慣導(dǎo)平臺自標(biāo)定中安裝誤差可觀性分析

許永飛，張士峰

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410073）

慣導(dǎo)平臺自標(biāo)定中安裝誤差可觀性分析

許永飛，張士峰

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410073）

針對慣導(dǎo)平臺連續(xù)翻滾自標(biāo)定中安裝誤差標(biāo)定精度不高這一現(xiàn)狀，提出了一種解決方案。通過對慣性器件的輸出誤差模型和安裝誤差的分析，建立了系統(tǒng)的姿態(tài)動力學(xué)方程和觀測方程，利用輸出靈敏度理論分析了系統(tǒng)的可觀性，指出加速度計(jì)安裝誤差可觀性較差是影響標(biāo)定精度的主要原因。利用 Kalman濾波中的估值方差矩陣計(jì)算了安裝誤差之間的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算結(jié)果表明可觀性差是由安裝誤差之間的線性相關(guān)性造成的，并確定了具體的不可觀參數(shù)。以加速度計(jì)輸入軸為基準(zhǔn)建立平臺坐標(biāo)系可以減少安裝誤差項(xiàng)，使所有的安裝誤差的變得可觀。最后的仿真結(jié)果表明在新的方案下，安裝誤差的估值偏差小于5"，標(biāo)定精度得到了顯著提高。

慣導(dǎo)平臺；安裝誤差；可觀性；輸出靈敏度；相關(guān)系數(shù)

慣導(dǎo)平臺廣泛應(yīng)用于艦船、潛艇、戰(zhàn)略彈道導(dǎo)彈等需要長時(shí)間為載體提供高精度導(dǎo)航參數(shù)的場合。而慣性儀表的精度在很大程度上決定了慣導(dǎo)平臺的使用精度。由于各種因素的制約，慣性儀表會存在各種誤差，從而影響慣導(dǎo)平臺的導(dǎo)航精度。因此各項(xiàng)誤差進(jìn)行標(biāo)定和補(bǔ)償就顯得尤為重要[1]。

對于慣導(dǎo)平臺的誤差模型，美國的 Frazier J. Helling等以液浮陀螺慣導(dǎo)平臺為背景建立了包含63項(xiàng)誤差的誤差模型[2]。該模型物理意義明確，具有較強(qiáng)的工程實(shí)用性。

對于慣導(dǎo)平臺的標(biāo)定，常用的有多位置自標(biāo)定[3-4]和連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定[5-7]兩種方法。多位置標(biāo)定實(shí)現(xiàn)起來簡單，運(yùn)算量小，易引入器件的安裝誤差以及對準(zhǔn)誤差等誤差因素且能夠標(biāo)定的誤差系數(shù)有限。連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定實(shí)現(xiàn)起來復(fù)雜，但能夠標(biāo)定出更多的誤差系數(shù)。在連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定中，旋轉(zhuǎn)軌跡的可觀性分析及旋轉(zhuǎn)軌跡的優(yōu)化是重點(diǎn)和難點(diǎn)，在文獻(xiàn)[7-8]中，PWCS理論、Lie導(dǎo)數(shù)、奇異值分解、輸出靈敏度等方法被用于系統(tǒng)的可觀性分析。

作者在基于文獻(xiàn)[2]中的誤差模型開展慣導(dǎo)平臺連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定的研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)考慮12項(xiàng)慣性器件安裝誤差時(shí)，安裝誤差標(biāo)定結(jié)果不理想。靈敏度分析表明，安裝誤差存在不可觀的問題，但不能確定具體的不可觀參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，本文從隨機(jī)變量的相關(guān)性出發(fā)，通過相關(guān)系數(shù)分析指出安裝誤差不可觀是由不同安裝誤差之間的線性相關(guān)性造成的，需要舍棄三項(xiàng)加速度計(jì)安裝誤差才能保證所有的安裝誤差都是可觀的，且舍棄的安裝誤差必須符合一定的規(guī)律：即應(yīng)保證平臺坐標(biāo)系的一根坐標(biāo)軸沿一個(gè)加速度計(jì)的輸入軸方向。

