貯存可用度約束下的可修系統壽命評估與優化

馬小兵,楊 力

(1.北京航空航天大學可靠性與系統工程學院,北京100191;2.北京航空航天大學可靠性與環境工程技術國防科技重點實驗室,北京100191)

貯存可用度約束下的可修系統壽命評估與優化

馬小兵1,2,楊 力1

(1.北京航空航天大學可靠性與系統工程學院,北京100191;
2.北京航空航天大學可靠性與環境工程技術國防科技重點實驗室,北京100191)

針對長期貯存復雜可修系統的特點,提出一種以可用度為約束的系統貯存壽命評估方法。該貯存系統由三類部件串聯構成:第一類部件為高可靠產品,具有給定故障時間分布且不進行檢測;第二類部件為等時定檢維修產品,且修復如新;第三類部件為定期預防性更換產品,更換周期與檢測周期相同。在分析上述三類部件瞬態貯存可用度變化規律基礎上,推導了此類系統的平均貯存可用度,并以其作為約束條件,建立了該類系統貯存壽命的評估與優化模型,給出了滿足系統壽命最大化的檢測與更換策略。

可修系統;壽命評估;貯存可用度;定期檢測;定期更換

0 引 言

根據國軍標451A-2005定義,使用壽命是指產品使用到從技術上或者經濟上考慮不宜繼續使用,而必須報廢或者大修時的壽命單位數。而貯存作為一種特殊的使用形式,其壽命的技術衡量指標可采用貯存可用度。對于可修貯存系統,貯存可用度影響因素主要包括貯存系統的故障規律、檢測維修策略和保障資源等。

____現階段,國內外關于可用度開展了較多研究。在單部件可用度方面,文獻[1-3]建立了定檢產品的可用度模型,其中檢測維修時間忽略。文獻[4-8]研究了檢測維修時間不可忽略時可用度的變化規律。而在多部件可用度方面,文獻[9]基于多類相互獨立的部件的可用度研究了費用優化問題。文獻[10-11]分析了失效相互影響下的兩部件和多部件可修系統的平均可用度。文獻[12-14]建立了包含不同壽命分布組件的系統混合檢測和替換模型,并推導了系統的平均可用度。

然而,上述文獻均進行的是工作狀態的可用度研究,對于貯存環境下的復雜系統可用度變化規律缺少研究。為此,本文基于實際的貯存情況,對由三類故障分布與維護策略均不相同的典型部件所構成串聯系統的貯存可用度開展了具體研究。三類部件的維護方式分別為:無檢測、定期檢測并維修、定期更換。根據更新理論,分別推導了各類部件的瞬態可用度,并在考慮維修和更換時間差異性的基礎上,給出了該系統的瞬態可用度和平均可用度。

本文在相關研究基礎上提出一種以系統平均貯存可用度為約束的貯存壽命評估和優化方法。若經過一段貯存期,系統平均貯存可用度降低到某一規定的閾值,則系統必須進行整體大修或報廢處理,而到達該閾值的時間即為系統貯存壽命。可通過對系統檢測周期進行優化,實現系統貯存壽命最大化的目標,并通過算例給出了模型的優化計算結果。

1 基本假設

假設1 系統由三類不同部件串聯組成,為簡化模型,假定每一類均為單個部件。各類部件失效時間服從不同的分布,且相互獨立,互不影響。

假設2 三類部件于同一時刻開始貯存,設為零時刻。

假設3 第二類部件每隔固定周期進行檢測,檢測時間忽略不計。

假設4 第三類部件的更換周期與第二類部件的定期檢測周期相同。

假設5 維修和更換期間貯存系統均處于非正常貯存狀態,即瞬態可用度為零。

假設6 維修和更換時間均為不可忽略的固定值。

2 系統貯存壽命定義

記XS(t)為貯存系統在t時刻的狀態隨機變量,即

則系統的瞬態貯存可用度是指系統在規定的貯存條件下,在規定的時刻具備規定功能的概率,則系統在t時刻的瞬態貯存可用度定義為

系統的平均貯存可用度是指在貯存時間[0,t]內能工作的時間所占的比例,可根據瞬態可用度進行推導

對于由三類典型部件串聯構成的可修貯存系統,貯存壽命可定義為

即若經過一段時間的貯存,系統平均貯存可用度首次下降到某一規定的可用度閾值Aα,則認為該貯存系統不能滿足規定的技術要求,必須進行報廢或者大修等操作。而這一段的貯存時間TS即為系統的貯存壽命。

