在錯誤中加深認識

劉族剛 葛紅艷

認識1 ?待定系數法的運用

“待定系數法”是解析幾何的一個基本方法，但無論是設直線方程為[y=kx+b]或[x=ky+a]形式，都有其局限性，一定要考慮斜率不存在（或斜率為0）的情況. 利用判別式來解決直線與曲線的位置關系，是解析幾何的通法——代數法. 但遇到直線與雙曲線、直線與拋物線位置關系時，代入消元后得到的“二次型”方程是否為真的是二次方程，往往是分類討論的點.

例1 ?過點[P（0，2）]且與拋物線[y2=x]僅有一個交點的直線共有 ? ? ? ? 條.

錯解 ?設直線的方程為[y=kx+2]，代入拋物線[y2=x]得，[k2x2+（4k-1）x+4=0]. 根據直線與拋物線僅有一個交點得，[Δ=（4k-1）2-16k2=0]，則[k=18]，所以過點[P（0，2）]且與拋物線[y2=x]僅有一個交點的直線僅有一條.

解析 ?本解法錯誤有三處. 其一是方程為[y=kx+2]不能表示過點的所有直線，設直線的方程為[y=kx+2]時，忽略直線斜率不存在的情況，事實上，斜率不存在是的直線為[x=0]與已知拋物線相切，顯然符合要求. 其二是利用判別式時沒注意到前提是一元二次方程條件，即[k≠0]，此時由[Δ=（4k-1）2-16k2=0]得，[k=18]. 其三是當[k=0]時，直線為[y=2]顯然也符合要求，所以有[x=0，y=2]和[y=18x+2]三條直線符合要求.

認識2 ?熟記一些“二級”結論

近年來，湖北高考命題的一個不變的原則就是“源于課本，又不囿于課本”. 因此，在學習中，我們要充分發揮課本上題目的輻射作用，熟記一些對解決選擇、填空題非常有效、對解答題也有很好的指導作用的“二級”結論. 例如：必修2[P124]第A5題已知直徑兩端點的圓的方程;橢圓“焦點三角形”面積等有關結論. 必修2[P124B3]，[P144B2]可推廣為阿波羅尼斯圓. 選修2-1[P41]例3可推廣為：[M]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意一點， [AB]為橢圓的任意中心弦，則[kMA?kMB=-b2a2]，并可推廣到雙曲線. 選修2-1[P73]第6題可推廣為：[A，B]是拋物線[y2=2px]上任意兩點，[O]為原點，則[OA⊥OB?]直線[AB]過定點[（2p，0）].

例2 ?已知橢圓[x216+y29=1]的左右焦點為[F1，F2]，[P]點在此橢圓上，若[△PF1F2]為直角三角形，則點[P]到[x]軸的距離是 ? ? ? ?.

錯解 ?根據焦點三角形的面積[SΔPF1F2=b2tanα2] （其中[α=∠F1PF2]）及等積法，結合[∠F1PF2][=90°]得， [SΔF1PF2=12×27?d=9×tan45°]，從而[d=977].

解析 ?本解法錯誤有兩處，其一是將[△PF1F2]為直角三角形默認為[∠F1PF2=90°]，忽略了[∠PF1F2=90°]和[∠PF2F1=90°]的情況，顯然[∠PF1F2=90°]和[∠PF2F1=90°]時，符合要求，此時點[P]的橫坐標是[7]或[-7]，代入橢圓方程，易得點[P]到[x]軸的距離是[94]. 其二是[∠F1PF2=90°]的情況實際上是取不到的，因為[∠F1PF2]取得最大時，點[P]位于在短軸頂點，此時[∠F1PF2]為銳角，所以正確答案為[94].

認識3 ?掌握圓錐曲線的性質

（1）解析幾何的概念、性質是高考必考點（如直線的傾斜角、截距、圓錐曲線的定義及焦點坐標、離心率、弦長公式、[a，b，c，e，p]的含義等），這些都是要準確、牢記把握，不可張冠李戴、似是而非（如雙曲線定義中“差的絕對值”不可漏掉）.

（2）解析幾何是用代數的辦法研究幾何圖形，根本任務有兩個：根據條件，求曲線的方程;通過方程研究曲線的性質. 如何將曲線（形的問題）與曲線的方程（數的問題）以及將直線與圓錐曲線的幾何位置關系代數化（用方程、不等式準確描述）是解決問題的關鍵.

