基于混沌隨機濾波器的CS-MIMO雷達測量矩陣優化設計

彭珍妮,賁 德,張 弓

(1.南京航空航天大學無人機研究院,江蘇南京210016; 2.南京航空航天大學雷達成像與微波光子技術教育部重點實驗室,江蘇南京210016)

基于混沌隨機濾波器的CS-MIMO雷達測量矩陣優化設計

彭珍妮1,2,賁 德2,張 弓2

(1.南京航空航天大學無人機研究院,江蘇南京210016; 2.南京航空航天大學雷達成像與微波光子技術教育部重點實驗室,江蘇南京210016)

提出了一種在壓縮感知多輸入多輸出(compressive sensing-multiple input multiple output,CS-MIMO)雷達中利用混沌非線性系統設計隨機濾波器進而實現測量矩陣優化的方法。目前,大部分研究采用高斯隨機矩陣作為測量矩陣,這類測量矩陣的局限性是,每次仿真實驗產生的矩陣互不相同,雷達系統無法實現在線優化,且其對硬件要求高,實現困難。在CS-MIMO雷達信號模型基礎上構造稀疏基,提出了基于隨機濾波器結構的測量矩陣設計方法,利用混沌序列構造隨機濾波器系數,完成對雷達回波的壓縮觀測。同時以Gram矩陣逼近對角矩陣為準則對隨機濾波等效測量矩陣進行優化,進一步提高雷達系統性能。仿真結果表明所提出的基于混沌隨機濾波器的CS-MIMO雷達測量矩陣設計與優化算法能夠有效提高波達角(direction of arrival,DOA)估計精度。

壓縮感知;多輸入多輸出雷達;測量矩陣;混沌;隨機濾波器

0 引 言

近些年,基于壓縮感知理論的多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達系統成為雷達領域的一個研究熱點[12]。由文獻[3-4]提出的壓縮感知(compressive sensing,CS)理論指出,只要信號在某個域是稀疏的,就可以僅利用“壓縮觀測”后的少量數據將原始信號完整地重構出來,突破了傳統的奈奎斯特采樣定理對采樣頻率的限制。在大多數場景中,雷達系統感興趣的目標相對于整個探測空間是稀疏的,這使得基于CS技術的雷達信號處理獲得了廣泛研究[5]。CS-MIMO雷達的主要優勢是接收端不需要匹配濾波,降低了系統復雜度;接收端的采樣率低,參數估計所需數據量少,降低了系統對A/D等硬件的性能要求。

設計一個優秀的測量矩陣實現信號的壓縮觀測是CS的重要思想[6]?，F有的CS研究文獻給出了測量矩陣的設計準則:由測量矩陣和稀疏基構成的感知矩陣須滿足有限等間距(restricted isometry property,RIP)條件[7]。當感知矩陣滿足RIP條件時,任意抽取少于K列組成的子矩陣都滿足近似正交性,從而保證兩個不同的K稀疏信號不會映射成兩個相同的壓縮域信號。在MIMO雷達系統中,在給定的場景信息和系統參數下,稀疏基主要由MIMO雷達信號模型決定,因此設計一個易于實現又可控的測量矩陣以降低雷達回波信號在壓縮域的互相關性,能夠提升CS-MIMO雷達性能。

目前大多數研究文獻均采用高斯或伯努利隨機矩陣作為測量矩陣[8]。這類矩陣的優點是隨機性強,能保證感知矩陣各列間低的互相關性。但也有其自身的不足。如文獻[9]所述,對于一個由雷達信號模型決定的特定的稀疏基,高斯隨機測量矩陣未必是保證感知矩陣各列相關性充分小的最佳選擇。事實上,隨機測量矩陣在實際雷達系統中很難實現,且每次產生的矩陣都不相同,難以實時控制滿足仿真需要。鑒于高斯隨機測量矩陣的這些特點,有學者提出將混沌非線性系統用于CS測量矩陣設計?；煦缡欠蔷€性系統所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式,它產生的混沌序列對初始值高度敏感并且具有良好的偽隨機性質。文獻[10]利用logistic映射產生混沌序列構造測量矩陣,并從數學上證明了該矩陣滿足RIP性質。文獻[11]研究了利用不同混沌系統設計測量矩陣時的重構精度問題。但CS-MIMO雷達的稀疏基和測量矩陣與普通信號不同,上述方法無法直接用于CS-MIMO雷達。文獻[12]開展了一些開拓性研究,提出了利用二維時空混沌產生隨機測量矩陣,并在CSMIMO雷達信號模型的基礎上提出了基于奇異值分解的測量矩陣優化算法,進一步降低了感知矩陣的各列間的互相關性,提高了雷達系統的重構性能。

