站在學生的角度考慮問題

方勇嘉

從人的成長階段看，學生是未成年人，教師是經(jīng)歷了中學讀書階段、大學進一步的求知進修階段及參加工作后的歷練階段，無論心智還是看問題的角度都和學生有所差別，這是正常的，不正常的是教師在授課時，特別是講評作業(yè)習題時不站在學生的角度考慮.學生只是一味的“傻聽”，過后即便叫他原題重做一遍也不會，所以常常聽到教師這樣的疑惑：講完課后問學生“聽懂了嗎？”學生都答“聽懂了！”但解題時卻是“我不會！”為什么學生聽懂的知識卻不會用呢？問題在于教師是怎么讓學生“聽懂”.進一步地，學生是“真懂”還是“假懂”？筆者想“假懂”的原因是學生沒有自己思考過，還有教師講的方法不切學生的實際？以后類似的題目出現(xiàn)學生還是不會做.在教師剖析一些高考題時產(chǎn)生這種現(xiàn)象非常普遍.

圖1例1（2011年重慶理20）如圖1，橢圓的中心為原點O，離心率e=22，一條準線的方程為x=22.

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；

為400元的概率為425；

（Ⅱ）設銷售三臺這種家用電器的銷售利潤總和為300元為事件B，則P（B）=25×25×25+C23×25×25×25=32125.

故銷售三臺這種家用電器的利潤總和為300元的概率為32125.

點評（Ⅱ）中利用獨立重復事件和互斥事件的概念把求解轉(zhuǎn)化為幾個事件概率和與積的形式，其實體現(xiàn)了一種“拆分”的解題思路.

四、n次獨立重復試驗發(fā)生k次的概率

n次獨立重復試驗發(fā)生k次的概率一般使用公式Pn（k）=Cknpk（1-p）n-k進行計算，因此把問題轉(zhuǎn)化為獨立重復試驗問題是解決問題的關鍵.

例4已知在3支不同編號的槍中有2支已經(jīng)試射校正過，1支未經(jīng)試射校正.某射手若使用其中校正過的槍，每射擊一次擊中目標的概率為45；若使用其中未校正的槍，每射擊一次擊中目標的概率為15，假定每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.

（Ⅰ）若該射手用其中2支已經(jīng)試射校正過的槍各射擊一次，求目標被擊中的次數(shù)為偶數(shù)的概率；

（Ⅱ）若該射手用這3支槍各射擊一次，求目標至多被擊中一次的概率.

解（Ⅰ）若“該射手用其中2支已經(jīng)試射校正過的槍各射擊一次，目標被擊中的次數(shù)為i”為事件Ai（i=0，1，2），則A0，A1，A2彼此互斥；

記“該射手用這2支已經(jīng)試射校正過的槍各射擊一次，目標被擊中的次數(shù)為偶數(shù)”為事件B.

因為P（A0）=C02（1-45）2=125，P（A2）=C22（45）2=1625，所以P（B）=P（A0）+P（A2）=125+1625=1725.故目標被擊中的次數(shù)為偶數(shù)的概率為1725.

（Ⅱ）記“該射手用3支槍各射擊一次，目標被擊中的次數(shù)為i”為事件Ci（i=0，1，2，3），則C0，C1，C2，C3彼此互斥；記“該射手用這3支槍各射擊一次，目標至多被擊中一次”為事件D.

因為P（C0）=C22（15）2×（1-15）=4125；P（C1）=C12×45×15×45+C02×（15）2×15=33125；所以P（D）=P（C0）+P（C1）=4125+33125=37125.

點評本題中兩支已經(jīng)試射校正過的槍射中目標的概率是相等的，用這兩支槍進行射擊可以看成獨立重復試驗，而另一支沒有試射校正過的槍進行射擊時必須單獨進行考慮，這也是本題難點所在.（Ⅱ）中就采用了這種方法，這里需要注意的是，必須把所有情況考慮全面才能得出正確結(jié)論.

（收稿日期：2014-11-15）（Ⅱ）設動點P滿足：OP=OM+2ON，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為-12，問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由.