需要指出的是,選取平均貯存可用度作為貯存壽命的約束條件是由于其遞減的平滑性,波動幅度較小,而系統瞬態貯存可用度由于存在零點,且波動幅度較大,不適宜作為壽命約束。

3 貯存可用度模型

對于該串聯貯存系統,無法直接根據更新理論得到系統在[0,t]內的平均可用度,需要通過系統的瞬態可用度來進行轉換。下面首先研究各類部件的瞬態貯存可用度。

3.1 第一類部件瞬態貯存可用度模型

此類部件可靠性較高,無需進行檢測和維修更換。在不考慮維修更換等因素的情況下,該類部件在任意時刻的瞬態可用度即為其可靠度,即

3.2 第二類部件瞬態貯存可用度模型

假定該類部件從零時刻開始貯存,初始可靠度為1。每隔固定時間T對部件進行定期檢測。一旦檢測到故障,則立即進行維修。經過Tc(0＜Tc＜T)的時間修復如新,繼續貯存。檢測更換策略如圖1所示。

圖1 第二類部件的檢測維修策略

設該類部件的故障時間分布函數為F2(t),可靠度函數為R2(t)。推導可知,該類部件在任意時刻t的瞬時貯存可用度A2(t)可表示為

式中,k=1,2,…;ci=i T+Tc。

推導過程如下。設Tf為該類部件第一次故障發生時間,Tf*為第一次維修完成時間,Tl為最后一次故障發生時間,Tl*為第二類部件最后一次維修完成時間。

(1)當0＜t≤T時,無維修發生,可用度即為其可靠度,故有

(2)當T＜t≤c1時,部件可能處在未故障或故障維修兩種狀態下,注意到部件從發生故障到維修結束前均不可用,故其瞬態可用度可表示為

(3)當ck＜t≤ck+1時,對于該類部件在t之前發生過故障且在t時刻處于完好的概率為

3.3 第三類部件瞬態貯存可用度模型

由于該類部件容易故障,故采用定期預防性更換策略,其更換周期和第二類部件的檢測周期相同,均為T。更換需要固定時間TR(0＜TR＜T)。更換策略如圖2所示。

圖2 第三類部件的更換策略

第三類部件的瞬態貯存可用度為

式中,k=1,2,…;dk=k T+TR。

推導過程如下。

(1)當0＜t≤T時,部件更換還未開始,故A3(t)= P(X3(t)=1)=R3(t)。

(2)當k T＜t≤dk(k=1,2,…)時,該類部件正在進行更換,此時部件處于不可用狀態,故A3(t)=P(X3(t)=1)=0。

(3)當dk＜t≤(k+1)T時,該類部件最近的更新時刻,即上一次更換完成時刻為dk,而0＜t-dk≤T,故t時刻的可用度為

3.4 系統瞬態貯存可用度模型

可修貯存系統由第3.1～3.3節中的三類部件串聯構成,且三類部件之間相互獨立、互不影響。因此,當任意一類部件處于不可用狀態時,整個系統也將處于不可用度狀態。因此,系統整體在任意時刻t的瞬態貯存可用度為AS(t)=A1(t)×A2(t)×A3(t)(4)

由于第二類部件為檢測后的修復性維修,其所需時間一般大于第三類部件的預防性更換時間,故假定Tc＞TR,此時系統的瞬態貯存可用度可表示為

式中,k=1,2,…。

4 系統貯存壽命優化方法研究

注意到若系統平均貯存可用度無法降至臨界值Aα,或者收斂于某一大于Aα的值,則對貯存壽命的約束條件不存在。因此,首先需要證明該系統貯存可用度收斂于某一小于Aα的值,證明過程如下。

對于第一類部件,其在無限時間區間內的穩態貯存可用度為

而系統由三類部件串聯構成,因此系統平均貯存可用度必然低于第一類部件的平均貯存可用度,故在無限時間區間上系統的穩態貯存可用度必然也收斂于0,即

故系統平均貯存可用度收斂于0,因而其必然在某一時刻下降到Aα。

從便于工程實施的角度考慮,貯存壽命一般定為檢測/更換周期的整數倍。若m T＜TS≤(m+1)T,即若貯存壽命處于(m T,(m+1)T)之間,則可將貯存壽命近似為最后一次檢測時刻T'S=(m+1)T。

則貯存壽命最大值的數學形式為

即通過對檢測/更換周期T進行優化,可使系統平均貯存可用度降低到閾值的時間所需最長,從而實現系統貯存壽命最大化的優化目標。下面通過數值算例來對優化結果進行分析,并通過仿真進行驗證。

