初中數學分類討論思想例析

李敏瓊

【摘 要】分類討論思想可將復雜問題分成幾個簡單問題，應用時應遵循同一性、互斥性、層次性原則，找出題中分類的概念、不唯一的題設或結論、取值范圍不同的參數、不確定的圖形等進行分類討論，教學中應加強此題型的訓練，避免漏解丟分。

【關鍵詞】數學 分類討論 原則

數學思想是數學的精髓，初中階段常見的數學思想包括類比思想、數形結合思想、化歸思想、分類討論思想、函數與方程思想等。其中分類討論思想貫穿于整個初中數學，它已經成為各地近年來中考命題的熱點。

一、分類討論的定義和意義

把所研究的問題根據題目的特點和要求，按照一定的標準，把有關問題分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱為分類討論思想。分類討論既是一種重要的數學思想方法，也是數學的一種基本解題策略。一方面它可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當地分類可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問題的意識，增強學生周密嚴謹的數學素養。

二、分類討論的原則

1.同一性原則。分類應按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據，否則在解題時會出現漏解的情況。

例如：化簡：|X-3|-|5-X|

此題根據題意，把X的取值分為三段，都在同一標準進行分類討論。

解：當X<3時，原式=（3-X）-（5-X）=-2；

當3≤X<5時，原式=（X-3）-（5-X）=2X-8；

當X≥5時，原式=（X-3）-（X-5）=2.

2.互斥性原則。分類后的每個子項應當互不兼容，即做到各子項相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一個子項，否則在解題時會出現重復的情況。

例如：解不等式（a-1）x>a2-1

此題x的系數（a-1）應分成三種情況： a-1>0， a-1=0， a-1<0.這三種情況互相排斥。

解：（1）當a-1>0 即a>1時，則x>a+1；（2）當a-1=0即a=1時，原不等式為0·x>0，不等式無解；（3）當a-1<0 即a<1時，則 x1時，x>a+1；當a=1時，不等式無解；當a<1時，x

3.層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項作為母項，再進行分類，直至滿足需要為止。有些對象的分類情況比較復雜，這時常采用“二分法”來分類，就是按對象有無某性質來進行分類。按“二分法”作分類，就是把討論對象的外延一直分為兩個互相矛盾的概念，一直分到不必再分為止。

例如：已知在△ABC中，∠A=50°，當∠B=_____度時，△ABC是等腰三角形？

此題中的∠A有兩種情況：∠A是頂角或底角。當∠A是頂角時，∠B必為底角；當∠A是底角時，∠B又有兩種可能：頂角或底角，故又需進行分類討論。

解：當∠A是頂角時，∠B必為底角，得65°；當∠A是底角時，∠B又有可能為頂角或底角，當∠B為頂角時，得80°，當∠B為底角時，得50°，故答案為50°、65°或80°。

三、分類討論的常見情況

掌握用分類討論思想解題的關鍵在于搞清楚哪些情況下會引起分類討論。下面筆者結合平時的教學實踐舉例說明引起分類討論的一些常見情況。

1.由于分類概念或定義而需要分類討論

有些數學概念是分類定義的。如實數的絕對值（正數、0、負數的絕對值），兩圓相離（外離、內含） ，兩圓相切（外切、內切）等，所以應用這些概念解題時，就需進行分類討論。

例如：已知|x+1|=3，y2=4，xy<0，求2x+y的值。

本題中的絕對值和偶次冪是分類定義的，x+1可能為正數或負數，y也可能為正數或負數，因此要進行分類討論。

解：由題意得x+1=±3，y=±2，所以x=2或-4；y=2或-2。又因為xy<0，即x、y異號，所以有兩種情況：（1）當x=2，y=-2時，2x+y=2 ；（2）當x=-4，y=2時，2x+y=-6.

又如：圓心距為5的兩圓相切，其中一個圓的半徑為2，則另一個圓的半徑為________。

本題中的兩圓相切是分類定義的，因此要進行分類討論。

解：當兩圓外切時，圓心距等于兩圓半徑之和，即是3；當兩圓內切時，圓心距等于兩圓半徑之差，即是7，故填7或3.

2.由于題設和結論有多種可能而需要分類討論

例如：一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為______。

本題的條件是不唯一的，這個等腰三角形腰為3還是7？問題中沒有說明，所以要分為兩種情況討論。

解：當等腰三角形的腰為3時，三邊為3，3，7，3+3<7，三邊關系不成立；當等腰三角形的腰為7時，三邊為3，7，7，三邊關系成立，周長為3+7+7=17.故答案為17.

3.由于參數取值范圍不同而需要分類討論

對于具體問題，如求函數解析式、方程的解、不等式的解集等問題中隨著參數取值不同而變化，這時要對參數的取值進行討論。

例如：已知一次函數y=kx+b的自變量的取值范圍是-1≤x≤1，相應的函數值的取值范圍是3≤y≤-1，求這個一次函數的解析式。

本題中的一次函數y=kx+b中的k有可能>0，也可能<0，兩種不同的取值范圍導致y隨x的變化不同，所以要分類討論。

解：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大，把x=-1，y=-1；x=1，y=3代入一次函數的解析式y=kx+b中，運用待定系數法即可求出函數的解析式為y=2x+1；（2）當k<0時，y隨x的增大而減小，把x=-1，y=3；x=1，y=-1代入一次函數的解析式y=kx+b中，運用待定系數法即可求出函數的解析式為y=-2x+1.

4.由于位置或形狀不確定而需要分類討論

對于條件中沒有明確圖形在什么位置或是什么形狀時，應根據不同位置或形狀進行分類討論。

例如：在直角邊分別為3cm和4cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一個內角恰好是三角形的一個角，其余頂點都在三角形的邊上，求所作菱形的邊長。

本題中的菱形與三角形公共的內角不確定，公共的內角可能是直角，也可能是兩個銳角中的其中一個，所以要需要進行分類討論。

解：（1）如圖1，當公共的內角是直角時，菱形是正方形， 設正方形的邊長是x，則上面的小三角形與原三角形相似，得到， 解得x=， 則菱形的邊長是cm； （2）如圖2，當公共的內角是∠C時，△BDF∽△BAC，根據勾股定理求得AC=5， 設菱形的邊長是x，得到，解得x=，則菱形的邊長是cm.（3）當公共的內角是∠A時，△CEF∽△CAB， 設菱形的邊長是x，得到，解得x=，即菱形的邊長是cm.

由此可見，分類討論思想是解決數學問題常用的一種方法，對學生的能力要求較高，是一個難點，學生在解答此類問題時極易漏解。我們應在教學中有目的、有計劃地對學生滲透和強調，加強這方面題型的訓練、強化，鞏固知識點，讓學生逐漸產生分類討論的意識，解題中仔細分析題意，挖掘題目中可能出現的不同情況，然后采用分類討論的思想加以解決，使一些錯綜復雜的問題變得簡單，解題思路變得清晰，提高分析、解決問題的能力。

【參考文獻】

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