解（Ⅰ）易求橢圓的標準方程為

x24+y22=1.

（Ⅱ）（命題組給出的答案）設P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2）則由OP=OM+2ON得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2.

因為點M，N在橢圓x2+2y2=4上，所以x21+2y21=4，x22+2y22=4，故

x2+2y2=（x21+4x22+4x1x2）+2（y21+4y22+4y1y2）

=（x21+2y21）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=20+4（x1x2+2y1y2） （*）

設kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知kOM·kON=y1y2x1x2=-12，因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20.

所以P點是橢圓x2（25）2+y2（10）2=1上的點，設該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因為c=（25）2-（10）2=10，所以兩焦點的坐標為F1（-10，0），F(xiàn)2（10，0）.

評析教師都知道，本題用意是由五個式子：x=x1+2x2，y=y1+2y2，x21+2y21=4，x22+2y22=4，x1x2+2y1y2=0消去x1，x2，y1，y2留下含x，y的軌跡方程.不要說學生想不到，教師一時也想不到.難怪學生看了標準答案后，對（*）這一步感到一頭霧水，驚嘆其真是“神來之筆”，怎么如此高明，不多不少，不偏不倚，恰好想到x2+2y2=？

新課改以來，教材對消參法求軌跡有所減弱，更不用說四個參數(shù)一起消去.所以命題組提供的方法是不適合學生的，他們以命題專家的眼光看待問題，和學生“學情”是脫節(jié)的，盡管高考題是選拔人才的.筆者認為引起點P運動的“罪魁禍首”是直線OM和ON的運動，所以斜率作為自變量再恰當不過了，又兩者斜率都存在，且有關系，只要設其中一個斜率即可.下面解法是筆者給出的，學生贊賞有加.

另解設ON方程為：y=kx，則OM方程為y=-12kx，由y=kx

x2+2y2-4=0，得x2=41+2k2，y2=4k21+2k2，不妨取N坐標為（21+2k2，2k1+2k2），將k替換成-12k即得M的坐標為（-22k1+2k2，21+2k2）.設P坐標為（x，y），則由OP=OM+2ON，得y=2+4k1+2k2

x=4-22k1+2k2，消去k，得（x2）2+（y2）2=5，即x2（25）2+y2（10）2=1，下略.

縱觀一些高考題標準答案，教師和學生有時很難想到，若教師上課時照搬標準答案講評，學生只能“望題興嘆”，嘖嘖稱奇，自愧不如，要想提高學生解題能力似乎是困難了.所以筆者有一習慣，自己先做高考題，再和標準答案比照，有時候覺得比標準答案略微遜色，但卻是“真情流露”，解法樸實、自然，和學生沒有“代溝”.

解析幾何中直線與圓錐曲線位置關系很復雜的題目，要求考生對直線與圓錐曲線位置關系特征有較好的理解，擁有較強的探究轉(zhuǎn)化能力、較強的符號運算能力、較強的代數(shù)式恒等變形能力才能解決此類問題.從歷年高考題看，有些參考答案接近學生水平，有些確實“巧奪天工”，可望而不可及也，但只要我們用心去鉆研、領悟，不要讓所謂標準答案牽著鼻子走，都能找到和學生思維接軌的解法，

站在學生角度考慮問題還要俯下身來傾聽學生的解法，尤其年長的教師多年的教學養(yǎng)成了“教學定勢”，對一些“小兒科”的問題不放在眼里，輕描淡寫地過去了.筆者有一習慣就是喜歡叫學生提出不同的解題方法，一方面這種解法是學生提出，適合他們口味，能引起其他學生共鳴，并且對提出解法的學生也是一種鼓勵和鞭策；另一方面確實能促進教師的專業(yè)成長，從他們解法中得到一些啟示，為今后教學服務.下面一題就是筆者提出傳統(tǒng)做法后，學生又提出了新方法.

例2已知直線l：2x-3y+1=0，點P1（-1，-2），

（1）求點P1關于直線l的對稱點P2的坐標；

（2）求直線l關于點P1對稱的直線l′的方程.