例3 ?已知兩定點[F（-2，0），G（2，0）]，滿足條件[PG-PF=2]的點[P]的軌跡是曲線[E]，直線[y=kx-1]與曲線[E]交于[A，B]兩點，（1）求[k]的范圍;（2）若[AB=63]，求[k]的值.

錯解 ?（1）因為點[P]滿足條件[PG-PF=2]，所以點[P]的軌跡是以[F，G]為焦點的雙曲線，且實軸長為[2]，焦距為[FG=22]，所以曲線的方程為[x2-y2=1.]

設[A（x1，y1），B（x2，y2）]，由[x2-y2=1y=kx-1]得，

[（k2-1）x2-2kx+2=0]，

[Δ=4k2-8（k2-1）>0]得，[-2

[（2）AB=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[（2kk2-1）2-4×2k2-1]=63.]

則[k2=57]或[k2=54]，故[k=±357]或[k=±52.]

解析 ?本解法錯誤有四處. 首先，將滿足條件[PG-PF=2]的點[P]的軌跡誤判為雙曲線，實際上點[P]的軌跡只是雙曲線的左支，用代數方程表示為[x2-y2=1（x<0）]. 其次，用判別式大于零的前提是二次方程，從而[k2-1≠0]不可少. 第三，僅僅用判別式大于零還是不夠的，因為[Δ>0]只能判斷二次方程有無實數根（曲線在平面內有無交點），實際上直線與雙曲線的左支有兩個交點，務必使方程有兩個不等的負根，從而應該增加條件[x1+x2<0，x1x2>0]，從而得到[-2

認識4 ?圓錐曲線的綜合性問題

直線與圓錐曲線的綜合性問題是高考“不動點”，從湖北近三年的高考來看，此類試題一般定格為理科第21題（倒數第二題）或文科第22題（壓軸題），主要考查圓錐曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等.湖北卷的命題趨向平穩、中庸，因而，注重基礎、突出通法，重視細節是備考的不二法寶.

例4 ?在平面直角坐標系[xOy]中，點[M]到點[F1，0]的距離比它到[y]軸的距離多[1]，記點[M]的軌跡為[C].

（1）求軌跡為[C]的方程;

（2）設斜率為[k]的直線[l]過定點[P（-2，1）]，求直線[l]與軌跡[C]恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時[k]的相應取值范圍.

錯解 ?（1）將[y]軸向左平移一個單位，得直線[x=-1]，則點[M]到點[F1，0]的距離等于到直線[x=-1]的距離. 依拋物線的定義知，[M]的軌跡是以[F（1，0）]為焦點，直線[x=-1]為準線的拋物線，故曲線[C]的方程為[y2=4x].

（2）設直線[l]的方程為[y-1=k（x+2）]，

由[y-1=k（x+2），y2=4x]得，

[ky2-4y+4（2k+1）=0].①

當[k=0]時，[y=1]，把[y=1]代入[C]的方程得[x=14.]

所以此時直線[l]與軌跡[C]恰有一個公共點[（14，1）].

當[k≠0]時，方程①的判別式為[Δ=-16（2k2+k-1）].

（i）若[Δ<0]，解得[k<-1]或[k>12].即當[k∈（-∞，-1）?（12，+∞）]時，直線[l]與[C]無公共點.

（ii）若[Δ=0，]即[k∈{-1，12}]，直線[l]與[C]有一個公共點.

（iii）若[Δ>0]，即[-1

綜上：當[k∈{0，-1，12}]時，直線[l]與[C]有一個公共點;當[-1

解析 ?上述解法雖然注意到使用判別式的判定方程根的前提條件是二次方程，但犯了致命的錯誤，就是將拋物線的定義“平面內，到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡”等同于“平面內，到定點的距離比到定直線的距離大（小）某一定值的點的軌跡”，從而忽略[x]軸的負半軸這一射線. 本題還容易忽略“分段曲線”的分段條件，錯誤地認為直線[l]與[x]軸的交點為[（2k+1k，0）]一定符合要求，再利用判別式的符號對交點個數進行判斷，忽略了方程根的分布而出錯. 正解過程略.