根據上述研究現狀,本文提出了一種新的測量矩陣的設計方法,利用混沌非線性系統構造隨機濾波器實現對雷達回波信號的壓縮觀測,并在此基礎上根據CS-MIMO雷達感知矩陣優化思想,進一步優化其混沌隨機濾波等效測量矩陣,使回波信號在壓縮域的互相關性進一步降低,提升CS-MIMO雷達恢復場景的精度。

1 CS-MIMO雷達信號模型

假定雷達發射窄帶信號,遠場目標為點目標,其RCS在一個脈沖周期是不變的,不考慮多普勒效應和雜波[13]。

MIMO雷達系統由Nt個發射天線和Nr個接收天線組成。發射信號和接收信號可分別表示為

式中,(·)T表示矩陣轉置;xi表示通過第i個天線發射的信號;yj表示第j個接受陣元處的信號。

用θ表示某遠場點目標的波達角,發射和接收導向矢量可分別表示為

其中,

式中,d表示相鄰陣元間距;λ表示載波波長。

那么第j個接受陣元處的接收信號可表示為

式中,βk表示第k個點目標雷達RCS比例系數;ej表示引入的噪聲。

將目標角度空間離散化為α=[α1,α2,…,αN],其中N表示離散單元格子的數目,式(5)可以寫為

式(6)可進一步寫為

式中,Ψj=bjATx,稱為稀疏基;s=[s1,s2,…,sN]T。根據CS理論,當遠場點目標數遠小于N時,目標在角度空間是稀疏的,則s是一個稀疏向量,s中的非零元素表示在這個角度上有目標存在。

通過設計一個q×NrL(q?NrL,L為一個周期內的快拍數)的測量矩陣Φ,可以得到壓縮測量后q×1維的回波數據z:

通過對s的重構估計,即可以獲得目標角度信息[14]。

可以看到在具體的CS-MIMO雷達系統中,稀疏基Ψ主要由信號模型確定,因此測量矩陣的設計對重構精度起關鍵作用。

2 基于Logistic映射的混沌隨機濾波器設計

目前大多數研究CS的文獻選擇高斯矩陣或伯努利隨機矩陣為測量矩陣,理論可以證明這類測量矩陣Φ與任意的固定的稀疏基Ψ能夠在很大概率上使感知矩陣Θ=ΨΦ滿足RIP條件。但是隨機測量矩陣對硬件要求極高,在實際雷達系統中很難實現。因此,為了方便對雷達回波信號進行實時測量,本文研究用FIR濾波器結構完成壓縮測量[15],如圖1所示。CS-MIMO雷達回波信號y(t)首先通過一個低速的A/D轉換器,然后通過一個長度為D的隨機FIR濾波器,接著對輸出信號進行降采樣得到測量值z。這種濾波器結構的測量方法具有時不變性,濾波器系數h可預先設計并存儲,能夠提高應用效率,而且在硬件上比傳統的隨機測量矩陣容易實現[16]。

圖1 基于混沌隨機濾波器的信號壓縮

如圖1所示,隨機FIR濾波器的系數采用混沌系統產生而不是用高斯隨機變量。這里選用的是研究的比較成熟的Logistic映射,一維Logistic映射數學表達式如下:

式中,xn∈(0,1),表示第n個迭代值;μ是Logistic參數。當3.569 945 6…≤μ≤4時,系統進入混沌狀態,迭代產生的值處于一種偽隨機分布狀態,且μ越接近4,混沌性越強?；煦鐮顟B主要表現為兩個特點:一是良好的隨機性;二是對初始條件的敏感性,即初始條件的微小變化將導致混沌最終狀態出現很大差別。本文利用的正是混沌非線性系統的這兩個特點:利用其隨機性構造隨機FIR濾波器系數實現壓縮測量,而且只需輸入混沌初始條件即可;利用其對初始條件敏感性實現雷達系統的實時在線優化,可以獲得與稀疏基較好匹配的測量矩陣,使相應的感知矩陣具有盡可能小的列間互相關性。

在選取濾波器系數時,先讓Logistic系統迭代一定的次數后,再靠后選取一段迭代值,以便更好地保證隨機性。由壓縮測量過程可知混沌隨機濾波器對應的等效矩陣是h經逐行移位所得,具有類Toeplitz矩陣的形式?？梢詮臄祵W上證明該等效測量矩陣與稀疏基構成的感知矩陣能夠滿足RIP性質[10]。

3 隨機濾波等效測量矩陣優化

利用第2節提出的方法產生的等效測量矩陣并未考慮CS-MIMO雷達稀疏基的特點,有必要對其做進一步的優化處理。文獻[6]從重構算法性能角度研究了感知矩陣的歸一化互相關系數ccΘ,即矩陣各列間歸一化互相關系數的絕對值的最大值:

式中,Θi和Θj分別表示Θ的第i列和第j列。感知矩陣互相關系數越小,CS-MIMO雷達系統性能越好。但作為優化準則,依據式(10)難以實施。一個可行的優化方案是研究感知矩陣的Gram矩陣G,G=ΘHΘ,G的對角元素是感知矩陣各列的自相關系數,非對角元素是各列間的互相關系數,因此優化準則可轉化為使感知矩陣Θ(Θ=Φ×Ψ)的Gram矩陣G盡可能地逼近對角矩陣,即

式中,G*=diag(g1,1,g2,2,…,gN,N),是一個對角矩陣,它的對角元素是感知矩陣各列的自相關系數,即gi,i=ΘHiΘi。對角矩陣G*是在理想情況下,感知矩陣具有盡量小的歸一化互相關系數時的Gram矩陣。因此,當Gram矩陣G不斷逼近對角矩陣G*時,感知矩陣Θ的歸一化互相關系數會變小,從而提高信號的恢復精度。

將式(11)作進一步的推導,可以寫為

式中,g*=diag(g1,1,g2,2,…,gN,N);Γ是一個半酉矩陣,即ΓHΓ=Ι;c是一個常數。利用奇異值分解對式(12)進行尋優求解,具體步驟如下:

步驟1 根據給定的CS-MIMO雷達發射信號和場景參數構造出稀疏基Ψ;給定Logistic映射的初始值產生混沌序列,得到混沌隨機濾波等效測量矩陣Φ,設置迭代終止門限σ。

步驟2 由已知的測量矩陣Φ,計算出半酉矩陣Γ,具體方法是對ΦΨ(g*)-1進行奇異值分解:

其中,Σ是對角矩陣,其對角線上的元素是分解得到的奇異值。可以得到:

步驟3 利用步驟2中計算得到的半酉矩陣Γ,通過下式反解出Φ:

其中,Q=Ψ(g*)-1。注意到Q中存在零元素,最小二乘估計算子無法直接應用。這一問題可以通過奇異值分解后去除為零的奇異值來解決,方法如下:

對Q進行奇異值分解:

式中,U1和U2為酉矩陣,Δ是由非零的奇異值構成的對角矩陣;Δ=diag(Δ1,Δ2,…,Δq);而q即為Q的奇異值中的非零元素的個數。

步驟4 利用最小二乘估計算子計算出優化的測量矩陣:

需要說明的是,這種尋優算法的本質是基于循環算法的局部優化方法,具有收斂速度快的特點[8]。但由于優化過程中用到了兩次奇異值分解,對運算平臺的計算能力要求較高。

4 仿真結果與分析

考慮一個CS-MIMO雷達系統,發射陣元數Nt=16,接收陣元數Nr=25,陣元均勻間隔。發射信號為正交Hadamard碼,一個周期內的快拍數L=16。假設雷達觀測的角度范圍為[-25°,25°],壓縮后的觀測矢量維數M=25。將Logistic映射的初始值設為0.243 2,μ取4,在產生的混沌序列中截取一段構造混沌隨機FIR濾波器系數。

4.1 感知矩陣的歸一化互相關系數

圖2給出的是當CS-MIMO雷達發射波形一定時,分別采用高斯隨機測量矩陣、混沌隨機濾波器及其優化得到的濾波器所對應的感知矩陣的歸一化互相關系數的統計直方圖,均以0.025為間隔進行統計。表1給出的是對應圖2中的感知矩陣歸一化互相關系數的平均值和最大值。由結果可見,高斯隨機矩陣與混沌隨機濾波器所對應的感知矩陣歸一化互相關系數的平均值比較接近,但后者的最大值低于前者,相差0.196 7,由前面理論分析可知,在重構性能方面,混沌隨機濾波器要略優于高斯隨機矩陣?；煦珉S機濾波器經優化算法后,感知矩陣歸一化互相關系數有明顯變化,集中于小于0.4的范圍內,其平均值和最大值分別減小了0.035 3和0.135 5,驗證了優化算法的有效性。

圖2 感知矩陣的歸一化互相關系數統計直方圖

表1 感知矩陣的歸一化互相關系數統計表

4.2 濾波器優化前后的DOA估計性能比較

假設遠場目標位于[-25°,25°],雷達回波中混有均值為零的高斯白噪聲。利用OMP重構算法實現DOA估計:

圖3給出的是當目標波達角分別為-20°,-12°,-4°, 4°,10°和18°時,采用混沌隨機濾波器及其優化后的濾波器的DOA估計結果。可見,利用優化后的混沌隨機濾波器能夠將6個目標準確地估計出來,而優化前的濾波器最多只能獲得4個目標的DOA估計,優化后的濾波器能進一步提升CS-MIMO雷達系統的性能。