5 算例與結果分析

5.1 貯存可用度算例

系統貯存時間以月為單位。假設第一類部件故障時間服從指數分布,失效率λ1=1/2 500/月;第二類部件故障時間服從威布爾分布,參數為η2=100月,m2=1.8,失效率λ2(t)=1.8×t0.8/1001.8/月,故障維修所需時間Tc為0.2個月;第三類部件故障時間服從指數分布,失效率為λ3= 1/600/月,更換所需時間TR為0.1個月。通過式(1)～式(3),得到三類部件在不同周期下的瞬態貯存可用度。

當檢測周期為12個月時,第二類部件瞬態貯存可用度變化規律如圖3所示。可以看到,其震蕩幅度較大,且最小瞬態貯存可用度逐漸收斂于某一定值。此外,由于維修期間部件不可用,故在首個檢測周期之后,最大瞬態貯存可用度無法達到1。

當更換周期為12個月時,第三類部件瞬態貯存可用度變化規律見圖4。可以看到,在更換期間瞬態貯存可用度為0,并且除了首個更換周期外,其余周期內的可用度變化規律相同。

圖4 第三類部件瞬態貯存可用度(更換周期12個月)

采用式(5)計算系統瞬態貯存可用度,并通過數值積分,得到系統在不同檢測周期下的平均貯存可用度,誤差為10-4。檢測和更換周期均為12個月時系統的平均貯存可用度變化規律見圖5。可以看到,隨著貯存時間增加,整體上平均貯存可用度呈遞減的趨勢。而在局部,除首個周期外,其余檢測/更換周期內平均貯存可用度在呈先增后減的變化趨勢,但是變化幅度逐漸減小。

分析可知,由于系統第二類部件故障時間服從威布爾分布,失效率隨時間逐漸增大,導致系統失效率也逐漸增大,使維修帶來的可用度提升逐漸減小。此外,在第4節中已證明系統平均貯存可用度隨時間增大收斂于0,故在圖中呈遞減態勢。

圖5 系統平均貯存可用度(檢測周期和更換周期均為12個月)

5.2 系統貯存壽命優化算例

給定平均貯存可用度閾值Aα=0.9作為貯存壽命TS的約束條件。則可根據第5.1節中得到的不同檢測/更換周期下的平均可用度值,對T進行優化運算,得到系統最長貯存壽命T*S。

假設檢測周期最小為1個月,最大為24個月,步長為0.1個月。計算可知,當檢測周期為6.1個月時,貯存壽命達到最長,為183個月。貯存壽命和檢測周期之間的關系如圖6所示。可以看到,隨著檢測周期的增大,局部范圍內系統貯存壽命呈現周期性的先增后減鋸齒形變化規律,而從整體上看,貯存壽命先迅速增大,隨后緩慢的減小,存在最大值。

對壽命變化規律分析可知,當檢測周期很短時,由于存在維修時間和更換時間等固定的不可用時間,使正常貯存時間在總時間中的比重降低,平均貯存可用度迅速下降,因而貯存壽命較短。而當檢測周期過大時,由于第二類部件的檢測維修以及第三類部件的更換均不夠及時,故障導致的不可用時間過長,貯存可用度不符合要求,貯存壽命同樣較短。因此,合理的檢測/更換周期大小是延長貯存壽命的關鍵。

圖6 不同檢測周期下的貯存壽命

5.3 仿真驗證

仿真根據系統總貯存時間和總不可用時間來計算系統的平均可用度,并根據設置的平均可用度閾值計算貯存壽命。

各項基本參數值參見第5.1節。需要生成的隨機變量包括服從指數分布的第一、第三類部件故障時間f1、f3和服從威布爾分布的第二類部件故障時間f2。仿真運行次數K=10 000。仿真流程如圖7所示。

圖7 仿真流程圖

部分仿真和運算結果的對比如表1所示,其中檢測周期、維修時間和更換時間分別取不同的值,Aα=0.9。通過對比可以看到,貯存壽命的解析模型和仿真模型結果基本吻合,從而驗證了其準確性。

