?改變直線方程，凸現問題本質

（1）如果把上題中的直線改為[y=2（x-2）]，則是否有[OA⊥OB]呢？（2）如果把上題中的直線改為[y=3（x-2）]，則是否有[OA⊥OB]呢？（3）這些能使得[OA⊥OB]的直線有何共同點？（證明略）

變式引申2 ?凸現“變式引申1”的結果

（1）[A，B]是拋物線[y2=4x]上非原點的兩動點，若直線[AB]過點（2，0），則始終有[OA⊥OB]. （2）[A，B]是拋物線[y2=8x]上非原點的兩動點，直線[AB]是否也過某一點定點，使得[OA⊥OB]？（3）[A，B]是拋物線[y2=2px（p>0）]上非原點的兩動點，直線[AB]是否也過某一點，使得[OA⊥OB]？（證明略）

變式引申3 ?凸現一般化

設[A，B]為拋物線[y2=2px（p>0）]上原點以外的兩個動點，若直線過定點[（2p，0）]，則[OA⊥OB].（證明略）

變式引申4 ?逆向思考

設[A，B]是拋物線[y2=2px（p>0）]上兩個非原點的點，[O]為原點，若[OA⊥OB] ，則直線[AB]必過定點[（2p，0）].

證明 ?設直線[OA]的斜率為[k]， 則直線[OB]的斜率為-[1k]，則直線[OA]的方程可表示為[y=kx]①，直線[OB]的方程可表示為[y=（-1k）x]②.

又拋物線方程為[y2=2px]③，

聯立①③和①②得，[A]（[2pk2]，[2pk]），[B][（2pk2，-2pk）].

∴[AB]所在直線的方程為：[x-2p+（k2-1）yk]=0.

令[k2-1k=m]，則直線的方程可寫為[x-2p+my=0]，該方程為直線系方程，恒過定點[（2p，0）].故結論得證.

于是我們得到下面結論1：[A，B]是拋物線[y2=2px]上非原點的兩動點，[O]為原點，則“[OA⊥OB]”的充要條件是“[AB]所在直線必過定點[（2p，0）]”.

變式引申5 ?將結論1換個說法

若拋物線[y2=2px]與過定點[（2p，0）]的直線交于[A，B]兩點，則以[AB]為直徑的圓與拋物線的準線有何位置關系？（證明略）

變式引申6 ?由結論1知，設[P（x0，y0）]是拋物線[y2=2px（p>0）]上的任意一個定點，考慮到[O（0，0）]是[P（x0，y0）]的一種特殊情形

過拋物線[y2=2px（p>0）]上任一定點[P（x0，y0）]作兩弦[PA，PB]，則[PA⊥PB]的充要條件是弦[AB]過定點[M（x0+2p，-y0）].（證明略）

變式引申7 ?又[kPAkPB=-1]是[kPAkPB=λ]（[λ]為常數）的特殊情形，將變式引申6進行再推廣

過拋物線[y2=2px（p>0）]上任一定點[P（x0，y0）]作兩弦[PA，PB]，則[kPAkPB=λ]（[λ]為非零常數）的充要條件是弦[AB]過定點[M（x0-2pλ，-y0）].

在變式引申7中，當[P（x0，y0）]在拋物線[y2=2px]上運動時，令[x=x0-2pλy=-y0]，解得[x0=x+2pλy0=-y]，并代入[y2=2px]中得[y2]=[2px+4p2λ]，可知[M]點的軌跡為拋物線.

于是我們又得到下面結論2：以拋物線[y2=2px]上一點[P（x0，y0）]為定頂點的所有內接三角形中，[kPAkPB=λ]的充要條件是弦[AB]過點[M（x0-2pλ，-y0）]，當[P]在拋物線上運動時，點[M]的軌跡仍為拋物線.

點撥 ?本題通過一系列縱向變式引申，逐步發現拋物線的弦[AB]所過定點[M]的一般性結論.

橫向對比

在研究“變題”時，對數學中的試題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系.有利于透過現象看到問題及其思想方法的核心本質，有助于在情景變化過程中抓住問題的本質，真正做到舉一反三、觸類旁通.

例2 ?已知橢圓方程[x24+y23=1]，[F1，0，N4，0]，[M]為橢圓上一點，且MF與x軸不垂直，直線MF，MN分別交橢圓于A，B，求證：[AB⊥x]軸.

變式引申1 ?將具體橢圓改為一般化的橢圓

已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1a>b>0]，[Fc，0，][Na2c，0]，M為橢圓上一點，且MF與x軸不垂直，直線MF，MN分別交橢圓于另一點A，B，求證：[AB⊥x]軸.

變式引申2 ?將橢圓改為雙曲線

已知雙曲線[C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，][Fc，0，][Na2c，0，]M為雙曲線上一點，且MF與x軸不垂直，直線MF，MN分別交雙曲線于另一點A，B，求證：[AB⊥x]軸.

證明 ?以上兩個命題可以一起證明. 統一設橢圓和雙曲線的方程為[mx2+ny2=1]（[m>0]，且[n≠0，]且當[n>0]時，[m

設[Mx0，y0]，則有[mx02+ny02=1].

所以[kMF=y0x0-c]，直線[MF：x=x0-cy0y+c]，

代入[mx2+ny2=1]得，

[mx0-c2y20+ny2+2cmx0-cy0y+mc2-1=0].

由韋達定理得，

[yA?y0=mc2-1m（x0-c）2+ny02?y02][=mc2-11-2mcx0+mc2?y20]，

所以[yA=mc2-11-2mcx0+mc2?y0].

同理，在上式中，用[1cm]換掉[c]，即得，

[yB=m1c2m2-11-2m1cmx0+m1c2m2?y0=1-mc2mc2-2mcx0+1?y0=-yA.]

而由圓錐曲線的對稱性知：[xA=xB]，所以[AB⊥x]軸.

變式引申3 ?將橢圓改為拋物線

拋物線[C：y2=2px，（p>0）]的焦點為[Fp2，0]，準點[N-p2，0]，[M]為拋物線上一點，且[MF]不垂直[x]軸，直線[MF，MN]分別交拋物線于[A，B]，求證：[AB⊥x]軸.（證明略）

點撥 ?本題通過一系列橫向變式，既可以發現三種圓錐曲線，在相類似的條件下具有類似的結論“[AB⊥x]軸”;還可以發現三種圓錐曲線，相類似的題型往往有相類似的解題策略和方法.