圖3 DOA估計結果

4.3 蒙特卡羅仿真

利用蒙特卡羅實驗來分析不同稀疏度下,即遠場目標個數K取不同值時,采用高斯隨機測量矩陣、混沌隨機濾波器及其優化得到的隨機濾波器所對應的系統DOA估計精度。采用均方根誤差(root mean square error,RMSE)來描述其估計精度,DOA估計的均方根誤差定義為

圖4給出的是當其他參數固定時,分別進行1 000次蒙特卡羅仿真實驗得到的DOA估計誤差隨稀疏度(目標個數)的變化曲線?？梢?隨著目標個數的增大,DOA估計誤差逐漸增大。但優化后的濾波器對應的估計誤差度始終低于高斯隨機矩陣和優化前的混沌隨機濾波器;混沌隨機濾波器與高斯隨機矩陣對應的估計誤差比較接近,這與第4.1節中的分析相吻合。

圖5給出的是當系統稀疏度K=5,采用優化后的混沌隨機濾波器時,進行1 000次蒙特卡羅實驗得到的DOA估計誤差隨Logistic映射初始值x0的變化曲線。可以看出,當x0在(0,1)之間取值時,估計誤差出現小幅度浮動,但誤差均在可接受的范圍之內。出現浮動的原因是,logistic映射對初始值的變化十分敏感,初始值微小的差別,得到的混沌序列差別很大,從而影響隨機濾波器的系數,進而影響到估計誤差?；煦缦到y的這一特點可以用于在線優化,只需調整混沌初始值,可獲得與雷達稀疏基構成的感知矩陣重構性能較優的隨機濾波器系數,這是利用混沌序列設計濾波器系數的一個優勢。

圖4 不同稀疏度下的DOA估計精度

圖5 不同混沌初始值下的DOA估計精度

5 結 論

本文提出了一種基于混沌隨機濾波器的CS-MIMO雷達測量矩陣優化設計方法。利用隨機濾波器設計等效測量矩陣,隨機濾波器系數由混沌非線性系統產生,使感知矩陣能夠滿足RIP特性,避免了采用高斯隨機測量矩陣的硬件實現困難問題,利用混沌系統對初始值的敏感性還可以實現系統的在線優化。同時,提出了基于奇異值分解的感知矩陣優化算法,能夠有效降低感知矩陣列間相關性,從而降低了雷達目標DOA估計誤差,顯著提高了CS-MIMO雷達系統性能。仿真實驗證明本文提出的測量矩陣優化設計方法是有效可行的。

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Measurement matrix optimization for CS-MIMO radar based on chaotic random filter

PENG Zhen-ni1,2,BEN De2,ZHANG Gong2
(1.Research Institute of UAV,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China; 2.Key Laboratory of Radar Imaging and Microwave Photonics,Ministry of Education, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

An optimized measurement matrix design method for compressive sensing-multiple input multiple output(CS-MIMO)radar is proposed by applying the chaotic dynamical system to random filter design.Most of the previous research takes the Gaussian random matrix as the measurement matrix.However,it cannot realize on-line optimization and is hard to be implemented in physical electric circuit.Considering that the basis matrix is obtained from the CS-MIMO radar signal model,we propose a new measurement matrix design method applying the random filter.By constructing the filter coefficients with the chaotic sequence,the CSis achieved for the received signal.Moreover,an optimization method is performed on the equivalent measurement matrix of the random filter,by making the Gram matrix approach the diagonal matrix.The simulation results show that the proposed measurement matrix design and optimization method based on the chaotic random filter can effectively improve the direction of arrival(DOA)estimation accuracy of the CS-MIMO radar.

compressive sensing(CS);MIMO radar;measurement matrix;chaos;random filer

TN 958.4

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.09

彭珍妮(1982-),女,助理研究員,博士研究生,主要研究方向為壓縮感知雷達、雷達信號處理。

E-mail:pengzhenni@nuaa.edu.cn

賁 德(1938-),男,研究員,博士研究生導師,院士,主要研究方向為雷達系統、雷達信號處理。

E-mail:bende01@sohu.com

張 弓(1964-),男,教授,博士研究生導師,主要研究方向為目標探測與識別、雷達信號處理、壓縮感知、圖像分析與處理。

E-mail:gzhang@nuaa.edu.cn

網址:www.sys-ele.com

1001-506X(2015)03-0532-05

2014 08 27;

2014 11 14;網絡優先出版日期:2015 01 28。

網絡優先出版地址:http://w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150128.1006.001.html

國家自然科學基金(61071163,61071164,61201367,61271327,61471191);江蘇高校優勢學科建設工程資助課題