1 基本理論

1.1 基本坐標(biāo)系及轉(zhuǎn)換關(guān)系

圖1 平臺幾何構(gòu)成示意圖Fig.1 Platform geometry

圖2 陀螺儀安裝誤差Fig.2 Platform-gyro coordinate geometry

圖3 加速度計(jì)安裝誤差Fig.3 Platform-Accelerometer geometry

平臺系到各慣性器件坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩為

平臺坐標(biāo)系到平臺基座坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

1.2 慣導(dǎo)平臺誤差模型

通過框架角建立慣導(dǎo)平臺的動力學(xué)模型?？蚣芙撬俾逝c平臺角速率之間的關(guān)系為

老年教育屬于服務(wù)型、社會性教育，對老年人的管理也是以人為本，本著關(guān)心、關(guān)愛和尊重老人的基本原則，最大限度滿足老年人對興趣愛好和教育內(nèi)容的需要。老年大學(xué)和教育機(jī)構(gòu)盡力為老年人提供便利舒適的教育環(huán)境，悉心、耐心、周到地為老年人提供優(yōu)質(zhì)和滿意的服務(wù)。比如，將有共同愛好的老年人集中起來，互相交流溝通，找到精神的寄托，讓老年人的子女安心工作，也填補(bǔ)了老年人因子女不在身邊而牽掛思念的空閑時(shí)間，對于建立幸福家庭，發(fā)展社會文化事業(yè)起到了積極的作用［3］。

1.3 系統(tǒng)動力學(xué)方程與觀測方程

將前文提到的所有的誤差系數(shù)及三個(gè)框架角作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程可以表示為

式中：W(t)表示系統(tǒng)干擾，為零均值的高斯白噪聲。

選取三個(gè)加速度計(jì)的輸出作為觀測量，則系統(tǒng)的觀測方程為

式中：m(t)為測量噪聲。

1.4 靈敏度分析理論

如果系統(tǒng)用狀態(tài)方程來描述，這時(shí)的靈敏度問題通常用所謂的軌跡靈敏度來處理，它是表征參數(shù)變化對狀態(tài)影響的屬性。具體來說，如果系統(tǒng)在額定參數(shù)時(shí)的額定方程為（假設(shè)參數(shù)為r維的）

式(15)與式(18)組成了狀態(tài)靈敏度方程，不管原來的狀態(tài)方程是否為線性的，狀態(tài)靈敏度方程一定是線性的：

2 考慮12項(xiàng)安裝誤差時(shí)的標(biāo)定結(jié)果

在連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定中，慣導(dǎo)平臺的翻轉(zhuǎn)路徑的設(shè)計(jì)是重點(diǎn)和難點(diǎn)，參考文獻(xiàn)[7]的思路對旋轉(zhuǎn)路徑進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)設(shè)計(jì)結(jié)果對平臺施加指令力矩，采集加速度計(jì)的輸出，然后采用擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）方法對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得誤差系數(shù)的估計(jì)值。表 1給出了考慮12項(xiàng)安裝誤差（常規(guī)方案）時(shí)的標(biāo)定結(jié)果。

從表1中可以看出陀螺和加速度計(jì)的零次項(xiàng)、一次項(xiàng)誤差系數(shù)都獲得了非常好的估計(jì)結(jié)果，但12項(xiàng)安裝誤差的估計(jì)結(jié)果較差，因此需要分析原因，給出解決這一問題的方法，以提高標(biāo)定精度。

表1 考慮12項(xiàng)安裝誤差時(shí)的標(biāo)定結(jié)果Tab.1 Calibration result of error parameters under conventional scheme

3 安裝誤差可觀性分析

在旋轉(zhuǎn)路徑優(yōu)化時(shí)，采用了系統(tǒng)的總可觀測性矩陣的秩及其奇異值作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，這個(gè)目標(biāo)函數(shù)并不能反映具體某個(gè)狀態(tài)變量的可觀測度。參數(shù)的輸出靈敏度反映了參數(shù)在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的激勵(lì)程度，而參數(shù)輸出靈敏度之間的相關(guān)特性也反應(yīng)了激勵(lì)的互相關(guān)特征，通過分析不同參數(shù)的輸出靈敏度之間的聯(lián)系可以進(jìn)一步分析具體參數(shù)的可觀測性。

圖4給出了加速度計(jì)安裝誤差的輸出靈敏度，從圖中可以看出6個(gè)加速度計(jì)的安裝誤差的輸出靈敏度存在兩兩近似互相關(guān)的情況，這表明需要去掉3個(gè)加速度計(jì)安裝誤差才能完全可觀，這解釋了加速度計(jì)安裝誤差估計(jì)結(jié)果較差的原因，但具體舍棄哪些安裝誤差還無法確定。圖5給出了陀螺安裝誤差的輸出靈敏度，從中可以看出每項(xiàng)安裝誤差都得到了充分的激勵(lì)，且不存在近似互相關(guān)的情況。因此，需要從別的途徑入手解釋陀螺安裝誤差估計(jì)結(jié)果不理想的原因。

