一個有趣的數(shù)學(xué)教學(xué)案例

湯芳

【內(nèi)容摘要】假設(shè)你手上還有一把沒有刻度的直尺和一個圓規(guī)，則你可以在有限步內(nèi)做出任意長度為有理數(shù)的線段。該問題的解法其實(shí)就來源于對于四則運(yùn)算最樸實(shí)的認(rèn)識。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖 四則運(yùn)算 數(shù)域

假設(shè)現(xiàn)在有一個平面，已知這個平面上的兩點(diǎn)AB，并且已知它的長度是1。假設(shè)你手上還有一把沒有刻度的直尺和一個圓規(guī)，請證明：

（1）你可以在有限步內(nèi)做出任意長度為正整數(shù)的線段；

（2）你可以在有限步內(nèi)做出任意長度為有理數(shù)的線段。

為了進(jìn)一步明確題意，在此列出所有你可以做的事情：

①可以把一條已知線段延長成為一條直線，

②只能以已知點(diǎn)為圓心作圓，

③只能以已知某兩點(diǎn)之間的距離為半徑長度作圓，

④在你所做的線段，直線或者圓上取出你想要的任何一個點(diǎn)（進(jìn)而你可以取出它們相互之間的交點(diǎn)），取出后都視為已知點(diǎn)。

解答（1）以B為圓心，長度1（已知線段AB的長度就是1）為半徑作圓；利用直尺做出直線AB；取得直線和圓異于A的交點(diǎn)C，于是得到已知點(diǎn)C，并且2也是已知長度（AC長度是2）；以C為圓心，長度1為半徑作圓，取得它與直線AB異于B的交點(diǎn)D，于是得到已知點(diǎn)D，并且3也是已知長度。不斷重復(fù)這個步驟，在有限步內(nèi)一定可以做出任意長度為正整數(shù)的線段

（2）對于任意的有理數(shù) ，由 （1），我們可以在直線AB上取得四個已知點(diǎn)PQRS，使得PQ長度為p，QR長度為1，QS長度為q；以已知點(diǎn)Q為圓心，已知長度q為半徑長度作圓，取出這個圓上任意一個不在直線AB上的點(diǎn)T，得到已知點(diǎn)T；由于尺規(guī)可以在有限步內(nèi)做出任意線段的垂直平分線，于是我們做出PT和TR的垂直平分線，取得它們的交點(diǎn)O作為已知點(diǎn)；以O(shè)為圓心，已知點(diǎn)OP之間的距離為半徑長度作圓；利用直尺做出直線QT；取得直線QT與圓異于T的交點(diǎn)U，于是得到已知點(diǎn)U，并且QU長度即為 。

小結(jié)（1）關(guān)于讀題，本題的讀題關(guān)鍵是讀懂“有限步內(nèi)”。本題最容易出現(xiàn)的一類讀題錯誤就是：對于AB（長為1），以B為圓心，AB為半徑作圓，圓上所有點(diǎn)與A的距離的取值范圍是0到2，于是就認(rèn)為長度為0到2之間所有實(shí)數(shù)的線段都可以做出來了。如果你是這樣認(rèn)為，請你想想，以 為例，圓上確實(shí)有一個點(diǎn)，它到A的距離是 ，問題是你怎么在有限步內(nèi)把它找到？

（2）本題的解法其實(shí)就來源于對于四則運(yùn)算最樸實(shí)的認(rèn)識，在最開始人們只知道做加法的時候，人們拿著數(shù)0和1通過加法就做出了所有正整數(shù)（第一問就是考察這個），同一個正整數(shù)不停地重復(fù)和它自己相加于是得到了乘法的定義。對于a，b，人們不會直接作減法，但是人們思考什么數(shù)c會滿足a+c=b，于是就產(chǎn)生減法的定義，并且產(chǎn)生所謂“負(fù)”的概念，正整數(shù)被擴(kuò)展到全體整體。除法也是一樣的，對于a，b，人們是通過尋找c，使得ac=b才定義了除法。這就是為什么人們把減法叫做加法的逆運(yùn)算，把除法叫做乘法的逆運(yùn)算。

（3）解方程a+x=b，我們真正做的事情是尋找一個c，使得a+c=0，方程兩邊同時加上c，就得到解是x=b+c，實(shí)際上c就是a的“負(fù)元素”，即（-a），上述工作實(shí)際就是減法；解方程ax=b（a 不為0），我們真正做的事情是尋找一個元素c，使得ac=1，方程兩邊同乘c，于是得到解是x=bc。不要覺得這樣的認(rèn)識沒有意義，有的時候加法和乘法運(yùn)算你可以一目了然，但是除法就不一定了，比如在模p的意義下看除法 ，仔細(xì)想想這個時候除法是怎么定義的，你就會知道這樣的認(rèn)識是必要的。

（4）進(jìn)一步介紹四則運(yùn)算封閉的定義，以及數(shù)環(huán)和數(shù)域的概念。集合S對加法封閉是指：對于S中任兩個數(shù)a，b，a+b也在S中（減，乘，除封閉的定義類似可得）。對于加減乘封閉的數(shù)集稱為環(huán)，對于加減乘除都封閉的數(shù)集稱為數(shù)域，比如整數(shù)集就是一個環(huán)（又叫整數(shù)環(huán)），有理數(shù)集就是一個數(shù)域。為了避免空集的干擾，我們定義數(shù)環(huán)和數(shù)域都要求0，1是其元素。我們這道題就模擬了一個有理數(shù)域產(chǎn)生的過程，本題說明了所有能夠做出的長度組成一個數(shù)域，也說明了有理數(shù)域是最小的數(shù)域（補(bǔ)充說一句最大的數(shù)域是復(fù)數(shù)域）

（5）本題是古希臘人研究的著名問題之一，在還不知道有無理數(shù)這個東西的時候，古希臘人當(dāng)然會猜想用尺規(guī)做出的線段長度組成的數(shù)集就是有理數(shù)域。在數(shù)學(xué)知識和宗教地位綁在一起的年代，人類認(rèn)識到無理數(shù)的存在是一個艱難而充滿血腥的過程，如何進(jìn)一步從有理數(shù)集走到實(shí)數(shù)集，將是高等數(shù)學(xué)一開始就將要介紹的知識。在大家都知道無理數(shù)存在的今天，我相信有很多同學(xué)做出了長度為 的線段，于是這道題的實(shí)際結(jié)果是不是可以做出所有實(shí)數(shù)呢？很遺憾，答案也是否定的，伽羅華（Galois）創(chuàng)造的群的理論成功說明了能夠做出來的長度是所有以實(shí)數(shù)為系數(shù)的二次方程的根組成的數(shù)集，古希臘人在公元前幾百年時就已經(jīng)在尋找的這個數(shù)域，在2000多年后的19世紀(jì)才被Galois找到。

（作者單位：湖南省長沙市雅禮中學(xué)）