表1 貯存壽命模型計算值和仿真值

6 結 論

本文提出了一種以平均貯存可用度為約束的貯存壽命評估與優化方法。給出了貯存壽命等定義的數學表達式。通過更新理論,分別推導了定期檢修、定期更換和無維護產品的瞬態貯存可用度。基于維修和更換時間的差異性,研究了系統貯存可用度的變化規律。以此為基礎,證明了貯存可用度對貯存壽命約束的合理性,并確定了以檢測周期為優化變量的貯存壽命最大化方法。算例結果表明,系統平均貯存可用度局部呈周期性變化,整體上遞減,且收斂于零。系統壽命隨檢測周期增加呈先遞增后遞減的變化規律,因而存在最優檢測(同時也為更換)周期,使系統到達貯存可用度閾值的時間最長,即實現貯存壽命最大化。

[1]Cui L R,Zhao X,Shen J,et al.An availability model for storage products under periodical inspections[J].International Journal of Reliability,Quality and Safety Engineering,2010,17(2):89-103. [2]Cui L R,Du S,Hawkes A G.A study on a single-unit repairable system with state aggregations[J].Trans.on IIE,2012,44 (11):1022-1032.

[3]Taghipour S,Banjevic D.Periodic inspection optimization models for a repairable system subject to hidden failures[J].IEEE Trans.on Reliability,2011,60(1):275 284.

[4]Sarkar J,Sarkar S.Availability of a periodically inspected system under perfect repair[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2000,91(1):77-90.

[5]Biswas A,Sarkar J,Sarkar S.Availability of a periodically inspected system,maintained under an imperfect-repair policy[J]. IEEE Trans.on Reliability,2003,52(3):311-318.

[6]Cui L R,Xie M.Availability of a periodically inspected system with random repair or replacement times[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2005,131(1):89-100.

[7]Tang T.Failure finding interval optimization for periodically inspected repairable systems[D].Toronto:University of Toronto,2012.

[8]Tang T,Lin D,Banjevic D,et al.Availability of a system subject to hidden failure inspected at constant intervals with nonnegligible downtime due to inspection and downtime due to repair/replacement[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2013,143(1):176-185.

[9]Taghipour S,Banjevic D,Jardine A K S.Periodic inspection optimization model for a complex repairable system[J].Reliability Engineering and System Safety,2010,95(9):946-952.

[10]Golmakani H R,Moakedi H.Periodic inspection optimization model for a two-component repairable system with failure interaction[J].Computers&Industrial Engineering,2012,63 (3):540 545.

[11]Golmakani H R,Moakedi H.Periodic inspection optimization model for a multi-component repairable system with failure interaction[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2012,61(1/4):295-302.

[12]Scarf P A,Cavalcante C A V.Hybrid block replacement and inspection policies for a multi-component system with heterogeneous component lives[J].European Journal of Operational Research,2010,206(2):384-394.

[13]Wang W,Banjevic D,Pecht M.A multi-component and multi-failure modeinspection model based on the delay time concept[J].Reliability Engineering and System Safety,2010,95(8):912-920.

[14]Fei S M.Research on storage availability modeling and optimization methods of materiel[D].Beijing:Beihang University, 2013.(費思邈.裝備可用度建模與優化方法研究[D].北京:北京航空航天大學,2013.)

Life evaluation and optimization for a repairable system under the constraints of storage availability

MA Xiao-bing1,2,YANG Li1
(1.School of Reliability and Systems Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China; 2.National Defense Key Laboratory of Science&Technology on Reliability&Environmental Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China)

According to the character of complex long-term repairable storage systems,a method for evaluating their storage lives under the restriction of availability is presented.Such systems are composed of three kinds of serial components.The first kind of component has a high reliability with a given fault time distribution,and there are no inspections scheduled for it.The second kind of component undergoes periodic inspections,and once found failed,it is repaired to a condition as a new one.The third kind of component is preventively replaced periodically with the same cycle as the second kind.By analyzing the transient availability of each component respectively,the average availability of the whole repairable storage system is derived.Using it as a restriction,the evaluation and optimization model for the storage life of the system is established and the optimal maintenance strategy which maximizes the storage life is given.

repairable system;life evaluation;storage availability;periodic inspection;periodic replacement

TB 114.3

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.15

馬小兵(1978-),男,副教授,博士,主要研究方向為可靠性工程。

E-mail:maxiaobing@buaa.edu.cn

楊 力(1990-),男,碩士研究生,主要研究方向為可靠性建模分析。E-mail:yl19900709@126.com

網址:www.sys-ele.com

1001-506X(2015)03-0572-05

2014 02 11;

2014 07 31;網絡優先出版日期:2014 10 19。

網絡優先出版地址:http:∥w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141019.2343.002.html

國家自然科學基金(61104133)資助課題