圖4 加速度安裝誤差輸出靈敏度Fig.4 Output sensibility of accelerometer misalignment angle

事實(shí)上，在Kalman濾波中，濾波方差陣除了可以用來分析濾波效果外，還可以用來分析各狀態(tài)變量之間的相互影響關(guān)系。不同狀態(tài)變量之間的相關(guān)系數(shù)可以通過下式得到

從表2中可以看出，陀螺安裝誤差之間的相互影響程度更大，而加速度計(jì)安裝誤差之間的相互影響關(guān)系要小一些。通過進(jìn)一步的分析可以發(fā)現(xiàn)，6個(gè)陀螺安裝誤差之間的相關(guān)關(guān)系很大程度上是因?yàn)榕c3個(gè)加速度計(jì)安裝之間的相關(guān)關(guān)系造成的。因此考慮在連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定中舍棄這三項(xiàng)誤差。

圖5 陀螺安裝誤差的輸出靈敏度Fig.5 Output sensibility of gyro misalignment angle

表2 安裝誤差之間的相關(guān)關(guān)系Tab.2 Correlation among misalignment angles

4 改進(jìn)方案的標(biāo)定結(jié)果

根據(jù)上述結(jié)論，在連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定中略去3項(xiàng)加速度計(jì)安裝誤差即以X加速度計(jì)的輸入軸為基準(zhǔn)建立平臺坐標(biāo)系（改進(jìn)方案）。依然采用與原方案一致的旋轉(zhuǎn)路徑、誤差系數(shù)真值及濾波初始條件，圖6給出了在新的方案下慣性器件安裝誤差的標(biāo)定結(jié)果。

從圖6中可以看出，采用改進(jìn)方案后，慣性器件安裝誤差的標(biāo)定結(jié)果得到了顯著提高，估計(jì)誤差小于5"。更進(jìn)一步的分析與仿真表明，以任何一個(gè)加速度計(jì)的輸入軸為基準(zhǔn)建立平臺坐標(biāo)系，安裝誤差的標(biāo)定結(jié)果都能獲得很好的估計(jì)結(jié)果。

圖6 新方案下安裝誤差標(biāo)定結(jié)果Fig.6 Estimation results of misalignment angles under improved scheme

5 結(jié) 論

本文對慣導(dǎo)平臺連續(xù)旋轉(zhuǎn)自標(biāo)定中慣性器件安裝誤差標(biāo)定結(jié)果不理想的原因進(jìn)行了分析，結(jié)果表明這是由于安裝誤差之間的線性相關(guān)性造成的。解決這一問題的方法是以加速度計(jì)的輸入軸為基準(zhǔn)建立平臺坐標(biāo)系。另外利用相關(guān)系數(shù)分析來確定不可觀的狀態(tài)變量，這為可觀性分析提供了新的思路。

（References）：

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Observability analysis of IMU’s misalignment angles in self-calibration for inertial platform

XU Yong-fei, ZHANG Shi-feng
(College of Aerospace science and engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

An improved scheme for inertial platform is proposed to solve the problem that the calibration accuracy for the misalignment angles is not high in the continuous rotation self-calibration. Combining with the output error model and misalignment angles of the inertial device, an attitude dynamic model and observation equations are established. The system’s observability is analyzed based on the theory of output sensitivity. According to the analysis, it is the low observability of the accelerometers' misalignment angles that mainly affects the calibration accuracy. Correlation coefficients are calculated with the estimation error covariance matrix in the Kalman filter, and the calculation results indicate that the low observability is caused by the linear correlations. A new scheme is proposed by establishing the platform coordinate system based on the input axis of one accelerometer, which can reduce the number of the misalignment angles and make all the error parameters observable. Simulation results show that the estimation error of the misalignment angles is less than 5" and the calibration accuracy is significantly improved by the improved scheme.

inertial platform; misalignment angle; observability; output sensitivity; correlation coefficient

V441

A

2015-06-03；

：2015-09-21

航天科技創(chuàng)新基金（CASC201105）

許永飛（1988—），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)閼T性導(dǎo)航。E-mail：xyf_xyf2008@126.com

聯(lián) 系 人：張士峰（1971—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：zhang_shifeng@hotmail.com

1005-6734(2015)05-0575-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.05.004