概率題的類型和解法

趙建勛

課本中給出了關(guān)于概率的許多公式，學(xué)生在學(xué)習(xí)中常覺得無所適從，不知用哪個公式，為解決這個問題，本文介紹概率題的類型和解法，現(xiàn)舉例說明.

一、等可能性事件的概率

求等可能性事件的概率一般是借助排列組合的方法，分別求出公式P（A）=mn中的m、n的值.

例1在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑.現(xiàn)在可供選用的不同添加劑有6種，其中芳香度為1的添加劑1種，芳香度為2的添加劑2種，芳香度為3的添加劑3種.根據(jù)試驗設(shè)計原理，通常要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗.

（Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率；

（Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數(shù)的概率.

解設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3”為事件A，則P（A）=C12C26=215；即所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率為215.

（Ⅱ）設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數(shù)”為事件B，則事件B有三種可能：芳香度為1和3的情況有C13種，芳香度為2和2的情況有C22種，芳香度為3和3的情況有C23種.所以P（B）=C13+C22+C23C26=715.

即所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數(shù)的概率為715.

點評解本題的關(guān)鍵是求出試驗中可能出現(xiàn)的基本事件的個數(shù)及指定事件的基本事件的個數(shù).因此這類問題最終可以轉(zhuǎn)化為排列、組合問題進行求解.

二、互斥事件有一個發(fā)生的概率

解這類問題首先要判斷兩個或多個事件是否互斥，只有這樣才能正確使用公式進行求解，因此這類問題通常轉(zhuǎn)化為計算幾個互斥事件的概率，再求和.

例2某商場舉行抽獎活動，從裝有編號0，1，2，3四個小球的抽獎箱中，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，取出的兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎.（Ⅰ）求中三等獎的概率；（Ⅱ）求中獎的概率.

解設(shè)“中三等獎”為事件A，中獎為事件B，從四個小球中有放回的取兩個共有4×4=16種不同的方法.（Ⅰ）兩個小球號碼相加之和等于3的取法有4種：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）.故P（A）=416=14；（Ⅱ）兩個小球號碼之和等于3的取法有4種，兩個小球號碼之和等于4的取法有三種：（1，3），（2，2），（3，1）；兩個小球號碼相加之和等于5的取法有兩種：（2，3），（3，2）.

由互斥事件的加法公式得P（B）=416+316+216=916.

點評（Ⅱ）中把“中獎”這件事情拆分成幾個互斥事件的和，分別進行計算，起到了化繁為簡的作用.

三、相互獨立事件同時發(fā)生的概率

如果兩個（或多個）互相獨立的事件同時發(fā)生，其概率計算可轉(zhuǎn)化為幾個獨立事件的概率的乘積.因此問題最終也可以轉(zhuǎn)化為隨機事件或等可能性事件的概率計算.

例3某種家用電器的銷售利潤與該電器的無故障使用時間有關(guān).每臺這種家用電器若無故障使用時間不超過一年，則銷售利潤為0元；若無故障使用時間超過一年而不超過三年，則銷售利潤為100元；若無故障使用時間超過三年，則銷售利潤為200元.

已知每臺這種家用電器無故障使用時間不超過一年的概率為15；無故障使用時間超過一年而不超過三年的概率為25.（Ⅰ）求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元的概率；（Ⅱ）求銷售三臺這種家用電器的銷售利潤總和為300元的概率.

解（Ⅰ）根據(jù)條件得，無故障使用時間超過三年的概率為25.設(shè)銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元為事件A，則P（A）=25×25=425.

故銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和